Simpleks

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Tek-yönlü sayfasından yönlendirildi)
Atla: kullan, ara
Bir düzenli 3-simpleks veya dörtyüzlü

Geometri'de, bir simpleks (çoğulu simpleksler veya simplikler),üçgen gösteriminin bir genellemesi veya dörtyüzlü'nün boyutudur. Özel olarak, bir k-simpleks bir k-boyutlu politop'tur k + 1 köşeler dış-bükey'dir Daha formel olarak,k + 1 nokta u_0,\dots, u_k \in \mathbb{R}^k yardımıyla afin bağımsızdır,bunun anlamı u_1 - u_0,\dots, u_k-u_0 lineer bağımsızdır. öyleyse,bunlar tarafından belirlenen simpleks noktalar kümesidir  C =\{\theta_0 u_0 + \dots+\theta_k u_k | \theta_i \ge 0, 0 \le i \le k, \sum_{i=0}^{k} \theta_i=1\} . örneğin, bir 2-tek-yönlü bir üçgendir, bir 3-simpleks bir dörtyüzlüdür, ve bir 4-simpleks 5-hücredir. Bir tek nokta belkide bir 0-simplekstir, ve bir doğru parçası belkide bir 1-simplekstir. Bir simpleks belkide verilen köşeleri içeren en küçük içbükey küme olarak tanımlanabilir .

Bir düzenli simpleks [1] bir simplekstir.Bu ayrıca bir düzenli politoptur.. Bir düzenli n-simpleksin inşası belkide bir düzenli(n − 1)-tekyönlü bağlantısıyla yeni bir köşe ortak köşe uzunluğu yardımıyla bütün orijinal köşelere yapılmaktadır.

topoloji'de ve kombinatorik'te,bu “ortak-yapışkan”a karşılık gelir, simplekslerin bu formu bir simpleks komplekstir.İlişkisel kombinatorik yapı soyut simpleks kompleks olarak adlandırılır, bu bağlamda “simpleks” kelimesi basit anlamda herhangi köşenin sonlu kümesidir. matematikte ve özellikle cebrik topoloji ve homoloji teorisi, bir Öklid simpleks Öklid uzayı içinde konveks kümenin özel bir tipidir.Bir üçgenin genelleştirme fikri, ve üçgenleştirme için kullanılıyor.

Öklidyen simpleks[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

E3 içinde bir Öklid 3-simpleks.

Diyelimki y0, y1, …, yk olsun doğrusal bağımsızlık Öklidyen n-uzay içindeki verilen bir nokta, En olarak ifade edilir. Diyelimki S bir En nin altkümesi ile verilen olsun

 S := \left\{ \sum_{i=0}^k \lambda_i\bold{y}_i : \lambda_i \ge 0 \ \text{ve} \ \sum_{j=0}^k \lambda_j = 1 \right\} .

küme S bir Öklidyen k-simpleks denir,köşeler ile y0, y1, …, yk, ve sıklıkla [y0, y1, …, yk]. olarak ifade edilir.Verilen bir nokta y in S, λi verilen barisentrik koordinatlar olarak S.[2]

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Standard öklidyen simpleks[değiştir | kaynağı değiştir]

Standard Öklidyen k-simpleks, Δk ile adlandırılan Ek+1 nin bir alt kümesi olarak alınır ve [x0, x1 ile verilir …, xk] burada xi has bir 1 (i+1)st içinde pozisyon ve bir başka her yerde sıfır var,[2] yani

 \bold{x}_i = (\underbrace{0,\ldots,0}_{i},1,\underbrace{0,\ldots,0}_{k-i}) \ \ \text{tümü için} \ 0 \le i \le k .

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Δ0 1 E1 içinde bir noktadır
  • Δ1 (1,0) ve (0,1) E2içinde birleştiren çizgi segmenti
  • Δ2 (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) in E3 içinde köşeleri ile üçgendir.
  • Δ3 (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) ve (0,0,0,1) E4içinde köşeler ile dörtyüzlüdür.

Yüzler[değiştir | kaynağı değiştir]

Verilen bir Öklidyen k-simpleks [y0, y1, …, yk], Öklid p-simpleks ile köşeleri y0, y1, …, yp − yani [y0, y1, …, yp]k-simpleks S 'in bir p-boyutlu yüzü denir .[2] Simpleks ile köşeleri yp+1, yp+2, …, yk − yani − [y0, y1, …, yp].[2] ya [yp+1, yp+2, …, yk] nın ters yüzü denir. Bir öklidyen k-simpleks 0 dan k ya tüm boyutlarının yüzleri var.0-boyutlu yüzleri köşeler iken k-boyutlu yüz k-simpleksin kendisidir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Standart Öklid düşünün 3-simpleks Δ3.

  • Δ3 ün standart Öklid 3-simpleksi düşünün.Standart Öklid düşünün (1,0,0,0). Ters yüz bir 2-boyutlu bir yüzüdür; yani (standard olmayan)(0,1,0,0), (0,0,1,0) ve (0,0,0,1) köşeler ile üçgen tarafından verilen öklid 2-simplekstir.
  • 1 boyutlu yüzlerin dörtyüzlü altı kenarları,birleştiren çizgi kesimi tarafından verilen 1-boyutlu yüz düşünün (0,1,0,0)'a (1,0,0,0).Ters yüz 1-boyutlu bir yüzüdür; yani (standard olmayan) Öklid 1-simpleks ile verilen çizgi segment kesimi (0,0,0,1)'e (0,0,1,0) .
  • 2-boyutlu yüzlerin dörtyüzlü dört geleneksel üçgen yüzleri,köşeler ile üçgen tarafından verilen 2 boyutlu yüz düşünün.(1,0,0,0), (0,1,0,0) ve (0,0,1,0). Ters yüz 0-boyutlu bir yüzüdür; yani(non-standard olmayan) Öklid 0-simpleks ile (0,0,0,1) köşeleri.

n-simpleks[değiştir | kaynağı değiştir]

Elemanlar[değiştir | kaynağı değiştir]

n+1 noktanın herhangi boş olmayan küme dışbükey zarfı n-tek-yönlü olarak tanımlanır,bir simpleks yüz olarak adlandırılır. Yüzleri kendilerine tek-yönlüdür.özellikle, bir alt kümesinin dışbükey zarfının boyutu m+1 (n+1 tanımlama noktaları) m-simpleks olarak,n-simpleks m-yüz olarak adlandırılır. Bu 0-yüzler (i.e., kendine benzer Boyut-1 kümelerinin tanımlayıcı noktaları) köşe (yalın: köşe)dir,1-yüzleri denir,bu köşeler, bu (n − 1)-yüzlerine yüzleridir denir,ve bu tek n-yüzün bütünü n-kendisine simpleks denir. genel olarak,m-yüzlerinin sayısı binom katsayısına eşittir \tbinom{n+1}{m+1}. sonuç olarak, n-simpleks, m-yüzlerin sayısı olarak belkide Pascal üçgeni'nin ,(m + 1) sütunu (n + 1) satır bulunur.Bir simpleks A bir simpleks Bnin bir eş-yüzü ise B ,Anın bir yüzüdür. yüz ve yön bir simpleks kompleks'de tek-yönlü tipleri tanımlarken farklı anlamlara sahip olabilir.BakınızSimplektik kompleks#Tanımlar

Düzenli simpleks ailesi üç düzenli politop ailesinin ilkidir,Coxeter αn in etiketi olarak,diğer iki çapraz-politop ailesi,βnetiketi olarak, vehiperküp, γnolarak etiketlenir.Dördüncü bir aile, hiperküpleri sonsuz mozaikleme,δn olarak etiketlenir.

1-yüzlerin (köşeler) sayısı n-simpleksin (n-1)inci üçgen numarası'dır,n-simpleks 2-yüzlerin numarası (n-2)inci tetrahedron numarasıdır, n-simpleks 3-yüzlerin numarası (n-3)cü 5-hücre numarasıdır,ve benzerleri.

n-Simpleks ögeler[3]
Δn Adı Schläfli sembol
Coxeter-Dynkin
0-
yüzler
(vertices)
1-
yüzler
(edges)
2-
yüzler
 
3-
yüzler
 
4-
yüzler
 
5-
yüzler
 
6-
yüzler
 
7-
yüzler
 
8-
yüzler
 
9-
yüzler
 
10-
yüzler
 
Toplam yüz
=2n+1-1
Δ0 0-simpleks
(köşe)
1                     1
Δ1 1-simpleks
(kenar)
{}
CDel node 1.png
2 1                   3
Δ2 2-simpleks
(üçgen)
{3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 3 1                 7
Δ3 3-simpleks
(dörtyüzlü)
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 6 4 1               15
Δ4 4-simpleks
(5-hücre)
{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 10 10 5 1             31
Δ5 5-simpleks {3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 15 20 15 6 1           63
Δ6 6-simpleks {3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7 21 35 35 21 7 1         127
Δ7 7-simpleks {3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 28 56 70 56 28 8 1       255
Δ8 8-simpleks {3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 36 84 126 126 84 36 9 1     511
Δ9 9-simpleks {3,3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1   1023
Δ10 10-simpleks {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 2047
Yüzlerin toplam sayısı, her zaman ikinin kuvveti eksi biridir. Bu rakam (hiperküp bir projeksiyon) dörtyüzlü 15 yüzlerin merkezlerini gösterir.
Yukarıdaki tabloda yüzleri sayısı Pascal üçgeni ile sol çapraz olmadan aynıdır.

Bazı mutabakatlar,[4] boş küme bir (−1)-simpleks olarak tanımlanır.Yukarıdaki simpleks eğer n = −1 ise hala mantıklıdır. Bu mutabakatlar cebirsel topoloji politop çalışması (örneğin simpleks homoloji gibi) uygulamalarında daha sık görülür.

Düzenli simpleks simetrik grafikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Petrie poligonu (çarpık ortogonal izdüşümler) bir daire üzerinde düzenli simpleks tüm köşeleri gösterir ve tüm tepe çiftleri kenarlarından bağlı

1-simplex t0.svg
1
2-simplex t0.svg
2
3-simplex t0.svg
3
4-simplex t0.svg
4
5-simplex t0.svg
5
6-simplex t0.svg
6
7-simplex t0.svg
7
8-simplex t0.svg
8
9-simplex t0.svg
9
10-simplex t0.svg
10
11-simplex t0.svg
11
12-simplex t0.svg
12
13-simplex t0.svg
13
14-simplex t0.svg
14
15-simplex t0.svg
15
16-simplex t0.svg
16
17-simplex t0.svg
17
18-simplex t0.svg
18
19-simplex t0.svg
19
20-simplex t0.svg
20

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Elte, E. L. (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen  Chapter IV, five dimensional semiregular polytope
  2. ^ a b c d Wallace, Andrew H. (Jan 2009), Algebraic Topology: Homology & Cohomology, Dover Publications Inc., ISBN 0-486-46239-0 
  3. ^ Şablon:SloanesRef
  4. ^ Kozlov, Dimitry, Combinatorial Algebraic Topology, 2008, Springer-Verlag (Series: Algorithms and Computation in Mathematics)

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Dimension topics Şablon:Polytopes