Runge-Kutta Yöntemleri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Sayısal analizde Runge-Kutta yöntemleri, adi diferansiyel denklemlerin çözüm yaklaşımları için kapalı ve açık yinelemeli yöntemler ailesinin önemli bir tipidir. Bu yöntem 1900'lü yllarda C. Runge ve M.W. Kutta adlı matemetikçiler tarafından geliştirilmiştir.

  • 4. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi:

"RK4" veya "Runge-Kutta yöntemi" olarak adlandırılan Runge-Kutta yöntemleri ailesinin bu üyesi sıkça kullanılır.

Aşağıdaki gibi tanımlanan bir başlangıç değer problemini ele alalım.

y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0

ve bu problem için RK4 yöntemi aşağıdaki denklemlerle verilir.

y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

Burada

k_1=hf\left(t_n,y_n\right)

k_2=hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2} \right)

k_3=hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2} \right)

k_4=hf\left(t_n+h,y_n+k_3 \right)

Böylece bir sonraki y_{n+1} değeri o anki y_n değerine h aralığının büyüklüğüyle tahmini eğimin çarpımının eklenmesiyle elde edilir. Bu eğim, eğimlerin ağırlıklı ortalamasıdır:

  • k1 aralığın başlangıcındaki eğimdir.
  • k2 aralığın orta noktasındaki eğimdir. Bu k2 eğimi, Euler Yöntemi kullanılarak y'nin tn+h/2 noktasındaki değerinden elde edilir.
  • k3 yine orta noktadaki eğimdir. Ama bu sefer y değeri k2 eğiminden elde edilir.
  • k4 aralığın sonundaki eğimdir ve y değeri k3 eğimi kullanılar bulunur.