Nilpotent

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematik'te,bir R halka'sının bir x ögesi nilpotent olarak adlandırılır Eğer burada bazı pozitif tamsayı n varsa öyleki xn = 0.

Bu terim [1] bir Bir kuvvete yükseltilmiş olduğunda kaybolan cebirin ögelerinin konusu içinde Benjamin Peirce tarafından tanıtılmıştır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
nilpotenttir çünkü A3 = 0. Bakınız nilpotent matris için dahada bakınız .
  • Bir (değişmeli olmayan) R halkası içinde ab varsayalım ab = 0 tatmin edicidir. Böyleyse c = ba ögesi nilpotenttir (eğer sıfır-değilse) c2 = (ba)2 = b(ab)a = 0 olarak. Matrisle bir örnek (ab için):
A = \begin{pmatrix}
0&1\\
0&1
\end{pmatrix}, \;\;
B =\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}.
Burada AB = 0, BA = B.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

nilpotent olmayan öge bir birim olabilir (except in the önemsiz halka {0} bunun sadece tek bir eleman vardır 0 = 1). Bütün sıfır-olmayan nilpotent ögeler sıfır bölendir.

Bir n-den-ne A matrisi ile bir alandan giriş is nilpotenttir-ki yalnız ve yalnız karakteristik polinomal tndir.

Eğer x nilpotent, ise 1 − x bir birim'dir,çünkü xn = 0 gerektirir

(1 - x) (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1.\

Daha genel,bir birim elemanı ve bir nilpotentlik elemanının toplamı bir birim olduğunda bunlar gider.

Değişmeli halkalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Değişmeli halka'dan bir nilpotent öge R bir ideal formu \mathfrak{N}; bu binom teorem'nin bir sonucudur. Bu ideal halkasının nilradikal'idir. Her nilpotent öge içindeki x bir değişmeli halka her asal ideal'i içerir bu halka\mathfrak{p},öyleki x^n=0\in \mathfrak{p}. bütün asal ideallerin arakesiti içindeki \mathfrak{N} içerir

Eğer x nilpotent değilse, we are able to yerel x: S=\{1,x,x^2,...\} 'in kuvvetleri sırasıyla bir sıfır olmayan halkası S^{-1}R için.yerel halka asal idealleri bu asal tam olarak karşılığı\mathfrak{p} with \mathfrak{p}\cap S=\empty.[2] her sıfır-olmayan değişmeli halkada bir maksimal ideal vardır, bu asaldır, her non-nilpotent olmayan x bazı asal idealleri içermez. Böylece \mathfrak{N} tüm asal ideallerinin tam kesişimidir.[3]

Lie cebiri Nilpotent elemanları[değiştir | kaynağı değiştir]

Diylimki \mathfrak{g} bir Lie cebridir. Öyleyse \mathfrak{g} bir ögesinin nilpotent adlandırılması ise eğer [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] ve \operatorname{ad} x bir nilpotent dönüşümdür. Ayrıca bakınız: Bir Lie cebirinde Jordan ayrışması.

Fizikte nilpotens[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir işlenen Q bu Q2 = 0 için uygun nilpotenttir. Grassmann sayı'ları bir yol integraliFermiyonik alan için gösterimi öyleki nilpotentlerin karesi burada kaybolmasını sağlar.BRST yükü fizik içinde bir önemli bir örnektir. doğrusal operatörler olarak ilişkisel cebirin bir formu ve böylece bir halkası, bu ilk tanımın özel bir durumudur.[4][5] Daha genel olarak,yukarıdaki tanımların içerisinde gösterilen, bir operator Q operatörü eğer is nN durumunda nilpotentQn = 0 (bu sıfır fonksiyon)tir. Böylece, bir doğrusal harita ancak ve ancak nilpotenttir.,bazı tabanlar içinde bir nilpotent matris vardır.bunun için diğer örnek dış türev (yine n = 2 ile)dir.,süpersimetri ve Morse teorisi aracılığı ile her ikisi de bağlantılıdır,[6] as shown by Edward Witten in a celebrated article.[7]

kaynakları olmayan bir düzlem dalganın elektromanyetik alan'ı nilpotent ise bu fiziksel cebir alanı'nın içindeki terimlerin gösterimidir.[8]

Cebirsel nilpotentler[değiştir | kaynağı değiştir]

The iki-boyutlu çift sayılar bir nilpotent uzayı içerir. Diğer cebirler ve sayılar bölünmüş dördeyler (eş-dördey) nilpotent uzaylar içerir, çift-sekizey'ler, çift-dördey'ler \mathbb C\otimes\mathbb H, ve karmaşık sekizey \mathbb C\otimes\mathbb O.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Polcino & Sehgal (2002), p. 127.
  2. ^ Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results". Commutative Algebra. W. A. Benjamin. ss. 6. ISBN 978-0-805-37025-6. 
  3. ^ Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (February 21, 1994). "Chapter 1: Rings and Ideals". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. ss. 5. ISBN 978-0-201-40751-8. 
  4. ^ Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
  5. ^ Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
  6. ^ A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714,2000 DOI:10.1088/0264-9381/17/18/309.
  7. ^ E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
  8. ^ Rowlands, P.Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1