Normal diferansiyel denklemler

Vikipedi, özgür ansiklopedi

matematikte bir adi diferensiyel denklem (veya ODE) sadece bir bağımsız değişken içeren fonksiyonlarla ilişkilidir ve türevlerinin bir veya daha fazlası değişkenle alakalıdır.

Basit bir örnek Newton'un ikinci yasası olan hareketin diferansiyel eşitliği şöyledir;

$m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t)),\,$

m kütle parçasının hareketi için F kuvveti x(t) parçasının t anındaki fonksiyonu olan x(t) eşitliğin her iki tarafında diferansiyel denklen uygulanarak F(x(t)) elde edilir.

Adi diferansiyel denklemler birkaç bağımsız değişken içerebilen Kısmi diferansiyel denklemlerden ayırt edilmelidir.

Kısmi diferansiyel denklemler birçok farklı içeriği olan geometrik, mekanik, astronomik gibi alanları içerir. Newton, Leibniz, the Bernoulli family, Riccati, Clairaut, d'Alembert ve Euler gibi birçok tanınmış matematikçi bu alanlara katkıda bulunmak için diferansiyel denklemler üzerinde çalışmalar yaptı.

Çalışmaların çoğu kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için yapıldı. Bunun sonucunda lineer eşitlikler analitik metodlarla çözülebildi. Günümüzde mevcut olan diferansiyel denklemlerin çoğu lineer olmayandır ve birkaç özel metodla çözümü tam olarak mümkün değildir. Yaklaşık çözümlere bilgisayar yaklaşımları kullanılarak ulaşılır. (numerik adi diferansiyel denklemlere bakın). [[Image:Parabolic trajectory.svg|right|thumb|250px|Tanktan atılan bir merminin yolu belirli bir eğim çizeler gider. Bu eğri Newton'un ikinci kanununa göre basit diferansiyel denklemdir.

Tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak $f(y',y'',...,y^{n},y)=f(x)\,$ şeklinde gösterilirler. Bu ifadede $n$ denklemin derecesini gosterir. Denklemler yapilarina gore dogrusal veya dogrusal olmayan seklinde tasnif edilebilirler. Eğer f(x) sıfıra eşitse, homojen diferansiyel denklemi, değilse homojen olmayan olarak ikiye ayrılırlar.

Bir diferansiyel denklemin çözümü sonsuz sayıdadır, ancak başlangıç koşulları veya sınır değerleri verilerek çözümde teklik sağlanır. Her bir türetme bir belirsizlik yaratacağından denklemin çözümünün tekliği için, denklemin derecesinden kucuk olmak kaydiyla, türev sayısı kadar