Slutsky teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Olasılık teorisinde, Slutsky teoremi'[1] reel sayıların yakınsak dizileri için olan cebirsel işlemlerin bazı özelliklerini rassal değişkenler dizileri için genişletir. Teorem bu adı Eugen Slutsky'den sonra almıştır.[2]

Açıklama[değiştir | kaynağı değiştir]

{Xn} ve {Yn} rassal değişkenler skaları/vektörü/matrisi dizileri olsun. Eğer Xn dağılımda rassal bir eleman olan X'e ve Yn olasılıkta c gibi bir sabite yakınsıyorsa,

  • X_n + Y_n \ \xrightarrow{d}\ X + c ;
  • Y_nX_n \ \xrightarrow{d}\ cX ;
  • Y_n^{-1}X_n \ \xrightarrow{d}\ c^{-1}X,   c'nin tersinin alınabilir olduğu veri iken,

(\xrightarrow{d} dağılımda yakınsamayı ifade etmektedir.)

Notlar:


  1. Teoremin açıklamsında, “Yn olasılıkta bir sabit olan cye yakınsar” ifadesi “Yn dağılımda bir sabit olan cye yakınsar” ile değiştirilebilir — bu iki gereklilik rassal değişkenlerin yakınsaması özelliğine göre eştir.
  2. Yn sabit bir sayıya yakınsar gerekliliği önemlidir — eğer dejenere olmaya rassal bir değişkene yakınsayacak olursa teorem geçerliliğini yitirir.
  3. Tüm dağılımda yakınsama ifadelerini rassal değişkenlerin yakınsaması özelliğine dayanarak olasılıkta yakınsama ifadesi ile değiştirirsek teorem geçerliliğini devam ettirir.

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

Teorem Xn dağılımda Xe yakınsar ve Yn olasılıkta bir sabit olan cye yakınsar, bu nedenle ortak vektör (Xn, Yn) dağılımda (X, c)'ye yakınsar olgusundan hareket eder.

g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy, ve g(x,y)=x−1ynin sürekli olduğu düşünülerek (son fonksiyonun sürekli olabilmesi için xin tersinin alınabilir olması gereklidir) sürekli eşleştirme teoremi uygulanır.

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Grimmett 2001, Exercise 7.2.5
  2. ^ Slutsky 1925
  • Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes (3rd bas.). Oxford. 
  • Slutsky, E. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte" (German). Metron 5 (3): 3–89. Şablon:JFM.