Sıfır üssü Lie cebiri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Şablon:Lie groups

matematik'te, bir Lie cebiri \mathfrak{g} Düşük merkez serisi ise sıfır üssüdür

 \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots

sonunda sıfır olur.eşdeğeri \mathfrak{g} sıfırın üssüdür eğer,

\operatorname{ad}(x_1) \operatorname{ad}(x_2) \operatorname{ad}(x_3) ... \operatorname{ad}(x_r) = 0

yeteri kadar büyük bir uzunlukta \mathfrak{g} ögesinin x_i herhangi bir dizisi için(burada, \operatorname{ad}(x) \operatorname{ad}(x)y = [x, y].tarafından verilir) sonuç \operatorname{ad}(x) sıfırın üssüdür(bir doğrusal harita olarak), ve bu bir sıfırın üssü Lie cebirinin Killing formu sıfıra özdeştir. (kıyaslandığında, bir Lie cebri yarıbasit ancak ve ancak dejenere olmamış Killing formu ise)

Her nilpotent Lie cebiri çözülebilir;bu aslında pratikte bir Lie cebir çözülebilirliği kanıtlamak için güçlü yollarından birini verir, bu çözülebilirliği daha doğrusu nilpotensi kanıtlamak için genellikle daha kolay yoldur.Bunun tersi genelde doğru değildir.\mathfrak{g} bir Lie cebirinin \mathfrak{g} merkezinde yeralan ideal üzerindeki bölüm nilpotenttir ancak ve ancak nilpotenttir.

Nilpotensi klasik sınıflandırma sonuçlarının en karakteristiği 0 bir alan üzerinde sonlu boyutlu Lie cebiri ile ilgilidir.Diyelimki \mathfrak{g} sonlu boyutlu Lie cebiri olsun. ve \mathfrak{g} nilpotent olması durumunda ise \operatorname{ad}(\mathfrak{g}) nilpotenttir. Engel teoremi \mathfrak{g} ancak ve ancak \operatorname{ad}(x) durumunda nilpotenttir ve her x \in \mathfrak{g} için nilpotenttir \mathfrak{g} çözülebilir ise ancak ve ancak [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] nilpotenttir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Bir üstel sıfır Lie cebirinin her alt cebiri ve bölümü üstel-sıfırdır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5