Çarpık-simetrik matris

Matematik ve özellikle doğrusal cebirde, bir çarpık-simetrik (veya antisimetrik veya antimetrik) matris, transpozu aynı zamanda olumsuzu olan bir kare matristir; yani $-A=A^{T}$ durumunu sağlar. Eğer $i$ satırı ve $j$ sütunundaki giriş $a_{ij}$ ise, çarpık-simetrik matris $a_{ij}=-a_{ji}$ ilişkisine sahiptir. Örneğin, aşağıdaki matris çarpık-simetriktir:

${\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}.$

Özellikler

• İki çarpık-simetrik matrisin toplamı yine çarpık-simetriktir.
• Bir sabitle çarpılan çarpık-simetrik matris yine çarpık-simetriktir.
• Çarpık-simetrik matrisin köşegeni üzerindeki elemanlar sıfırdır, dolayısıyla ilkköşegen toplamı da sıfırdır.
• Eğer çarpık-simetrik matris $A$'nın elemanları gerçel sayılarsa (yani $\mathbb {F} =\mathbb {R}$), $\det(A)\geq 0$'dır.
• Eğer çarpık-simetrik matris $A$ gerçelse ve $\lambda$ gerçel bir özdeğer (eigen değer) ise, $\lambda =0$'dır.
• Bir gerçel çarpık-simetrik matrisin ($A$) birim matrisle ($I$) toplamı $I+A$ tersinirdir.

Çapraz çarpım

3x3'lük çarpık-simetrik matrisler kullanılarak çapraz çarpım matris çarpımı olarak ifade edilebilir.$\mathbf {a} =(a_{1}\ a_{2}\ a_{3})^{\mathrm {T} }$ ve $\mathbf {b} =(b_{1}\ b_{2}\ b_{3})^{\mathrm {T} }$ 3 boyutlu vektörler olsun. Çarpık-simetrik matris

$[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}$

kullanılarak çapraz çarpım yeniden yazılabilir:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b}$

Ayrıca bakınız

• Simetrik matris
• Çarpık-Hermisyen matris
• Simplektik matris

Daha fazla bilgi

• Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8. 
• Suprunenko, D. A. (2001), "Skew-symmetric matrix", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu 
• Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 

Dış bağlantılar

• "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld. 7 Temmuz 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014. 
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK - Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems". 18 Mart 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014. 
• Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3). s. 286. doi:10.1145/355791.355799.  Fortran23 Ocak 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Fortran9030 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.