Touchard polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Touchard polinomları,Jacques Touchard tarafından 1939'da çalışıldı, ayrıca [1] içinde adlandırılır [2] ,[3] binomial tipin bir polinom dizisi içeren

T_0(x) = 1,\qquad T_n(x)=\sum_{k=1}^n S(n,k)x^k=\sum_{k=1}^n
\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}x^k, \quad n > 0,

ile tanımlanıyor

burada S(n, k) bir ikinci türün Stirling sayısıdır, yani, bu k içinde n boyutlu bir kümenin kısımlarının sayısı parçalanmış boş-küme altkümeleridir. (yukarıdaki ikinci gösterim, {parantez} ile, Donald Knuth tarafından tanıtıldı.) n inci Touchard polinomlarının 1'de değeri n inci Bell sayısıdır, yani,n boyutun bir kümesinin parçalarının sayısı:

T_n(1)=B_n.

Eğer X bir rastgele değişken yani bir Poisson dağılımı ile λ değeri bekleniyor, ise onun n inci momenti E(Xn) = Tn(λ) dır, baş tanım:

T_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k k^n} {k!}.

Kullanılan bu tek durum bu hızlı polinom dizisi sağlayabilen binomal tipindir,yani, bunun özdeşinin yeterli dizisidir:

T_n(\lambda+\mu)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} T_k(\lambda) T_{n-k}(\mu).

Polinomları her polinomunun 1'inci derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binom türü tek polinom dizisi oluşturur. Touchard polinomlarını her polinomun 1. derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binomal tipin tek polinom dizisini oluşturuyor.

T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x).

Touchard polinomları için Rodrigues-benzeri formül uygundur:

T_n \left(e^x \right) = e^{-e^x} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{e^x}\right)

Touchard polinomları için yineleme ilişkisi uygundur

T_{n+1}(x)=x \left(1+\frac{d}{dx} \right)T_{n}(x).

Ve

T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x).

x = 1 durumunda, bu Bell sayıları için yineleme formülüne indirgenir.

Kullanılan Şemsiye gösterimi Tn(x)=Tn(x),burada olan formüller:

T_n(\lambda+\mu)=\left(T(\lambda)+T(\mu) \right)^n .
T_{n+1}(x)=x \left(1+T(x) \right)^n.

Touchard polinomlarının üreteç fonksiyonu

\sum_{n=0}^\infty {T_n(x) \over n!} t^n=e^{x\left(e^t-1\right)}.

Bu ikinci türün Stirling sayıları#üretim fonksiyonunun üreteç fonksiyonuna karşı gelir ve [1] burada üstel Polinomlar için kaynaktır. Ve bir kontur integral gösterimi

T_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{e^{x({e^t}-1)}}{t^{n+1}}\,dt

Touchard polinomları (ve burada Bell sayıları ile) , yukardaki integralin gerçel kısmı kullanılıyor, tamsayı olmayan derecesine genelleştirilebilir:

T_n(x)=\frac{n!}{\pi} \int^{\pi}_0 e^{x \bigl(e^{\cos(\theta)} \cos(\sin(\theta))-1 \bigr)} \cos \bigl(x e^{\cos(\theta)} \sin(\sin(\theta)) -n\theta) \, \mathrm{d}\theta

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. ISBN 0-486-44139-3. 
  2. ^ Boyadzhiev, Khristo N.. "Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals.". arxiv. http://arxiv.org/pdf/0909.0979.pdf. Erişim tarihi: 23 November 2013. 
  3. ^ Brendt, Bruce C. "RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU". http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/gravesnatching.pdf. Erişim tarihi: 23 November 2013.