Runge-Kutta Yöntemleri

Sayısal analizde Runge-Kutta yöntemleri, adi diferansiyel denklemlerin çözüm yaklaşımları için kapalı ve açık yinelemeli yöntemler ailesinin önemli bir tipidir. Bu yöntem 1900'lü yllarda C. Runge ve M.W. Kutta adlı matemetikçiler tarafından geliştirilmiştir.

• 4. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi:

"RK4" veya "Runge-Kutta yöntemi" olarak adlandırılan Runge-Kutta yöntemleri ailesinin bu üyesi sıkça kullanılır.

Aşağıdaki gibi tanımlanan bir başlangıç değer problemini ele alalım.

$y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0$

ve bu problem için RK4 yöntemi aşağıdaki denklemlerle verilir.

$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

Burada

$k_1=hf\left(t_n,y_n\right)$

$k_2=hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2} \right)$

$k_3=hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2} \right)$

$k_4=hf\left(t_n+h,y_n+k_3 \right)$

Böylece bir sonraki $y_{n+1}$ değeri o anki $y_n$ değerine $h$ aralığının büyüklüğüyle tahmini eğimin çarpımının eklenmesiyle elde edilir. Bu eğim, eğimlerin ağırlıklı ortalamasıdır:

• k₁ aralığın başlangıcındaki eğimdir.
• k₂ aralığın orta noktasındaki eğimdir. Bu k₂ eğimi, Euler Yöntemi kullanılarak y'nin t_n+h/2 noktasındaki değerinden elde edilir.
• k₃ yine orta noktadaki eğimdir. Ama bu sefer y değeri k₂ eğiminden elde edilir.
• k₄ aralığın sonundaki eğimdir ve y değeri k₃ eğimi kullanılar bulunur.