Roman yüzeyi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Roman yüzeyinin bir canlandırması

Roman yüzeyi veya Steiner yüzeyi (Bu isimle anılmasının sebebi Jakob Steiner bunu düşünürken Roma'daydı.[kaynak belirtilmeli]) simetrinin yüksek derece olağandışılığı ile üç-boyutlu uzay içinde gerçek izdüşümsel düzlem'in bir kendi-arakesişimdir.Bu gönderim izdüşümsel düzlemin bir daldırılması değildir; bununla beraber, altı tekil noktanın kaldırılmasından ulaşılan resim tektir.

En basit yapı f(x,y,z) = (yz,xz,xy) göndermesi altında merkezdeki başlangıç bir kürenin görüntüsü olur. Bunun berilen bir kapalı formülü

 x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 - r^2 x y z = 0. \,

Ayrıca, boylam (θ) ve enlem (φ)in terimleri içerisinde kürenin bir ölçeklemesi alınır, Roman yüzeyi olarak verilen parametrik denklem aşağıdadır :

x = r2 cos θ cos φ sin φ
y = r2 sin θ cos φ sin φ
z = r2 cos θ sin θ cos2 φ.

Başlangıç bir üç noktadır, ve buradaki her xy-, yz-, ve xz-düzlemlerinin yüzeyine teğettir.kendi-arakesişiminin diğer yüzeyleri çift noktalardır, bu her koordinat eksenleri tanımlanan bu altı tutam parça boyunca noktalar içinde sonlanır.Tam yüzey dörtyüzlü simetri idi.Bunun Steiner yüzeyinin bir özel tipi (tip 1 denir) Veronese yüzeyinin bir 3-boyutlu doğrusal izdüşümüdür.

Kapalı formulün türevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

yalnızca r = 1 durumu için dikkate alındığında. (x, y, z) noktaları ile verilen kürenin tanımı şöyledir

x^2 + y^2 + z^2 = 1,\,

T dönüşüm noktalarına uygulanan tanım ile

 T(x, y, z) = (y z, z x, x y) = (U,V,W),\,

görülür.

Ama eğer elimizde


\begin{align}
U^2 V^2 + V^2 W^2 + W^2 U^2 & =  z^2 x^2 y^4 + x^2 y^2 z^4 + y^2 z^2 x^4  =  (x^2 + y^2 + z^2)(x^2 y^2 z^2) \\[8pt]
& =  (1)(x^2 y^2 z^2) = (xy) (yz) (zx) = U V W,
\end{align}

ve bunun gibi

U^2 V^2 + V^2 W^2 + W^2 U^2 - U V W = 0\,

olması istenir.

tersine,varsayalım verilen (U, V, W) yeterlidir

(*) U^2 V^2 + V^2 W^2 + W^2 U^2 - U V W = 0.\,

Elimizde burada(x,y,z) varsa şunu sağlarız

(**) x^2 + y^2 + z^2 = 1,\,

bunun yardımıyla

U = x y,  V = y z,  W = z x,\,

aşağıda tek istisnası ile :3.b. durumu içinde, bu gösterim sağlanamayabilir

1.U, V, Wsiz durumlar içinde is 0 dır, ayarlamayla

x = \sqrt{\frac{WU}{V}},\  y = \sqrt{\frac{UV}{W}},\  z = \sqrt{\frac{VW}{U}}.\,

(ya da Unutmadan tüm üç U, V, W nin bu garantisi(*) pozitiftir, veya aksine tam olarak ikiside negatiftir. buradaki gibi pozitif sayıların kareköküdür.)

bu (*) kullanımıyla kolayca to confirm bu (**) x, y için tutulan teyit edilmiş olur, z de bu yolla tanımlanır.

2. varsayalım W 0'dır.Bu (*) imgesinden

U^2 V^2 = 0\,

ve bundan dolayı ayrıca U, Vninde en azından 0 olması gerekir. Bu şunu gösteriyorki onun tek U, V, Wnin tek tamı için 0 olması imkansızdır.

3. Varsayalımki U, V, Wnin iki tamı 0'dır. genelin kaybı olmadan varsayıyoruz

(***) U \neq 0,  V = W = 0.\,

Bu aşağıdadır

z = 0,\,

(hemen

z \neq 0,\,

vurgusu ile

x = y = 0,\,

ve bu nedenle

U = 0,\,

çelişiyor (***).)

a. .Bu alt durum içinde

|U| \leq \frac{1}{2},

eğer biz x ve y ile belirlersek

x^2 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 U^2}}{2}

ve

y^2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 U^2}}{2},

bu ensures that (*) tutularak sağlanır.Bu tutarlılığı kolaydır

x^2 y^2 = U^2,\,

ve x ve y uygun bir şekilde garanti edecek

 x y = U.\,

ile ayrıca

y z = 0 = V\text{ and }z x = 0 = W,\,

bu gösterirki bu altdurum tersi istenirse enazından .

b.dir. 3. durumunun altdurumu içinde, elimizde

|U| > \frac{1}{2}.

ile

x^2 + y^2 = 1,\,

bunu kontrol etmek kolaydır

xy \leq \frac{1}{2},

ve böylece bu durum içinde,burada

|U| >1/2,\   V = W = 0,

burada hayır (x, y, z) satisfying

 U = xy,\  V = yz,\  W =zx.

Bundan dolayı (U, 0, 0) denkleminin çözümleri (*) ile

|U| > \frac12

ve aynı şekilde, (0, V, 0) ile

|V| > \frac12

ve (0, 0, W) ile

|W| > \frac12

(bu her bir koordinat eksenlerinin sıkı olmayan dilimleridir,iki parça içinde) Roman yüzeyi üzerinde herhangi noktasına karşılık gelmez.

4. Eğer (U, V, W) (0, 0, 0) nokta, ise eğer x, y, znin herhangi iki sıfır ve üçüncü tekin mutlak değer 1 dir, özetle

(xy, yz, zx) =  (0, 0, 0) = (U, V, W)\,

arzu edilir.

Bunun tüm olasılık durumları örtüktür.

Parametrik denklemlerin türevi[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki bir kürenin yarıçapı r,boylam φ, ve enlem θdır.Bu durumda parametrik denklem;

 x = r \, \cos \theta \, \cos \phi,
 y = r \, \cos \theta \, \sin \phi,
 z = r \, \sin \theta.

İse,bu küre üzerinde tüm noktalardan elde edilene T dönüşümü uygulanır

 x' = y z = r^2 \, \cos \theta \, \sin \theta \, \sin \phi,
 y' = z x = r^2 \, \cos \theta \, \sin \theta \, \cos \phi,
 z' = x y = r^2 \, \cos^2 \theta \, \cos \phi \, \sin \phi,

bu Roman yüzeyi üzerinde noktalardır.Diyelimki φ sınırı 0 dan 2π ye, ve diyelimki θ sınırı 0 dan π/2yedir.