Yaygın koordinat dönüşümleri listesi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir..

2-Boyutlu[değiştir | kaynağı değiştir]

(x, y) standart kartezyen koordinat, ve r ve θ standart kutupsal koordinatlar olsun.

Kutupsal koordinatlardan kartezyen koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]

x=r\,\cos\theta \quad
y=r\,\sin\theta \quad

\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\,\sin\theta  \\
\sin\theta & r\,\cos\theta
\end{pmatrix}

\det{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} =
r

Kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]

r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta^\prime = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|

Not[değiştir | kaynağı değiştir]

\theta^\prime'yi çözmek için ilk kadran bileşke açı ile döner(0<\theta<\frac{\pi}{2}). ve \theta bulunur.Bunun için orijinal kartezyen koordinat başvurmalıdır,\theta'nın kadranını belirlemek ve çözmek için aşağıdakileri kullanın;
\theta
eğer \theta^\prime QI'in içindeyse:
\theta = \theta^\prime
eğer \theta^\prime QII'nin içindeyse:
\theta= \pi - \theta^\prime
eğer \theta^\prime in QIII'ün içindeyse:
\theta = \pi + \theta^\prime
eğer \theta^\prime in QIV'ün içindeyse:
\theta = 2\pi - \theta^\prime
\theta değeri için çünkü \theta, \tan\theta tüm değerlerinin bu şekilde çözülmesi için gereken yalnızca -\frac{\pi}{2}<\theta<+\frac{\pi}{2} aralığında tanımlı olmalıdır ve periyodik (\piperiodu ile)olmalıdır. Bu ters fonksiyon,sadece fonksiyon etki değerleri vermek anlamına gelir, ancak tek bir period ile sınırlı.Dolayısıyla, ters fonksiyonunu aralığında bir tam yarım daire.

Bir de Aklınızda bulunsun

r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta = 2 \arctan \frac{y}{x+r}

Log-polar koordinatlar kartezyen koordinat sistemine[değiştir | kaynağı değiştir]

\begin{cases}x = e^\rho\cos\theta, \\ y = e^\rho\sin\theta.\end{cases}

Karmaşık sayılar kullanılarak (x,y)=x+iy', dönüşümü gibi yazılabilir

 x + iy = e^{\rho+i\theta} \,

Bu karmaşık üstel fonksiyonu ile verilir yani.

Kartezyen koordinatlardan "log-polar" koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]

\begin{cases} \rho = \log\sqrt{ x^2 + y^2}, \\ \theta = \arctan \frac{y}{x}.  \end{cases}

Bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]


x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}

y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}

İki merkezli bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara[1][değiştir | kaynağı değiştir]


x = \frac{r_1^2-r_2^2}{4c}

y = \pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2}

İki merkezli bipolar koordinatlardan polar koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]


r = \sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}

\theta = \arctan \left[ \sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]

Burada 2c kutuplar arasındaki mesafedir.

Cesàro denkleminden kartezyen koordinat sistemine[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Cesàro denklemi

x = \int \cos \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds

y = \int \sin \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds

Kartezyen koordinatlardan Yay uzunluğu ve eğriliğe[değiştir | kaynağı değiştir]

\kappa = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}

s = \int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt

Polar koordinatlardan yay uzunluğu ve eğriliğe[değiştir | kaynağı değiştir]

\kappa=\frac{r^2+2r'^2-rr''}{(r^2+r'^2)^{3/2}} s = \int_a^\phi \sqrt { 1 + y'^2 }\, d\phi

3-Boyutlu[değiştir | kaynağı değiştir]

(x, y, z) standart kartezyen koordinatlar ve (ρ, θ, φ) küresel koordinatlar olsun,ölçülen açı ise +Z axisinden θ iledir.Φ 360° alındığında polar ile aynı düşüncelerle(2 boyutlu) bunun bir arctan'ı alındığında geçerli koordinatlara sahiptir. θ nın sınırı 180°'dir,0°dan 180°'ye dönen bir arccos'un hesaplanması herhangi bir sorun teşkil etmez, ancak arctanjantı için dikkatli olunur. Alternatif tanım için, θ −90°den +90°'ye döner şeklinde seçilmiştir, daha önceki tanımla ters yönde, o bir arcsin'e eşit bulunmayabilir, ancak arccotanjanta dikkat. Aşağıdaki tüm formüllerde bu durumdaki tüm θ açıları sinüs ve kosinüse değişebilir ve türevi olarak da artı ve eksiye değişebilir.Ana eksenlerden biri boyunca aynı yönde olan özel durumlarında tüm sıfıra bölünmeme sonuçlarının ve gözlemlerin pratikte çok kolay çözümleri vardır.

Kartezyen koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel koordinatlardan[değiştir | kaynağı değiştir]

{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\phi \quad
{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\phi \quad
{z}=\rho \, \cos\theta\quad

\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi& \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi  \\
\sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi  & \rho\sin\theta\cos\phi   \\
\cos\theta           & -\rho\sin\theta                  & 0
\end{pmatrix}

Böylece hacim ögesi için:


dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)}} d\rho\;d\theta\;d\phi =
\rho^2 \sin\theta \; d\rho \; d\theta \; d\phi \;

Silindirik koordinatlardan[değiştir | kaynağı değiştir]

{x}={r} \,\cos\theta
{y}={r} \, \sin\theta
{z}={h} \,

\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta &  r\cos\theta & 0 \\
         0 &            0 & 1
\end{pmatrix}

Böylece hacim ögesi için:


dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)}} dr\;d\theta\;dh =
{r}\; dr \; d\theta \; dh \;

Küresel koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlardan[değiştir | kaynağı değiştir]

{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)= \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \arcsin \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)
{\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)

\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\rho} &                  \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\rho^2}\\
\frac{-y}{x^2+y^2} &               \frac{x}{x^2+y^2} & 0\\
\end{pmatrix}

Silindirik koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}
{\phi}=\phi \quad
{\theta}=\arctan\frac{r}{h}

\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \phi, h)} =
\begin{pmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\
\frac{h}{r^2+h^2} & 0 & \frac{-r}{r^2+h^2} \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
 \det \frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \theta, h)} = \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}}

Silindirik koordinatlara[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlardan[değiştir | kaynağı değiştir]

r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y
h=z \quad

\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}

Küresel koordinatlardan[değiştir | kaynağı değiştir]

Not: Bu bölümün isimlendirme ile tutarlılık için güncellenmesi gerekir. Bir diyagramda her bir değişkenin neyi temsil ettiğini gösteren bu makale içine dahil edilmelidir. Genellikle  \theta \, küresel koordinatlar ve  \phi \, silindirik koordinatlar için düzlem açısı için polar açıyı temsil eder. Burada iki karışık ve karışıklığa neden olabilir.

 r = \rho \sin \phi \,
 \theta  = \theta \,
 h  = \rho \cos \phi \,

\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\phi & 0 & \rho\cos\phi  \\
0        & 1 &   0           \\
\cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi
\end{pmatrix}
 \det\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = - \rho

Kartezyen koordinatlardan yay uzunluğu, eğrilik ve burulma[değiştir | kaynağı değiştir]

s = \int_0^t \sqrt { x'^2 + y'^2 + z'^2 }\, dt
\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}
\tau=\frac{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)}

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Weisstein, Eric W.. (26 Mayıs 1999). "Bipolar Coordinates.", Treasure Troves. http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/b/b233.htm. Erişim tarihi: 14 Şubat 2007.