Vektörlerin eşdeğişken ve karşıtdeğişkeni

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
"Eşdeğişken" veya "karşıtdeğişken"in diğer kullanıcıları için, bkz eşdeğişken ve karşıdeğişken (anlam ayrımı).
Bir vektör v (kırmızı) ile gösteriliyor • Vektörlerin tanjant tabanı koordinat eğrilerine (siyah) (sarı, sol: e1, e2, e3), • ikili taban, eşvektör taban, veya eştaban (mavi,sağ: e1, e2, e3), yüzey koordinatlarına normal vektörler (gri), 3d içinde genel eğrisel koordinatlar (q1, q2, q3)...Bir pozisyon uzayının içinde tanımlanan noktalara sayıların bir demeti denir. Unutmadan taban ve eştaban uyuşmuyorsa tabanı olmadıkça ortogonaldir.[1]

Çokludoğrusal cebir ve tensör analizi içinde, eşdeğişken ve karşıtdeğişken veya tabanın değişimi ile bir fiziksel veya geometrisi belli nesnenin değişikliğinin nicel tanımlaması nasıl yapılır?

Holonomik taban için, bu bir koordinat sisteminden diğerine değişme ile belirlenir: Eğer bir ortogonal taban diğer ortogonal tabanin içinde döner ise,eş- ve karşıtdeğişken ayrımı görünmezdir. Bununla birlikte,daha genel koordinat sistemleri ve böylece çarpık koordinatlar gözönüne alındığında , eğrisel koordinatlar ve diferansiyellenebilir manifoldlar üzerinde koordinat sistemlerinde ayrımi belirgindir(görünürdür).

  • Bir vektör için (bir yön vektörü veya hız vektörü gibi) taban-bağımsız ,vektör bileşenlerini dengelemek için tabanın bir değişikliği ile karşıt-değişebilir olmalıdir. Diğer bir deyişle, bileşenler esas değişiminin bu ters dönüşüm ile değişmesi gerekir.Vektör bileşenlerinin (ikili vektörlerin olanlara karşıt olarak) karşıtdeğişken olduğu söyleniyor. Örneğin vektörler l karşıtdeğişken bileşenler ile bir gözlemciye göre bir nesnenin konumunu içerir,veya zamana göre sırasıyla konumun herhangi türevi,hız, ivme,ve jerk içerir.Einstein gösteriminde karşıtdeğişken bileşenler üst indisleri ile gösterilir
\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i . içinde üst indis olarak ifade edilir
  • Taban-bağımsız olan (aynı zamanda bir eşvektör olarak da adlandırılır), bir ikili vektörü için, ikili vektörün bileşenlerinin aynı eşvektörü gösterir kalması için tabandaki bir değişiklik ile birlikte eş-değişebilir olması gerekir.

Diğer bir deyişle, bileşenler esas değişikliği ile aynı dönüşüme göre farklılık gerekir. Ikili vektörler (vektörlerin kişilerce aksine) bileşenlerinin eşdeğişken olduğu söylenmektedir.Örneğin eşdeğişirin örnek vektörleri genel olarak görünür bir fonksiyonun bir gradyanı alınır ise Einstein gösterimi içinde, eşdeğişken bileşenler

\mathbf{v} = v_i \mathbf{e}^i . içinde alt indis olarak ifade edilir

Fizikte, sıklıkla vektörlerin uzunluk birimi veya zaman uzunluğu bazı diğer birimler (hız gibi) var, oysa eşvektörlerin uzunluğun tersi birimleri veya zaman uzunluğunun tersi bazı diğer birimler var.Eşdeğişken ve karşıtdeğişken ve vektörleri arasındaki ayrım karışık varyansa sahip olabilir ki, tensör hesaplamaları için özellikle önemlidir. Bu da hem eşdeğişken ve hem karşıtdeğişken bileşeni var demektir.Değerlik veya tipi bir tensör eşdeğişken ve karşıtdeğişken ve bileşen indislerinin sayısını verir.

Eşdeğişir ve zıtdeğişir terimleri J.J. Sylvester tarafından 1853 yılı içinde cebrik değişmezlik teorisinin incelenmesi amacıyla tanıtıldı. Bu kavramlar içinde, örneğin,eşzamanlı denklemler sistem değişkenleri içinde zıtdeğişirdir. Kullanılan her iki terim çoklu-doğrusal cebirin kategori teorisi içinde modern kavramlarını karşılayan özel bir örnektir.

Tanıtım[değiştir | kaynağı değiştir]

Fizikte,tipik bir vektör bir ölçümün çıkışı veya ölçümlerin serisi olarak ortaya çıkar, ve sayıların gösterim olarak bir listesi (veya demet) gibidir

(v_1,v_2,v_3). \,

Listedeki sayılar koordinat sisteminin seçimine örneğin, eğer sırasıyla vektör gösterimlerinin pozisyonu bir gözlemciye (pozisyon vektörü)bağlı, ise koordinat sistemi katı çubukların bir sisteminden elde edilebilir, veya referans eksenleri, bu v1, v2 bileşenleri boyunca, ve v3 ölçülmüştür. geometrik bir nesne gösteriminin bir vektörü için, herhangi diğer koordinat sistemleri içinde nasıl göründüğünü açıklamak mümkün olmalı. Demek ki,vektörlerin bileşenleri bir başka koordinat sistemine geçen belirli bir yol içinde dönüşüm olacak. Bir zıt-değişir vektör bu "koordinatlar olarak aynı yolla dönüşüm" (Referans eksenleri ters olacak şekilde) bileşenleri dönüş ve genişleme gibi koordinatların değişimi altında olması gerekir. bu işlemler altında değişmeyen vektörün kendisidir; bunun yerine,aynı şekilde bu koordinatların değişimi vektörün bileşenlerinin eksenel değişikliğini iptal eder bir değişiklik yapar. Başka bir değişle, Referans eksenleri bir yöne döndürülmesi durumunda, vektörünün bileşen temsilini tam tersi şekilde döndürmek istiyorum. Benzer şekilde, eğer referans eksenleri bir yöne çekildi,vektörün bileşenleri koordinatlar gibi bir tam dengeleyici bir şekilde düşürülebilecek.Matematiksel olarak, koordinat sistemi bir tersinir matris M tarafından tanımlanan bir dönüşüme uğrar ise , böylece bir koordinat vektör x , x′ = Mx a dönüşüyor,ise bir v karşıtdeğişken vektör v′ = Mv yoluyla benzer dönüşüm olmalı. Bu önemli gerek fiziksel nicel anlamlılığın herhangi diğer üçlüden bir karşıtdeğişinti vektörünü ayırır. Örneğin, Eğer v -hızın-x, y, ve z bileşenlerinin oluşturduğu,v bir karşıtdeğişken vektör ise: Eğer uzayın koordinatları aynı yol içinde hız dönüşümünün bileşenleri ise germe, dönme, veya bükülmedir.Diğe bir değişle, örneğin, bir dörtgen kutunun uzunluk, genişlik, ve yüksekliğin oluşturduğu bir üçlü bir soyut bir vektörün üç bileşenleri makyajlanabilir, ama bu vektör karşıtdeğişken olmayacak,kutu dönmesi nedeniyle kutunun uzunluk, genişlik, ve yüksekliği değişmiyor.Vektörlerin eşdeğişir örnekleri yerdeğiştirme, hız ve ivme içerir.

Buna karşılık, bir eşdeğişir vektör koordinatlara karşıt değiştirilebilir bileşenler veya, eşdeğerlikli,dönüşüm gibi referans eksenleri var.Örneğin, bir fonksiyonun gradyan vektörünün bileşenleri

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x^1}\widehat{x}^1+\frac{\partial f}{\partial x^2}\widehat{x}^2+\frac{\partial f}{\partial x^3}\widehat{x}^3

kendilerinin referans eksenleri dönüşümü gibi.Eksenlerin dönmeleri dikkate alındığında, karşıtdeğişintinin bileşenleri ve eşdeğişinti vektörler aynı yol içinde davranır.yalnız diğer dönüşümler bu ise bu farklı görüntü ayırıyoralır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

tabanın değişimi altında bir koordinat vektör gibi dönüşümünün bileşenleri (pasif dönüşüm) eşdeğişir ve zıtdeğişirin genel formüllerine kaynaktır. Böylece diyelimki V S skalerinin bir alanı üzerinde n boyutunun bir vektör uzayı olsun , ve diyelimki f  = nin her (X1,...,Xn) ve Vnin bir taban f' = (Y1,...,Yn) olsun.[note 1] Ayrıca, diyelimki f dan f′ ye taban değişimi ile veriliyor olsun

\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \left(\sum_i a^i_1X_i,\dots,\sum_i a^i_nX_i\right) = \mathbf{f}A

bazı tersinir için n×n matris A ile giriş a^i_j. Burada, f' tabanın Yj vektörü f tabanının 'Xi vektörlerinin bir doğrusal kombinasyonudur, böylece

Y_j=\sum_i a^i_jX_i.

Karşıt değişken dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

V içindeki bir v vektörü f tabanının bir ögesinin bir doğrusal bileşiminin eşsiz bir ifadesi olarak

v = \sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i,

burada v i[f] ,S içinde skalerler , f tabanı içinde vnin

'bileşenleri olarak biliniyor.v[f] ile v bileşeninin sütun vektörü olarak ifade ediliyor:

\mathbf{v}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}v^1[\mathbf{f}]\\v^2[\mathbf{f}]\\\vdots\\v^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}

böylece bir matris çarpımı olarak yeniden yazılabilir

v = \mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].

v vektörü f' tabanının terimleri içinde ayrıca ifade edilebilir, böylece

v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].

Bununla birlikte, v vektörünün kendisi tabanın seçimi altında değişmezdir,

\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].

vnin değişirliği ile f arasında ilişkililiği ile kombine edilir ve f' şunu anlatır

\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = \mathbf{f}A\, \mathbf{v}[\mathbf{f}A],

dönüşüm kural vererek

\mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}].

Bileşenlerin terimleri içinde,

v^i[\mathbf{f}A] = \sum_j \tilde{a}^i_jv^j[\mathbf{f}]

burada katsayılar \tilde{a}^i_j Anın ters matrisinin girişidir .

Çünkü A matrisinin tersi ile vektör v dönüşümünün bileşenleri, bu bileşenlere dönüşüm karşıt-değişkenliği altında bir tabanın değişikliği denir.

İki çiftin A yolu ilişkisi bir ok kullanarak aşağıda şemada resmi olmayan gösterimdir.Okun tersi bir karşıtdeğişken değişiklik gösterir:

\mathbf{f}\longrightarrow \mathbf{f'}
v[\mathbf{f}]\longleftarrow v[\mathbf{f'}]

Eşdeğişken dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

V üzerinde bir α doğrusal fonksiyonel onun terimleri içinde eşsiz ifadesi (Siçinde skalerler) f tabanı içinde bileşenler dir

\alpha(X_i) = \alpha_i[\mathbf{f}] , \quad i=1,2,\dots,n. olarak

Bu bileşenler taban vektörleri Xi üzerinde α'nın hareketi f tabanındadır.

f den f' ye taban değişikliği altında, bileşenlerin dönüşümü böylece

\begin{array} {rcl}
\alpha_i[\mathbf{f}A] & = & \alpha(Y_i) \\
& = & \alpha\left(\sum_j a^j_i X_j\right) \\
& = & \sum_j a^j_i \alpha(X_j) \\
& = & \sum_j  a^j_i \alpha_j[\mathbf{f}]
\end{array}.

α[f] ile α nın bileşenlerinin satır vektörü ifade edilir:

\mathbf{\alpha}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\alpha_1[\mathbf{f}],\alpha_2[\mathbf{f}],\dots,\alpha_n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}

böylece matris çarpımı olarak yeniden yazılabilir

\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A.

Çünkü doğrusal fonksiyonelin bileşenlerinin matris A ile α dönüşümü, bu bileşenler tabanın bir değişikliği altında dönüşüm eşdeğişirliği idi.

A yolu ilişkili iki çifti aşağıdakinin içindekine rağmen resmi olmayan bir diyagram oku kullanılıyor. Bir eşdeğişinti ilişkililiği belirtilmesi nedeniyle aynı yön içinde seyahat okudur:

\mathbf{f}\longrightarrow \mathbf{f'}
\alpha[\mathbf{f}]\longrightarrow \alpha[\mathbf{f'}]

Bir sütun vektör gösterimi yerine kullanılmıştı,dönüşüm kanunu devrik olmuş olsun

\alpha^\mathrm{T}[\mathbf{f}A] = A^\mathrm{T}\alpha^\mathrm{T}[\mathbf{f}].

Koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

V vektör uzayı üzerinde f tabanının seçilmesi V üzerinde koordinat fonksiyonlarının eşsiz bir kümesini tanımlar

x^i[\mathbf{f}](v) = v^i[\mathbf{f}].'un

anlamı ile Koordinatlar V üzerinde bunun için karşıtdeğişken duyarlılık içinde bu

x^i[\mathbf{f}A] = \sum_{k=1}^n \tilde{a}^i_kx^k[\mathbf{f}].

Tersine,n çokluğunun bir sistemi vi bu xi gibi dönüşüm koordinatları V üzerinde bir karşıtdeğişken vektör tanımlanıyor.Bir n sisteminin koordinatlara karşıt nicel dönüşümü o zaman bir eşdeğişken vektördür.

Karşıtdeğişken ve eşdeğişkenin bu formülasyonu burada bu uygulamalar içinde daha doğal sıklıktadır ve tanjant vektörler veya kotanjant vektörler olarak yaşayan üzerinde bir koordinat uzayıdır (bir manifold).Bir xi manifold üzerinde verilen bir yerel koordinat sistemi, koordinat sistemi için başvuru eksenleri vektör alanıdır

X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1},\dots,X_n=\frac{\partial}{\partial x^n}.

Bu koordinat yamasının her noktasında f = (X1,...,Xn) çerçeveye açar. Eğer yi farklı bir koordinat sistemi ve

Y_1=\frac{\partial}{\partial y^1},\dots,Y_n=\frac{\partial}{\partial y^n},

ise f' çerçevesi f çerçevesiyle koordinat ötelemesinin Jacobian matrisinin tersi ile ilişkilidir :

\mathbf{f}' = \mathbf{f}J^{-1},\quad J=\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)_{i,j=1}^n.

Veya, indisleri içinde,

\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{j=1}^n\frac{\partial x^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}.

Bir tanjant vektör bir vektör tanımı iledir ve bu \partial/\partial x^i koordinat parçalarının bir doğrusal bileşimidir. Böylece bir tanjant vektör şununla tanımlanır

v = \sum_{i=1}^n v^i[\mathbf{f}] X_i = \mathbf{f}\ \mathbf{v}[\mathbf{f}].

Böylece bir vektör çerçevenin değişme sırasıyla karşıtdeğişkenidir.Koordinat sistemi içindeki değişikliği altında, tek olan

\mathbf{v}[\mathbf{f}'] = \mathbf{v}[\mathbf{f}J^{-1}] = J\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].

Bu nedenle teğet vektörün bileşenleri ile dönüşümü

v^i[\mathbf{f}'] = \sum_{j=1}^n \frac{\partial y^i}{\partial x^j}v^j[\mathbf{f}].

Buna göre, diğerine tek koordinat sisteminden bir karşıtdeğişinti vektörü üzerinden geçen bu yol içinde bu koordinat dönüşümü üzerinden bağlı vi miktarda n in bir sistemi denir.

Bir metrik ile bir vektörün eşdeğişken ve karşıtdeğişken bileşenleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir vektör uzayında V içinde bir K alanı üzerinde bir çiftdoğrusal forum ile g : V × VK (burada metrik tensör olana başvurulabilir), burada eşdeğişinken ve karşıtdeğişken vektörler arasında fark azdır,çünkü çiftdoğrusal forum sağlayan eşvektörler vektörler ile belirleniyor . Bu,bir v vektör eşsizce belirlenen tüm w vektörleri için bir eşvektör α yoluyadır

\alpha(w) = g(v, w)

Karşıt olarak, her eşvektör α bu denklem ile bir eşsiz v vektör ile belirlenir.Çünkü eşvektörler ile vektörlerin bu kimliği, tek eşdeğişken bileşenlerinin veya bir vektörün karşıtdeğişken bileşenleri konuşabilir olan budur, bunlar, karşılıklı kullanılan bazlar aynı vektörün sade gösterimleridir

verilen bir V tabanı f = (X1,...,Xn), bu bir eşsiz karşılıklı tabandır ve V nin f# = (Y1,...,Yn) gerektireni ile belirlenir.

Y^i(X_j) = \delta^i_j,

Kronecker delta. bu tabanın terimleri içinde, herhangi v vektörü iki yollar içinde yazılabilir:

\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i = \mathbf{f}\,\mathbf{v}[\mathbf{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathbf{f}]Y^i = \mathbf{f}^\sharp\mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}].
\end{align}

vi[f] bileşenleri f tabanı içinde v vektörünün eşdeğişken bileşenleridir, ve vi[f] bileşenleri f tabanı içinde v nin eşdeğişken bileşenleridir. Terminoloji bunun için tabanın bir değişimi altında sadeleştiriliyor,

\mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}],\quad \mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}A] = A^T\mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}].
Bir vektörün (kırmızı) karşıtdeğişken bileşenleri koordinat eksenleri (sarı) üzerinde izdüşüm ile elde edilir. Eşdeğişken bileşenler koordinat hiperyüzeyine (mavi) normal hattı üzerine izdüşüm ile elde edilir.

Öklid düzlemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Öklid düzlemi içinde, vektörlerin nokta çarpımını sağlayan eşvektörler özdeş olsun .Eğer \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 bir taban, ise \mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2 çift tabanıdır, aşağıdakiler için yeterlidir

\begin{align}
\mathbf{e}^1\cdot\mathbf{e}_1=1, &\quad\mathbf{e}^1\cdot\mathbf{e}_2=0\\
\mathbf{e}^2\cdot\mathbf{e}_1=0, &\quad \mathbf{e}^2\cdot\mathbf{e}_2=1.
\end{align}

Böylece, e'1 ve e2 birbirine diktir,e2 ve e1, ve e1 ve e2 nin ve e1 ve e2,nin uzunluğu sırasıyla yine normalize edilir.

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Örneğin,[2] varsayalımki bizim e1, e2 vektörlerimizin verilen bir tabanının bir çiftinin oluşturduğu birbiriyle 45° açı yapıyor, böylece e1 2 uzunluğu var ve e2 1 uzunluğu var.Daha sonra, aşağıdaki gibi ikili bir baz vektörleri verilmiştir:

  • e2 bir 90° açının aracılığıyla e1 dönmesinin sonuçlarıdır(varsayımsal olarak) e1, e2 çifti pozitif eğilimli olur),ve sonra yeniden ölçeklendirilmesi ile e2e2 = 1 tutulur.
  • e1 bir 90° açının aracılığıyla e2 dönmenin sonuçlarıdır ve sonra yeniden ölçeklendirilmesi ile e1e1 = 1 tutulur.

Bu kurallar uygulanarak,

\mathbf{e}^1 = \frac{1}{2}\mathbf{e}_1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_2 buluruz ve
\mathbf{e}^2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2.

Böylece karşılıklılık esasına göre orijinal bazda gidiş içinde temel matrisin değişimi

R = \begin{bmatrix}1/2 & -1/\sqrt{2}\\
-1/\sqrt{2} & 2
\end{bmatrix},

nedeniyle

[\mathbf{e}^1\ \mathbf{e}^2] = [\mathbf{e}_1\ \mathbf{e}_2]\begin{bmatrix}1/2 & -1/\sqrt{2}\\
-1/\sqrt{2} & 2
\end{bmatrix}.

Örneğin, vektör

v = \frac{3}{2}\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 dir ve bir vektör karşıtdeğişir bileşenleri ile
v^1 = \frac{3}{2},\quad v^2 = 2. eşdeğişken bileşenleri v vektörü için denkliğin iki bağıntısı ile elde ediliyor:
v = v_1\mathbf{e}^1 + v_2\mathbf{e}^2 = v^1\mathbf{e}_1+v^2\mathbf{e}_2 böylece
\begin{align}
\begin{bmatrix}v_1\\ v_2\end{bmatrix} &= R^{-1}\begin{bmatrix}v^1\\ v^2\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}4&\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v^1\\ v^2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6+2\sqrt{2}\\2+3/\sqrt{2}\end{bmatrix}\end{align}.

Üç-boyutlu Öklid uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Üç boyutlu Öklid uzayda,ayrıca bir zorunlu olarak ne dikey ne de birim norm varsayımı değildir.E3ün verilen bir e1, e2 e3 taban vektörlerinin kümesi açıkça çift taban olarak belirlenebilir.Karşıtdeğişken(dual) taban vektörleri:

 \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\mathbf{e}_1 \cdot (\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\mathbf{e}_2 \cdot (\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1)}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\mathbf{e}_3 \cdot (\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2)}.

ei ve ei çifti ortonormal değildir,bu hala karşılıklı ikilidir:

\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j,

O zaman herhangi vektör v nin karşıtdeğişken koordinatlaarı v nin nokta çarpımı ile elde edilebilir ve karşıtdeğişken taban vektörleri ile:

 q^1 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad q^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad q^3 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^3. \,

aynı şekilde, v nin eşdeğişken bileşenleri v nin nokta çarpımından eşdeğişken taban vektörleri ile elde edilebilir, viz.

 q_1 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad q_2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad q_3 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_3. \,

İse v iki (karşılıklı) yolla ifade edilebilir, viz.

 \mathbf{v} = q_i \mathbf{e}^i = q_1 \mathbf{e}^1 + q_2 \mathbf{e}^2 + q_3 \mathbf{e}^3 \,

veya

 \mathbf{v} = q^i \mathbf{e}_i = q^1 \mathbf{e}_1 + q^2 \mathbf{e}_2 + q^3 \mathbf{e}_3. \,

elimizde yukarıdaki ilişkileri birleştiren ki

 \mathbf{v} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,

ve biz karşıtdeğişken tabanına eşdeğişken dönüştürebiliriz

q_i = \mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_i = (q^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) q^j \,

ve

q^i = \mathbf{v}\cdot \mathbf{e}^i = (q_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) q_j. \,

eşdeğişken koordinatların indisleri, vektorleri, ve tansörlerin indisleri vardır.Eğer eşdeğişken taban vektörleri ortonormal ise bu eşdeğişken taban vektorlerine eşdeğerdir, böylece bu eşdeğişken ve karşıtdeğişken koordinatlar arasında ayrıma gerek yoktur.

Genel Öklid uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha genel olarak,bir n-boyutlu Öklid uzayı V içinde, eğer bir taban

\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n,ise

karşılıklı taban ile veriliyor

\mathbf{e}^i=e^{ij}\mathbf{e}_j

burada eij katsayısı matrisin tersinin girişidir

e_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j.

Yani, O zaman elimizde

\mathbf{e}^i\cdot\mathbf{e}_k=e^{ij}\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_k=e^{ij}e_{jk} = \delta^i_k.

Herhangi vektörlerin eşdeğişken ve karşıtdeğişken bileşenleri

 \mathbf{v} = q_i \mathbf{e}^i = q^i \mathbf{e}_i \,

yukarıdaki ile ilişkili olarak

q_i = \mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_i = (q^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = q^je_{ji}

ve

q^i = \mathbf{v}\cdot \mathbf{e}^i = (q_j\mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = q_je^{ji}. \,

Resmi olmayan genel[değiştir | kaynağı değiştir]

fizikte alanlar konusunda,eşdeğişken sıfatı sıklıkla değişken için bir sinonim olarak resmi olmadan kullanılır. Örneğin, Schrödinger denkleminin özel görelilik koordinat dönüşümleri altında yazılan formu tutmaz.Böylece, bir fizikçi Schrödinger denklemi eşdeğişken değil diyebilir. Buna karşılık, Klein-Gordon denklemi ve Dirac denklemi Bu koordinat dönüşümleri altında yazılı şeklini korur. Böylece, bir fizikçi bu denklemler eşdeğişken olduğunu söyleyebilirsiniz.

"Eşdeğişken"nin geneline rağmen,bu Klein-Gordon ve Dirac denklemleri değişmez olduğunu ve Schrödinger denkleminin değişmez olmadığını söylemek daha doğru olur. toplanırlık, belirsizliği kaldırmak için, değişmezliği değerlendirilir kılan dönüşüm gösterilmelidir.

Vektörlerinin bileşenleri karşıtdeğişken ve eşvektörler olanlar eşdeğişken olduğu için, vektörlerin kendileri de karşıtdeğişken ve eşdeğişken gibi eşvektörler olarak adlandırılır.

geri çekme - difeomorfizm altında kontravaryant ve eşvektörler - Diffeomorfizm altında eşdeğişkendir- Bu kullanım vektörleri beri ileri itme ancak yanıltıcı olabilir .

Bak Einstein gösterimi ayrıntıları için.

Tensör analizinde kullanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Eşdeğişir ve zıtdeğişir arasında ayrım tensörler ile hesaplamalar için özel önemli taşır, bunun için sıklıkla karışıkdeğişken denir.Bunun anlamı hem eşdeğişken ve hemde karşıtdeğişken bileşenleri veya hem vektör ve hemde ikili vektör bileşenleri var.Bir tensörün değeri değişken ve eşdeğişken terimlerinin sayılarıdır, ve Einstein gösterimi içinde, eşdeğişken bileşenleri alt indisler var, iken karşıtdeğişken bileşenleri üst indisler var. İkilik eşdeğişken ve karşıtdeğişken arasında müdahale edildiğinde bir vektör veya tensör nicelik bileşenleri ile gösteriliyor, modern diferansiyel geometri kullanılmasına rağmen tensörler gösterimine serbest-indeks metotları daha felsefidir

tensör analizinde, bir eşdeğişken vektör çeşitler more veya bir karşıtdeğişken vektör karşılığına karşılıksızlıktır.Uzunluklar için bağıntılar, alanlar ve vektör uzayı içinde nesnelerin hacimleri eşdeğişken ve karşıtdeğişken indisleri ile tensörlerin terimleri içinde verilebilir. Koordinatların basit açılması ve büzülmesi altında , karşılıklılık tamdır; karıştırılmış bir vektörün bileşenleri afin dönüşümü altında eşdeğişinken ve karşıtdeğişinken bağıntıları arasında gidiyor bir manifold üzerinde,tipik olacak bir tensor alanının iki türden çoğul indisler var.Yaygın olarak izlenen kural tarafından, eşdeğişken indisleri alt indisler olarak yazılıyor, oysa eşdeğişinken indisler alt indislerdir.Eğer manifold is donanım ile bir metrik, eşdeğişken ve karşıtdeğişken indisler birbirine çok yakından ilişki alır.Büzülme tarafından karşıtdeğişken indisler eşdeğişken indisler metrik tensör ile dönüşebilir.Terslik metrik tensörün tersinin (matris) büzülmesi ile olasıdır. Genel olarak, böyle bir ilişki bir metrik tensörde uzay içinde böyle bir ilişki olmadığını unutmayın.Ayrıca, daha soyut bir bakış açısıyla, bir tensör ya da türün bileşenleri basitçe "burada" ve seçilen koordinatlar üzerinde yalnızca hesaplanabilir kalıntılar böyle bağlı değerlerdir

Geometrik terimlerin içinde açıklama genel bir tensör karşıdeğişken indisleri gibi eşdeğişken indislerine sahip olmasıdır.Çünkü bu hem tanjant demet hem de kotanjant demet içinde diri parçalar olarak var.

Bir karşıtdeğişinken vektörü tek bu \frac{dx^{\mu}}{d\tau} dönüşümü gibidir, burada x^{\mu} \! ifadesi \tau \! uygun zamanında bir parçacığın koordinatlarıdır.Bir eşdeğişinken vektörü \frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}} dönüşümleri gibidir, burada \phi \! bir skaler alandır.

Cebir ve geometri[değiştir | kaynağı değiştir]

Buradaki kategori teorisi içinde olanlar eşdeğişken funktörler ve karşıtdeğişken funktörlerdir.bir vektör uzayının ikili uzayı bir karştdeğişken funktörün bir standard örneğidir.Çokludoğrusal cebirin bazı yapıları 'karışık' değişkendir, funktör olmaktan alıkoyan budur.

Geometride,aynı iç gönderme/dış gönderme ayrımı yapıların değişkenliğinin değerlendirilmesinde faydalıdır.Bir düzgün manifold M e bir tanjant vektör başlangıçta M içine düzgün bir eğri gönderme ve verilen bir P noktası aracılığıyla geçiyor. Bu bunun için M in düzgün göndermeleri sırasıyla eşdeğişkendir.Bir karşıtdeğişken vektör,veya 1-form,reel eksene M den bir düzgün göndermeyle yapılan P yakınındaki aynı yoldur.Bu kotanjant demet içindedir, tanjant uzayının ikili uzayından inşa edilir . bu sırasıyla bileşenler dxitek-formun bir yerel taban eşdeğişken olacak; ama tek-formlar ve genel içinde diferansiyel formun geri çekme düzgün göndermeleri altında karşıtdeğişkendir,uygulama için bu çok önemlidir ; örneğin bir diferansiyel form herhangi altmanifoldla sınırlı olabilirken,bu tanjant vektörler için aynı bir alan mantıklı değildir.

Eş-değişken ve karşıt-değişken bileşenlerin dönüşümü koordinat dönüşümleri altında farklı yollar içindedir.Bir manifold üzerinde bir gönderimden manifoldun kendisine olacak şekilde bir koordinat dönüşümü dikkate alınarak ,bir tensörün eşdeğişken indislerinin dönüşümü bir geri çekme ile veriliyor, ve karşıtdeğişken indislerinin dönüşüm özellikleri ise bir ileri itme ile veriliyor.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Bir taban Rn den Vye bir doğrusal izomorfizm olarak f burada kazançlı görülebilir.Bir satır vektörü girişleri olarak f,ilişkili tabanın ögeleriyle ilişkili doğrusal izomorfizm ise \mathbf{x}\mapsto \mathbf{f}\mathbf{x}.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0. 
  2. ^ Bowen, Ray (2008). "Introduction to Vectors and Tensors". Dover. ss. 78, 79, 81. http://repositories.tamu.edu/bitstream/handle/1969.1/2502/IntroductionToVectorsAndTensorsVol1.pdf?sequence=12. 
  • Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005), Mathematical Methods for Physicists (6th bas.), San Diego: Harcourt, ISBN 0-12-059876-0 .
  • Dodson, C. T. J.; Poston, T. (1991), Tensor geometry, Graduate Texts in Mathematics, 130 (2nd bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52018-4, MR =1223091 1223091 .
  • Greub, Werner Hildbert (1967), Multilinear algebra, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., New York, MR =0224623 0224623 .
  • Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
  • Sylvester, J.J. (1853), "On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society) 143: 407–548, doi:10.1098/rstl.1853.0018, JSTOR 108572 .

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Tensors