Sobolev uzayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematiksel olarak, Sobolev uzay fonksiyonunun hem kendisinin Lp-normları hem de belirli bir sıraya kadar türevlerinin bir bileşimi olan bir norm ile donatılmış bir fonksiyon vektör uzayıdır.böylece bir Banach uzayının türevlerinin, uzayı tam yapmak için zayıf anlamda uygun olduğu anlaşılmaktadır. Sezgisel bir Sobolev uzayının bazı uygulama domeni için yeterince pek çok türevler ile fonksiyonların bir uzayıdır, kısmi diferansiyel denklemler gibi ,bir fonksiyonun hem kapsamını ve hem de düzenliliğini ölçen bir norm ile donatılmıştır. Sobolev uzayları Rus matematikçi Sergei Sobolev adını taşır.Aslında gerçek şu ki kısmi diferansiyel denklemlerin önemi,çözümleri klasik anlamda anlaşılan türevleri ile sürekli fonksiyonların uzaylarından ziyade Sobolev uzayında doğal olarak bulunma gerçeğinden geliyor.

Alıştırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiksel fonksiyonların düzgünlüğü için pek çok kriter vardır.En temel kriter süreklilikolabilir. (diferansiyellenebilir olan işlevleri de sürekli olduğundan dolayı) pürüzsüzlüğün güçlü bir kavramı diferensiyellenebilirlik olmasıdır ve pürüzsüzlük henüz güçlü bir kavram (bu fonksiyonlar C1 — sınıfından olduğu söyleniyor - diferansiyellenebilirlik sınıfına bakın) türevinin de sürekli olmasıdır. Diferansiyellenebilir fonksiyonlar birçok alanda, ve özellikle diferansiyel denklemler için önemlidir.Ancak yirminci yüzyılda, C1 (or C2,vb.) uzayının tam diferansiyel denklemlerin çözümlerini incelemek için doğru yer olmadığı gözlendi.Sobolev uzaylarında kısmi diferansiyel denklemlerdeki bu çözümleri aramak için bu uzayların modern bir yedeği vardır Diferansiyel denklemin altta yatan modelin özellikleri veya büyüklükleri genellikle oldukça daha tektip norm,integral normlar olarak ifade edilmiştir. Tipik bir örnek, L2-normuyla bir sıcaklığın, ya da hız dağılımının enerjisinin ölçülmesidir. Bu Lebesgue uzayı fonksiyonlarını ayırt etmek için bir araç geliştirmek bu nedenle önemlidir. kısmi inegrasyon formülü bu her uCk(Ω) için elde edilir, burada k bir doğal sayı ve tüm sonsuzca diferansiyellenebilen fonksiyonlar ile sıkı destek φCc(Ω) içindir,

 \int_\Omega uD^\alpha\varphi\;dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega \varphi D^\alpha u\;dx,

burada α |α| = k ve Ω derecenin bir çoklu-indisin içinde bir açık altkümedir. burada, gösterim

D^{\alpha}f = \frac{\partial^{| \alpha |} f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}},

kullanılıyor.

Bu denklemin sağ el tarafı yine mantıklı eğer biz yanlız varsayarsak u yerel integrallenebilir olur. Eğer burada exists bir yerel integrallenebilir fonksiyon v ise, böylece

 \int_\Omega uD^\alpha\varphi\;dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega \varphi v \;dx, \ \ \ \ \varphi\in C_c^\infty(\Omega),

biz v için unun zayıf α-inci kısmi türevi deriz. eğer burada unun bir zayıf α-inci kısmi türevi varsa,bu hemen hemen her yerde teklik tanımlar . diğer el üzerine, eğer u ∈ Ck(Ω), ise klasik ve zayıf türev örtüşür. Böylece, eğer v unun bir zayıf α-inci kısmi türevi,biz Dαu := v ile ifade edebiliriz .

örneğin,fonksiyon

u(x)=\begin{cases}
1+x & \text{if }-1<x<0 \\
10 & \text{if }x=0\\
1-x & \text{if }0<x<1\\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

sıfırda sürekli değildir , ve −1, 0, veya 1 de diferansiyellenemez. elde fonksiyon

v(x)=\begin{cases}
1 & \text{if }-1<x<0 \\
-1 & \text{if }0<x<1\\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

u(x)nın zayıf türevi için doyurucu tanım olur, bu ise qualifies as being in the Sobolev uzayında W^{1,p} olarak nitelendirir (herhangi p için izin verdikçe, bak tanım aşağıdadır).

Sobolev uzayı zayıf diferansiyellenebilirliğin konseptinin kombinasyonu Wk,p(Ω) ve Lebesgue normları.

Tamsayı k ile Sobolev uzayları[değiştir | kaynağı değiştir]

Tek-boyutlu durum[değiştir | kaynağı değiştir]

tek-boyutlu durum içinde (R üzerinde fonksiyonlar) Sobolev uzayı W k,p f fonsiyonlarının alt kümesi tanımlanabilir Lp(R) içinde böylece f fonksiyonu ve bazı k derecelere kadar bu zayıf türevlerdir ve p (1 ≤ p ≤ +∞)için verilen bir sonlu Lp norm var.Tam anlamıyla türevlerini tanımlamak için yukarıda belirtildiği gibi, biraz dikkatli olmak gerekir.Bunu tek boyutlu bir problem olarak varsaymak için f (k−1)yeterlidir. f fonksiyonunun ,(k − 1)-inci türevi hemen hemen her yerde türevlenebilir ve onun türevinin Lebesgue integraline hemen her yerde eşittir(Bu örnekle açıklanırsa örneğin Cantor fonksiyonu gibi bu tanımı ilgisiz gerçekleştirmek için çalışıyor).

Bu tanım ile,Sobolev uzayı bir doğal norm kabul eder,

\|f\|_{k,p} = \left (\sum_{i=0}^k \left \|f^{(i)} \right \|_p^p \right)^{\frac{1}{p}} = \left (\sum_{i=0}^k \int \left |f^{(i)}(t) \right |^p\,dt \right )^{\frac{1}{p}}.

|| ⋅ ||k,p normu ile donanım, W k,p bir Banach uzayı alır.Bu çıkıyor ki o dizi içinde yalnızca ilk ve son almak için yeterli yani,norm ile tanımı

\left \|f^{(k)} \right \|_p + \|f\|_p

yukarda norma eşdeğerdir (bakınızNormlu vektör uzayı#Topolojik yapı).

p = 2 durumu[değiştir | kaynağı değiştir]

Sobolev uzayları ile p = 2 (en azından[kaynak belirtilmeli] bir tek-boyutlu sonlu aralık üzerinde) özellikle önemli, çünkü onların Fourier serisi bağlantısı ile ve çünkü onlar bir Hilbert uzayı formu. Bir özel gösterimi kapsayacak şekilde ortaya çıkan durumu nedeniyle bu uzay bir Hilbert uzayıdır:

H k = Wk,2.

H k uzayı Fourier serisinin terimleri içinde doğallıkla tanımlanabilen böyle katsayıları yani, hızla yeteri kadar çürümeye,

H^k({\mathbb T}) = \left \{ f\in L^2({\mathbb T}) : \sum_{n=-\infty}^\infty \left (1+n^2 + n^4 + \dots + n^{2k} \right ) \left |\widehat{f}(n) \right |^2 < \infty \right \}

burada \widehat{f} Şablon:Mvarin Fourier serisidir . Yukardan, tek eşdeğer norm kullanabiliriz

\|f\|^2=\sum_{n=-\infty}^\infty \left (1 + |n|^{2} \right )^k \left |\widehat{f}(n) \right |^2.

Her iki gösterimler aşağıda Parseval teoreminden kolayca ve aslında diferensiyasyon Fourier katsayıları ile çarpmaya eşittir.

ayrıca,H k uzayı bir iç çarpım kabul eder , uzay gibi H 0 = L2. aslında, H k iç çarpım L2nin terimleri içinde tanımlanan iç çarpım:

\langle u,v\rangle_{H^k} = \sum_{i=0}^k \left \langle D^i u,D^i v \right \rangle_{L^2}.

Uzay H k bu iç çarpım ile bir Hilbert uzayı alınır.

Diğer örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer bazı Sobolev alanlarda basit bir açıklamasına izin verir. Örneğin, W 1,1(0, 1) (0, 1) üzerinde mutlak sürekli fonksiyonların uzayıdır(ya da daha doğrusu, Bu tür hemen hemen her yerde eşit fonsiyonları), iken W 1,∞(I) Lipschitz fonksiyonlarının uzayı I üzerinde,her interval I aralığı için.Tüm uzaylar Wk,∞ (normlu) cebirlerdir, yani iki ögelerin çarpımının yine bu Sobolev uzayının bir fonksiyonudur , bu p < +∞ için durum böyle değildir. (Örneğin |x|−1/3gibi davranışı başlangıçta L2 içinde, ama iki fonksiyon gibinin çarpımı L2)içinde değildir.

Çokboyutlu durum[değiştir | kaynağı değiştir]

Çoklu boyutlara ötelemeye getirilen büyük zorluk,çok tanımdan başlıyor.Bu f (k−1) gerekli olsunf (k)'in integrali genelleştirilemez ve basit çözüm dağılım teorisinin anlamı içinde düşünülen türevleredir.

şimdi bir resmi tanım izleyelim. Diyelimki Ω Rn içinde bir açık küme olsun, Diyelimki k bir doğal sayı ve Diyelimki 1 ≤ p ≤ +∞ olsun.Sobolev uzayı W k,p(Ω) tüm fonksiyonların kümesi Ω üzerinde f olarak tanımlanıyor böylece her çoklu-indis için α ile |α| ≤ k,kısmi türev karışımıdır

f^{(\alpha)} = \frac{\partial^{| \alpha |} f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}

her ikisi yerel integrallenebilirdir ve Lp(Ω) içinde, yani

\left \|f^{(\alpha)} \right \|_{L^{p}} < \infty.

Bu,Sobolev uzayı W k,p(Ω) olarak tanımlanıyor

 W^{k,p}(\Omega) = \left \{ u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \,\, \forall |\alpha| \leq k \right \}.

Doğal sayı Şablon:Mvar Sobolev uzayı W k,p(Ω)nın derecesidir.

Burada W k,p(Ω) için bir norm için seçilen birkaçıdır.Aşağıda iki ortak ve normların eşdeğerliğinin anlamı içinde eşdeğerdir:

\| u \|_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} 
\left( \sum_{|\alpha | \leq k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^p(\Omega)}^p \right)^{\frac{1}{p}}, & 1 \leq p < +\infty; \\ 
\max_{| \alpha | \leq k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^{\infty}(\Omega)},  & p = +\infty; 
\end{cases}

ve

\| u \|'_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} 
\sum_{| \alpha | \leq k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^{p}(\Omega)},      & 1 \leq p < + \infty; \\ 
\sum_{| \alpha | \leq k} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^{\infty}(\Omega)}, & p = + \infty. 
\end{cases}

ya da sırasıyla bu normların, W k,p(Ω) bir Banach uzayıdır.p < +∞, W k,p(Ω) için is ayrıca bir ayrılabilir uzay. It is conventional to denote Wk,2(Ω) by H k(Ω) for it is a Hilbert space with the norm \| \cdot \|_{W^{k, 2}(\Omega)} .[1]

Düzgün fonksiyonlar ile yaklaşıklık[değiştir | kaynağı değiştir]

Sobolev uzayının birçok özellikleri doğrudan tanımdan görülemeyebilir. Ona bu koşullar altında bir fonksiyonu araştırmak dolayısıyla ilgili uW k,p(Ω) düzgün fonksiyonlar ile yaklaşılabilir.Eğer Şablon:Mvar sonlu ve Ω Lipschitz sınırı ile sınırlı, ise herhangi uW k,p(Ω) için burada umC(Ω) fonksiyonların dizisinedüzgün sınıra kadar böylece bir yaklaşıklık var, :[2]

 \left \| u_m - u \right \|_{W^{k,p}(\Omega)} \to 0.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha yüksek boyutlar içinde, bu bundan böyle gerçektir, örnek, W1,1 yalnızca sürekli fonksiyonlar içeriyor. örnek, 1/|x| W1,1(B3) boyunca burada B3 birim küre üç boyutlar içindedir.k > n/p için Wk,p(Ω) uzayı yalnızca sürekli fonksiyonlar içeriyor olacak, ama k için bu zaten hem p ve hem boyut üzerinde doğru bağlıdır örnek, olarak küresel kutupsal koordinatlar kolay kontrole edebilmek için f : BnR ∪ {+∞}, fonksiyonu n-boyutlu küre üzerinde tanımlanır.elimizde:

f(x) = | x |^{-\alpha} \in W^{k,p}(\mathbf{B}^n) \ \Leftrightarrow \ \alpha < \tfrac{n}{p} - k.

sezgisel olarakfin patlaması 0'dan "daha az sayısı" eğer n birim küre yüksek boyutlardan bu yana içinde "içeride dışarıda daha fazla ve daha az" büyük var.

Sobolev fonksiyonların tanımlama doğruları (ACL) üzerinde mutlak süreklilik[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki Ω bir açık küme Rn içinde ve 1 ≤ p ≤ +∞ olsun. Eğer bir fonksiyon W 1,p(Ω)içinde, ise, sıfır ölçüsünün bir kümesi üzerinde fonksiyon muhtemelen değiştirdikten sonra, hemen her yerde sınırlı Rn içinde koordinat yönlerine paralel doğru mutlak süreklidir; dahası, the klasik türev boyunca bu doğru koordinat yönlerine paralel Lp(Ω) içindedir. Aksine, Eğer koordinat yönlerine paralel doğru hemen her yerde için Şablon:Mvar sınırla mutlak süreklidir, ise noktasal gradyan f hemen her yerde var, ve Şablon:Mvar W 1,p(Ω)içinde Şablon:Mvar ve |∇f | sağlayan Lp(Ω) içindeki ikilidir. Özel olarak,Şablon:Mvar'in zayıf kısmi türevleri bu durum içinde ve pointwise partial derivatives of Şablon:Mvar'in kısmi türevleri hemen her yerde tutarlıdır.Sobolev uzayının ACL tanımlaması Otto M. Nikodym tarafından inşa edilmişti (1933); bakınız Maz'ya 1985, §1.1.3.

p > n durumu içinde daha güçlü sonuç tutar.W 1,p(Ω) içinde bir fonsiyonu sıfır ölçümünün bir kümesi üzerinde değiştirdikten sonra,γ = 1 − n/p üstelinin Hölder süreklisi, Morrey eşitsizliği ile daha güçlü sonuç tutar. Özel olarak, eğer p = +∞, fonksiyon Lipschitz süreklisidir.

Sınırlarda fonksiyonların kaybolması[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki Ω Rn içinde bir açık küme olsun.Sobolev uzayı W 1,2(Ω) ayrıca H1(Ω) ile ifade edilir. Bu bir Hilbert uzayı, ile Ω içinde tam desteklenen sonsuzca diferensiyellenebilen fonksiyonların H1(Ω) içinde kapalı olan önemli bir altuzay H10(Ω) tanımlanır .Sobolev norm yukarda şuna indirgenerek tanımlanır

\|f\|_{H^1} = \left ( \int_\Omega \left ( |f|^2 + |\nabla f|^2 \right) \right)^{\frac{1}{2}}.

Eğer Ω bir düzenli sınır varsa, H10(Ω) H1(Ω) içinde fonksiyonların uzayı olarak tanıtılabilir izlerin anlamı içinde sınırda bu kaybolur (aşağı bakınız). Eğer n = 1, eğer Ω = (a, b) bir sınır aralığı, [a, b] formunun üzerinde sürekli fonksiyonların oluşturduğu H10(a, b) ise

f(x) = \int_a^x f'(t) \, \mathrm{d}t, \qquad x \in [a, b]

burada genel türevi f′ is L2(a, b)içinde ve 0 integral var, böylece f (b) = f (a) = 0dir.

Eğer Ω sınır, ise Poincaré eşitsizliği durumu burada C = C(Ω) bir sabittir böylece

\int_\Omega | f|^2 \le C^2 \, \int_\Omega |\nabla f|^2, \quad f \in H^1_0(\Omega).

Eğer Ω sınır, ise H10(Ω) dan L2(Ω)ya enjeksiyon tamdır. Bu etken Dirichlet probleminin incelemesi içinde bir rol oynar, ve aslnda burada Laplace işlemcisinin özvektörünün oluşturduğu L2(Ω) bir ortonormal baz var(Dirichlet sınır koşuluile ).

Tamsayı olmayan k ile Sobolev uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel potansiyel uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

k doğal sayısı için ve 1 < p < ∞ tek (Fourier çarpımları ile kullanılarak gösterilebilir [3][4]) bu uzay Wk,p(ℝn) eşdeğerlilik olarak tanımlanabilir

 W^{k,p}(\mathbb{R}^n) = H^{k,p}(\mathbb{R}^n) := \left \{f \in L^p(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{k}{2}}\mathcal{F}f \in L^p(\mathbb{R}^n) \right \}

normu ile

\|f\|_{H^{k,p}(\mathbb{R}^n)} := \left \|\mathcal{F}^{-1} \left (1+ |\xi|^2 \right )^{\frac{k}{2}}\mathcal{F}f  \right \|_{L^p(\mathbb{R}^n)} .

Bu alıştırmalar Sobolev uzayı ile tamsayı-olmayan derece yukardaki tanımdan bu yana k herhangi gerçek sayı ile s yerine alınabilir,sonuç uzaylar

 H^{s,p}(\mathbb{R}^n) := \left \{f \in L^p(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1}\left (1+ |\xi|^2 \right )^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \in L^p(\mathbb{R}^n) \right \}

Bessel potansiyel uzayları denir[5] (Friedrich Bessel adına). Bu genel içinde Banach uzayları ve p = 2 özel durumu içinde Hilbert uzaylarıdır.

Bir açık küme Ω ⊆ ℝn için, Hs,p(Ω) fonksiyonların kısıtlamalarının kümesi Hs,p(ℝn) dan Ω ya donanımı ile norm

\|f\|_{H^{s,p}(\Omega)} := \inf \left \{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb{R}^n)} : g \in H^{s,p}(\mathbb{R}^n), g|_{\Omega} = f \right \} .

Yine, Hs,p(Ω) bir Banach uzayıdır ve p = 2 durumu içinde bir Hilbert uzayı.

Sobolev uzayları için teoremlerin uzantıları kullanılarak, bu gösterilebilir bu ayrıca Wk,p(Ω) = Hk,p(Ω) eşit normlarının anlamı içinde tutar, eğer Ω domen ile tektip Ck-sınırlarıdır, k bir doğal sayı ve 1 < p < ∞.gömmeler ile

 H^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{k, p}(\mathbb{R}^n), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1

Hs,p(ℝn) formu Bessel potansiyel uzayları arasında Sobolev uzayları bir sürekli skala Wk,p(ℝn).Soyut bir bakışla,Bessel potansiyel uzayları Sobolev uzayının karmaşık aradeğerleme uzayıları olarak oluşur, yani eşdeğer normların anlamı içinde şu tutulur

 \left [ W^{k,p}(\mathbb{R}^n), W^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \right ]_\theta = H^{s,p}(\mathbb{R}^n),

burada:

1 \leq p \leq \infty, \ 0 < \theta < 1, \ s= (1-\theta)k + \theta (k+1)= k+\theta.

Sobolev–Slobodeckij uzayları[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer yaklaşım Lp-çerçeveye Hölder durumu genellemesine fikir olarak ortaya çıkan kesirli dereceli Sobolev uzayınadır.[6]nnin açık bir Ω alt kümesi için, 1 ≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) ve fLp(Ω), Slobodeckij yarınormu (Hölder yarınorma kabaca benzer) ile tanımlanıyor

 [f]_{\theta, p, \Omega} :=\left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{\theta p + n}} \; dx \; dy\right)^{\frac{1}{p}} .

Diyelimki s > 0 bir tamsayı ve \theta = s - \lfloor s \rfloor \in (0,1) kümesi olmasın.Hölder uzayları için aynı fikir kullanılıyor,Sobolev–Slobodeckij uzayı[7] Ws,p(Ω) olarak tanımlanıyor

 W^{s,p}(\Omega) := \left\{f \in W^{\lfloor s \rfloor, p}(\Omega) : \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} < \infty \right\} .

Bu norm için bir Banach uzayı

 \|f \| _{W^{s, p}(\Omega)} := \|f\|_{W^{\lfloor s \rfloor,p}(\Omega)} + \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} .

Eğer açık altküme Ω burada varolan işlemci uzantıları belli anlamda içinde uygunluk düzenli, Banach uzayının bir skala formu ise ayrıca Sobolev–Slobodeckij uzayıdır,yani tek sürekli sokulmalar veya gömmeler var

 W^{k+1,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s',p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k, p}(\Omega), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1 .

Burada düzensiz Ω böylece W1,p(Ω) nun örnekleridir ve 0 < s < 1 için Ws,p(Ω) çift bir alt uzayı değildir.

Soyut bir bakış açısıyla,Ws,p(Ω) uzayı,Sobolev uzayının gerçek aradeğer uzayları ile örtüşür. yani aşağıda tutulanlar eşdeğer normların anlamı içindedir:

 W^{s,p}(\Omega) = \left (W^{k,p}(\Omega), W^{k+1,p}(\Omega) \right)_{\theta, p} , \quad k \in \mathbb{N}, s \in (k, k+1), \theta = s - \lfloor s \rfloor .

Sobolev–Slobodeckij uzayı Sobolev fonksiyonunun izlerinin incelemesi içinde önemli bir rol oynar. Bu Besov uzayının özel bir durumudur.[4]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Evans 1998, Chapter 5.2
  2. ^ Adams 1975
  3. ^ Bergh & Löfström 1976
  4. ^ a b Triebel 1995
  5. ^ Bessel potential spaces with variable integrability have been independently introduced by Almeida & Samko (A. Almeida and S. Samko, "Characterization of Riesz and Bessel potentials on variable Lebesgue spaces", J. Function Spaces Appl. 4 (2006), no. 2, 113–144) and Gurka, Harjulehto & Nekvinda (P. Gurka, P. Harjulehto and A. Nekvinda: "Bessel potential spaces with variable exponent", Math. Inequal. Appl. 10 (2007), no. 3, 661–676).
  6. ^ Lunardi 1995
  7. ^ In the literature, kesirli Sobolev-tipi uzayları ayrıca Aronszajn uzayları kodlanır, Gagliardo uzayları veya Slobodeckij uzayları, matematisyenlerin adları anısına o 1950'li yıllar içinde bunları tanıttı: N. Aronszajn ("Boundary values of functions with finite Dirichlet integral", Techn. Report of Univ. of Kansas 14 (1955), 77–94), E. Gagliardo ("Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili", Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137), and L. N. Slobodeckij ("Generalized Sobolev spaces and their applications to boundary value problems of partial differential equations", Leningrad. Gos. Ped. Inst. Učep. Zap. 197 (1958), 54–112).

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]