Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Küresel koordinatlar (r, θ, φ) fizikte ortak kullanılır: yarıçap uzunluğu r, kutupsal açı θ (teta), and azimut açı φ (phi). ρ (rho) sembolü sıklıkla ryerine kullanılıyor.

NOTE: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, \theta z ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır , bu \phi açısı x-y düzlemi ve x ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. diğer bazı tanımlarıda kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.[1]

Silindirik koordinat sistemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör alanı[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektörler (r, θ, z) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor , burada

  • xy-düzlemine r vektör izdüşümünün uzunluğu ,
  • θ pozitif x-ekseninin (0 ≤ θ < 2π) xy-düzlemi (i.e. r)vektör izdüşümünü ile arasındaki açıdır,
  • z düzgün z-koordinatı.

(r, θ, z) kartezyen koordinat'larda şöyle verilir.:

\begin{bmatrix} r \\ \theta \\ z \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2} \\ \operatorname{arctan}(y / x) \\ z
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta < 2\pi,

veya tersi yoluyla:

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ z \end{bmatrix}.

Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:

\mathbf A = A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z} 
                 = A_r \mathbf{\hat r} + A_\theta \boldsymbol{\hat \theta} + A_z \mathbf{\hat z}

Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:

\begin{bmatrix}\mathbf{\hat r} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \mathbf{\hat z}\end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\
                   -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
                   0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}

Bir vektör alanının zaman türevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.

Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz (\dot{\mathbf{A}}). Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:

\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_x \hat{\mathbf{x}} + \dot{A}_y \hat{\mathbf{y}} + \dot{A}_z \hat{\mathbf{z}}

Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:

\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_r \hat{\boldsymbol{r}} + A_r \dot{\hat{\boldsymbol{r}}} 
  + \dot{A}_\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} + A_\theta \dot{\hat{\boldsymbol{\theta}}}
  + \dot{A}_z \hat{\boldsymbol{z}} + A_z \dot{\hat{\boldsymbol{z}}}

Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.

\begin{align}
  \dot{\hat{\mathbf{r}}} &= \dot\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\
  \dot{\hat{\boldsymbol{\theta}}} &= - \dot\theta \hat{\mathbf{r}} \\
  \dot{\hat{\mathbf{z}}}   &= 0 \end{align}

ile verilir. Zaman türevleri basitçe:

\dot{\mathbf{A}} = \hat{\boldsymbol{r}} (\dot{A}_r - A_\theta \dot{\theta})
  + \hat{\boldsymbol{\theta}} (\dot{A}_\theta + A_r \dot{\theta})
  + \hat{\mathbf{z}} \dot{A}_z

Bir vektör alanın ikinci kez türevi[değiştir | kaynağı değiştir]

fizik'te ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor . Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:

\mathbf{\ddot A} = \mathbf{\hat r} (\ddot A_r - A_\theta \ddot\theta - 2 \dot A_\theta \dot\theta - A_r \dot\theta^2)
  + \boldsymbol{\hat\theta} (\ddot A_\theta + A_r \ddot\theta + 2 \dot A_r \dot\theta - A_\theta \dot\theta^2)
  + \mathbf{\hat z} \ddot A_z

Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.

Bu demektir ki \mathbf{A} = \mathbf{P} = r \mathbf{\hat r} + z \mathbf{\hat z}.

Biz koymak yerine sonra:

\ddot\mathbf{P} = \mathbf{\hat r} (\ddot r - r \dot\theta^2)
  + \boldsymbol{\hat\theta} (r \ddot\theta + 2 \dot r \dot\theta)
  + \mathbf{\hat z} \ddot z

Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:

\begin{align}
  \ddot r \mathbf{\hat r}          &= \mbox{central outward acceleration} \\
  -r \dot\theta^2 \mathbf{\hat r}    &= \mbox{centripetal acceleration} \\
  r \ddot\theta \boldsymbol{\hat\theta}      &= \mbox{angular acceleration} \\
  2  \dot r \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} &= \mbox{Coriolis effect} \\
  \ddot z \mathbf{\hat z}               &= \mbox{z-acceleration}
  \end{align}

Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi.

Küresel koordinat sistemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör alanı[değiştir | kaynağı değiştir]

(ρ,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler

  • ρ vektörünün boyudur,
  • θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
  • φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır(0 ≤ φ < 2π),

(by:

\begin{bmatrix}\rho \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\  \arccos(z / \rho) \\ \arctan(y / x)
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi < 2\pi,

tarafından

ya da ters tarafından:

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \rho\sin\theta\cos\phi \\ \rho\sin\theta\sin\phi \\ \rho\cos\theta\end{bmatrix}.

Birim vektör yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:

\mathbf A = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} 
                 = A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}

Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:

\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat\rho} \\ \boldsymbol{\hat\theta}  \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
                    \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
                    -\sin\phi          & \cos\phi           & 0 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}

Bir vektör alanın zaman türevi[değiştir | kaynağı değiştir]

Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:

\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}

Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:

\mathbf{\dot A} = \dot A_\rho \boldsymbol{\hat \rho} + A_\rho \boldsymbol{\dot{\hat \rho}}
  + \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}}
  + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}

Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. Bunlar tarafından verilmektedir:

\begin{align}
  \boldsymbol{\dot{\hat \rho}} &= \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} + \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
  \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} &= - \dot\theta \boldsymbol{\hat \rho} + \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
  \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} &= - \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat\rho} - \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\theta} \end{align}

zamana göre türevleri alınırsa:

\mathbf{\dot A} = \boldsymbol{\hat \rho} (\dot A_\rho - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sin\theta)
  + \boldsymbol{\hat\theta} (\dot A_\theta + A_\rho \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta)
  + \boldsymbol{\hat\phi} (\dot A_\phi + A_\rho \dot\phi \sin\theta + A_\theta \dot\phi \cos\theta)

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Wolfram Mathworld, spherical coordinates