Grup (matematik): Revizyonlar arasındaki fark

[kontrol edilmiş revizyon]

[kontrol edilmemiş revizyon]

← Önceki sürümle aradaki fark Sonraki sürümle aradaki fark →

İçerik silindi İçerik eklendi

Satır içi

Sayfanın 12.03, 13 Ocak 2014 tarihindeki hâli

Grup (veya öbek), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, öncelikle öğeleri boş olmayan ve üzerinde bir ikili işlem tanımlı kümedir. Grup kuramı, bu işlemin özelliklerine göre grupları inceler. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Tanım

Boşkümeden farklı ve üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir G kümesi aşağıdaki özellikleri sağlar:

Kapalılık: Her a, b $\in$ G için a ' $\cdot$ 'b' $\in$ G olmalıdır.
Asosyatiflik: Her a, b, c $\in$ G için a' $\cdot$ '(b' $\cdot$ 'c)=(a' $\cdot$ 'b)' $\cdot$ 'c. Bu özelliği sağlayan gruba, "yarı grup" denir.

Birim öğe: Her a $\in$ G için öyle bir e $\in$ G vardır ki e' $\cdot$ 'a=a' $\cdot$ 'e=a. Burada e elemanına, "birim eleman" denir.

Tersinir öğe: Her a $\in$ G için öyle bir $a^{-1}\in$ G vardır ki $a^{-1}a=aa^{-1}=e$ .

Eğer bir grup,

Değişme: Her a, b $\in$ G için a' $\cdot$ 'b=b' $\cdot$ 'a.

özelliğini sağlıyorsa bu gruba değişmeli grup (değişmeli öbek) ya da Abel'in anısına Abelyen grup (abelyen öbek) denir. Bir grup için (G, $\cdot$ ) gösterimi kullanılır (" $\cdot$ " burada işlemin simgesidir).

Grup kuramı (öbek kuramı), tanımladığımız grup (öbek) yapısıyla ilgilenir. Grubu tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.

Bir grubun mertebesi |G| ile gösterilen kardinal sayıdır (yani kümenin öğe sayısıdır). |G| sonluysa (ya da sonsuzsa), G ye sonlu grup (ya da sonsuz grup) denir.

Bazı GrupÖrnekleri

Toplama işlemiyle tam sayılar kümesi $(Z,+)$ , değişmeli bir gruptur.
Çarpma işlemiyle tam sayılar kümesi abelyen bir gruptur.

Kaynaklar

Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.

Ayrıca bakınız

Cisim
Halka

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.

Şablon:Link KM Şablon:Link SM

@@ 1. satır: / 1. satır: @@
 {{Diğer anlamı|Grup}}
-'''Öbek''' (veya '''grup'''), [[soyut cebir]]in en temel matematiksel yapısıdır. Öbek, öncelikle bir [[küme]]dir, [[öğe]]leri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir [[ikili işlem]]i olan bir kümedir. [[Öbek kuramı]], bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler. Soyut cebirin [[halka]], [[cisim (matematik)|cisim]], [[modül]] gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
+'''Grup '''(veya '''öbek'''), [[soyut cebir]]in en temel matematiksel yapısıdır. Grup, öncelikle öğeleri boş olmayan ve üzerinde bir ikili işlem tanımlı [[küme]]dir. [[Öbek kuramı|Grup kuramı]], bu işlemin özelliklerine göre grupları inceler. Soyut cebirin [[halka]], [[cisim (matematik)|cisim]], [[modül]] gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
 == Tanım ==
-Eğer [[boşküme]]den farklı ve üzerinde bir tane [[ikili işlem]] tanımlanmış bir ''G'' [[küme]]si
+[[Boşküme]]den farklı ve üzerinde bir tane [[ikili işlem]] tanımlanmış bir ''G'' [[küme]]si aşağıdaki özellikleri sağlar:
-* [[Bileşme]]: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a(bc)=(ab)c''.
+* Kapalılık: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''a ''''<math>\cdot</math> ''''b'''' ''<math>\in</math>'' ''G'' olmalıdır.''
+* Asosyatiflik: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''(b''''<math>\cdot</math>''''c)=(a''''<math>\cdot</math>''''b)''''<math>\cdot</math>''''c''. Bu özelliği sağlayan gruba, "yarı grup" denir.
-[[belit]]ini sağlıyorsa bir '''[[yarı öbek]]'''tir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,
-* (iki yönlü) [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''ea=ae=a''.
-belitini sağlıyorsa bu kümeye '''[[birlik]]''' (monoid) denir. Eğer bir birlik,
-* [[Tersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a = a a^{-1}=e</math>.
-belitini sağlıyorsa kümeye '''öbek''' (grup) adı verilir.
+* [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''e''''<math>\cdot</math>''''a=a''''<math>\cdot</math>''''e=a''. Burada ''e'' elemanına, "birim eleman" denir.
-Eğer bir öbek,
-* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''ab=ba''.
+* [[Tersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a = a a^{-1}=e</math>.
-belitini sağlıyorsa '''değişmeli öbek''' (değişmeli grup) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek]]''' (abelyen grup) olarak adlandırılır. [[İşlem]]i vurgulamak için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır (ki burada "<math>\cdot</math>" işlemin simgesidir).
+Eğer bir grup,
+* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''b=b''''<math>\cdot</math>''''a''.
+özelliğini sağlıyorsa bu gruba '''değişmeli grup '''(değişmeli öbek) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek|Abelyen grup]]''' (abelyen öbek) denir. Bir grup için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır ("''<math>\cdot</math>''" burada işlemin simgesidir).
-[[Öbek kuramı]] (grup kuramı), demin tanımladığımız [[öbek]] (grup) yapısıyla ilgilenir. Ödeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
+[[Öbek kuramı|Grup kuramı]] (öbek kuramı), tanımladığımız [[öbek|grup]] (öbek) yapısıyla ilgilenir. Grubu tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
-Bir öbeğin [[mertebe]]si ''|G|'' ile gösterilen [[kardinal sayı]]dır (yani kümenin [[öğe]] sayısıdır). ''|G|'' [[sonlu]]ysa (ya da [[sonsuz]]sa), ''G'' ye [[sonlu öbek]] (ya da [[sonsuz öbek]]) denir.
+Bir grubun [[mertebe]]si ''|G|'' ile gösterilen [[kardinal sayı]]dır (yani kümenin [[öğe]] sayısıdır). ''|G|'' [[sonlu]]ysa (ya da [[sonsuz]]sa), ''G'' ye [[sonlu öbek|sonlu grup]] (ya da [[sonsuz öbek|sonsuz ]]<nowiki/>grup) denir.
-== Bazı Öbek Örnekleri ==
+== Bazı GrupÖrnekleri ==
-* Toplama işlemiyle [[tam sayı]]lar kümesi <math>(Z,+)</math>, değişmeli bir öbektir.
+* Toplama işlemiyle [[tam sayı]]lar kümesi <math>(Z,+)</math>, değişmeli bir gruptur.
+* Çarpma işlemiyle tam sayılar kümesi abelyen bir gruptur.
-* Çarpma
 == Kaynaklar ==