Çarpımsal ters

Matematikte, bir x sayısının çarpımsal tersi veya çarpmaya göre tersi, x ile çarpıldığında çarpma etkisiz elemanı olan 1'i veren sayıdır ve 1/x veya x⁻¹ ile gösterilir. Bir a/b kesrinin çarpımsal tersi b/a 'dır. 1 sayısının bir reel sayıya bölünmesi, o sayının çarpımsal tersini verir.

Örneğin, 5'in çarpımsal tersi beşte birdir (1/5 veya 0,2) ve 0,25'in çarpmaya göre tersi 1 bölü 0,25, yani 4'tür. x 'i 1/x 'e eşleyen f(x) fonksiyonu olan çarpmaya göre ters fonksiyonu, kendisinin tersi olan fonksiyonların (involüsyon) en basit örneklerinden biridir.

Bir sayıyla çarpmak, o sayının çarpımsal tersine bölmekle aynı şeydir; bunun tam tersi de geçerlidir. Örneğin, 4/5 (veya 0,8) ile çarpmak, 5/4 (veya 1,25) ile bölmekle aynı sonucu verecektir. Dolayısıyla, bir sayıyla çarpma işleminin ardından çarpmaya göre tersiyle çarpma işlemi orijinal sayıyı verir (çünkü sayının ve tersinin çarpımı 1'dir).

Çarpımsal ters ifadesinde, çarpımsal nitelemesi genellikle atlanır ve (toplamsal tersin aksine) zımnen anlaşılır. Çarpımsal tersler, sayıların yanı sıra birçok matematiksel alan üzerinde de tanımlanabilir. Bu durumlarda ab ≠ ba olabilir; o zaman "ters", tipik olarak bir elemanın hem sol hem de sağ ters olduğu anlamına gelir.

f ⁻¹ gösterimi bazen f fonksiyonunun ters fonksiyonu için de kullanılır, ancak bu çoğu fonksiyon için çarpımsal terse eşit değildir. Örneğin, çarpımsal ters 1/(sin x) = (sin x)⁻¹, x'in kosekantıdır ve sin⁻¹ x veya arcsin x ile gösterilen x 'in ters sinüsü değildir. Reciprocal (çarpımsal ters) ile inverse (ters) arasındaki terminoloji farkı bu ayrımı yapmak için yeterli değildir, çünkü birçok yazar muhtemelen tarihsel nedenlerden dolayı zıt adlandırma kurallarını tercih etmektedir (örneğin Fransızcada ters fonksiyon tercihen Fransızca: bijection réciproque olarak adlandırılır).

Örnekler ve karşıtörnekler

Reel sayılarda, sıfırın bir çarpmaya göre tersi yoktur (sıfıra bölme tanımsızdır), çünkü 0 ile çarpıldığında 1 sonucunu veren hiçbir reel sayı yoktur (herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır). Sıfır hariç, her reel sayının çarpımsal tersi reeldir, her rasyonel sayınınki rasyoneldir ve her karmaşık sayınınki karmaşıktır. Sıfır dışındaki her elemanın bir çarpımsal terse sahip olması özelliği, tüm bunların birer örneği olduğu cisim tanımının bir parçasıdır. Öte yandan, 1 ve -1 dışındaki hiçbir tam sayının tam sayı olan bir tersi yoktur, bu nedenle tam sayılar bir cisim değildir.

Modüler aritmetikte, a 'nın modüler çarpımsal ters de tanımlanır: bu, ax ≡ 1 (mod n) olacak şekilde bir x sayısıdır. Bu çarpımsal ters, ancak ve ancak a ve n aralarında asal ise mevcuttur. Örneğin, 3'ün mod 11'e göre tersi 4'tür çünkü 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11). Bunu hesaplamak için genişletilmiş Öklid algoritması kullanılabilir.

Sedeniyonlar, sıfır olmayan her elemanın bir çarpımsal terse sahip olduğu, ancak yine de sıfır bölenlerine (yani xy = 0 olacak şekilde sıfır olmayan x, y elemanlarına) sahip bir cebirdir.

Bir kare matris, ancak ve ancak determinantının katsayı halkasında bir tersi varsa bir terse sahiptir. A⁻¹ matrisine sahip olan doğrusal dönüşüm (belirli bir tabana göre), aynı tabanda A matrisine sahip olan dönüşümün ters fonksiyonudur. Dolayısıyla, bir fonksiyonun tersi ile ilgili iki farklı kavram bu durumda güçlü bir şekilde ilişkilidir, ancak yine de çakışmazlar; çünkü Ax 'in çarpımsal tersi A⁻¹x değil, (Ax)⁻¹ olurdu.

Bu iki ters fonksiyon kavramı bazen çakışır; örneğin $\ln$ 'in karmaşık logaritmanın esas dalı olduğu ve $e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }$ olduğu durumda $f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}$ fonksiyonu için:

((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x

.

Trigonometrik fonksiyonlar çarpımsal ters özdeşliği ile ilişkilidir: kotanjant tanjantın tersidir; sekant kosinüsün tersidir; kosekant sinüsün tersidir.

Sıfır olmayan her elemanın bir çarpımsal terse sahip olduğu bir halka, bir bölümlü halkadır; benzer şekilde, bunun geçerli olduğu bir cebir bir bölümlü cebirdir.

Karmaşık sayılar

Yukarıda belirtildiği gibi, sıfır olmayan her $z=a+bi$ karmaşık sayısının tersi karmaşıktır. 1/z 'nin hem payını hem de paydasını karmaşık eşlenik ${\bar {z}}=a-bi$ ile çarparak ve $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ (z 'nin mutlak değerinin karesi olan $a 2 + b 2$ reel sayısı) özelliğini kullanarak bulunabilir:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.

Buradaki sezgi şudur:

{\frac {\bar {z}}{\|z\|}}

bize $1$ değerine düşürülmüş bir büyüklüğe sahip karmaşık eşleniği verir, bu nedenle tekrar $\|z\|$ 'ye bölmek, büyüklüğün artık orijinal büyüklüğün tersine eşit olmasını sağlar, dolayısıyla:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}

Özellikle, eğer ||z||=1 ise (z birim büyüklüğe sahipse), o zaman $1/z={\bar {z}}$ olur. Sonuç olarak, sanal birimler $\pm i$ , çarpımsal terse eşit toplamsal terse sahiptir ve bu özelliğe sahip tek karmaşık sayılardır. Örneğin, $i$ 'nin toplamaya ve çarpmaya göre tersleri sırasıyla $-(i) = - i$ ve $1/ i = - i$ 'dir.

Kutupsal formdaki bir karmaşık sayı $z = r (cos φ + i sin φ)$ için tersi, basitçe büyüklüğün tersini ve açının negatifini alır:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).

Geometrik olarak karmaşık düzlemde bir karmaşık sayının tersi, birim çemberde bir tersinme (inversiyon) ve ardından reel eksen üzerinde bir yansıma yapılarak bulunabilir (çizime bakınız).

Kalkülüs

Reel kalkülüste, $1/ x = x -1$ 'in türevi, -1 kuvveti ile güç kuralı tarafından verilir:

{\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.

İntegraller için güç kuralı (Cavalieri kuralı), 1/x integralini hesaplamak için kullanılamaz, çünkü bu sıfıra bölmeyle sonuçlanır: $\int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C$ Bunun yerine integral şu şekilde verilir: $\int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,$ $\int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.$ burada ln, doğal logaritmadır. Bunu göstermek için, ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$ olduğuna dikkat edin, dolayısıyla $x=e^{y}$ ve $y=\ln x$ ise, şuna sahibiz:^[1] ${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}$

Algoritmalar

Çarpmaya göre ters, uzun bölme kullanılarak elle hesaplanabilir. Tersini hesaplamak birçok bölme algoritmasında önemlidir, çünkü a/b bölümü, önce 1/b hesaplanarak ve ardından a ile çarpılarak bulunabilir.

$f(x)=1/x-b$ 'nin x = 1/b 'de bir sıfıra sahip olduğuna dikkat edilerek, Newton metodu, $x_{0}$ tahminiyle başlayıp şu kuralı kullanarak yineleme yaparak o sıfırı bulabilir:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).

Bu işlem istenen hassasiyete ulaşılana kadar devam eder. Örneğin, 3 basamak hassasiyetle 1/17 ≈ 0,0588 hesaplamak istediğimizi varsayalım. x₀ = 0,1 alarak, aşağıdaki dizi üretilir:

x₁ = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03

x₂ = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447

x₃ = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

x₄ = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

x₅ = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Tipik bir başlangıç tahmini, b 'yi 2'nin yakın bir kuvvetine yuvarlayıp, ardından tersini hesaplamak için bit kaydırma kullanılarak bulunabilir.

Oluşturmacı matematikte, bir x reel sayısının bir tersinin olması için x ≠ 0 olması yeterli değildir. Bunun yerine 0 < r < |x| olacak şekilde bir rasyonel r sayısı verilmelidir. Yukarıda açıklanan yaklaşım algoritması açısından bu, y 'deki değişimin sonunda keyfi olarak küçük olacağını kanıtlamak için gereklidir.

Bu yineleme daha geniş bir ters türüne de genelleştirilebilir; örneğin, matris tersleri.

İrrasyonel sayıların tersleri

Sıfır hariç her reel veya karmaşık sayının bir tersi vardır ve belirli irrasyonel sayıların tersleri önemli özel niteliklere sahip olabilir. Örnekler arasında e sayısının tersi (≈ 0,367879) ve altın oranın tersi (≈ 0,618034) bulunur. İlk ters özeldir çünkü başka hiçbir pozitif sayı, kendisinin kuvveti alındığında daha düşük bir sayı üretemez; $f(1/e)$ , $f(x)=x^{x}$ fonksiyonunun global minimumudur. İkinci sayı, tersi artı bire eşit olan tek pozitif sayıdır: $\varphi =1/\varphi +1$ . Toplamsal tersi, tersi eksi bire eşit olan tek negatif sayıdır: $-\varphi =-1/\varphi -1$ .

${\textstyle f(n)={\tfrac {1}{2}}n+{\sqrt {{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+1}}}$ fonksiyonu, tersinden bir $n$ tam sayısı kadar farklı olan irrasyonel sayıyı bulmak için kullanılabilir, çünkü genel olarak $\textstyle f(n)-f(n)^{-1}=n$ . Örneğin, $f(4)$ , $2+{\sqrt {5}}$ irrasyonel sayısıdır. Tersi $1/{\bigl (}2+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-2+{\sqrt {5}}$ , tam olarak $4$ daha azdır. Bu tür irrasyonel sayılar belirgin bir özelliği paylaşır: tersleriyle aynı kesirli kısma sahiptirler, çünkü bu sayılar bir tam sayı kadar farklıdır.

Çarpımsal ters fonksiyonu, (hem rasyonel hem de) irrasyonel sayıların gösterimiyle ilgili bir dizi dikkate değer özelliğe sahip olan sürekli kesirlerde önemli bir rol oynar.

Diğer notlar

Çarpma işlemi birleşmeli ise, çarpımsal tersi olan bir x elemanı sıfır böleni olamaz (bazı sıfır olmayan y elemanları için xy = 0 ise x bir sıfır bölenidir). Bunu görmek için, xy = 0 denklemini (soldan) x 'in tersi ile çarpmak ve ardından birleşme özelliğini kullanarak sadeleştirmek yeterlidir. Birleşme özelliğinin yokluğunda, sedeniyonlar bir karşı örnek sağlar.

Bunun tersi geçerli değildir: bir sıfır böleni olmayan bir elemanın çarpımsal bir terse sahip olması garanti edilmez. Z içinde, -1, 0, 1 dışındaki tüm tam sayılar buna örnek teşkil eder; bunlar ne sıfır bölenidir ne de Z içinde tersleri vardır. Ancak, halka veya cebir sonlu ise, o zaman sıfır böleni olmayan tüm a elemanlarının (sol ve sağ) bir tersi vardır. Şöyle ki, öncelikle f(x) = ax dönüşümünün birebir olması gerektiğini gözlemleyin: f(x) = f(y) durumu x = y olmasını gerektirir:

{\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}

Farklı elemanlar farklı elemanlara eşlenir, bu nedenle görüntü kümesi aynı sonlu sayıda elemandan oluşur ve dönüşüm zorunlu olarak örtendir. Özellikle, ƒ (yani a ile çarpma), bir x elemanını 1'e eşlemelidir, ax = 1, böylece x, a için bir terstir.

Uygulamalar

Herhangi bir tabanda 1/q tersinin açılımı, eğer q "uygun" bir güvenli asal ise (p 'nin de asal olduğu 2p + 1 formundaki bir asal), bir sözde rastgele sayı kaynağı olarak da hareket edebilir.^[2] Açılım tarafından q − 1 uzunluğunda bir sözde rastgele sayılar dizisi üretilecektir.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx=lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. 16 Kasım 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Mart 2013.
^ Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length", Cryptologia 17, Ocak 1993, 55–62.

Kaynakça

Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications cilt 28 ss 147–148 1992

[1] Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx=lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. 16 Kasım 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Mart 2013.

[Mitchell-2] Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length", Cryptologia 17, Ocak 1993, 55–62.

[1]

[2]