Napier'in kemikleri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Bones of Napier (board and rods).png

Napier'in kemikleri, John Napier tarafından oluşturulan bir abaküstür. Pratik olarak çarpma, bölme ve kare kök alma işlemleri için kullanılabilir. Napier, bu eserini Rabdology adıyla 1617 sonunda, Edinburgh, İskoçya’da yayınlanmıştır. Napier'in kemikleri, Napier'in adıyla ilişkili olan logaritma ile aynı şey değildir.

Abaküs bir tahta ve bir çerçeveden oluşur. Kullanıcı, Napier’in çubuklarını çarpma veya bölmeyi yapmak için bu çerçeveli tahtaya yerleştirir. Tahtanın sol kenarı, 1 den 9’a kadar numaraları içeren 9 kareye bölünmüştür. Napier'in çubukları, ahşap çubuklar, metal veya kartondan oluşur. Bir çubuk yüzeyinde 9 kare vardır. En üstteki hariç diğer kareler köşegenel(diyagonal) şekilde ikiye ayrılmıştır. En üstteki karede tek rakam vardır.Diğer karelerde en üstteki rakamın iki katı, üç katı, dört katı, beş katı ve böylece son kareye kadar dokuz katı yer alacak şekilde çift rakam bulunur.

Bu set 0 dan 9 a kadar 10 çubuktan oluşur.

Çarpma[değiştir | kaynağı değiştir]

Verilen çubuklar kümesi 46785399 ile 7 nin çarpımını hesaplayabilmek için belirlenmiştir. Çarpan olan 7 nin bulunduğu satırdan sonuç yatay olarak tablonun sağındaki stripten okunur. Stripin içindeki rakamlar en sağdan başlanarak köşegenel olarak toplanarak sonuç bulunur. (bulunan toplam 10 veya üzeri ise elde var olarak bir sonraki toplama eklenir.)

Napier-example-1.png

Bu yönteme uygun olarak bir önceki sayıyı şimdide 96431 ile çarpımını bulmak için; çubuklar aynı şekilde dizilir.İkinci çarpanın birler basamağından başlamak üzere karşılığı olan satırlardaki rakamlar yukarıda anlatıldığı gibi köşegenel toplanarak alt alta ve her biri birer basamak sola kaydırılarak toplama suretiyle sonuç bulunur.

Napier example 2.png

Bölme[değiştir | kaynağı değiştir]

Bölme benzer şekilde yapılabilir. Diyelim ki, 46785399 u 96431 e böleceğiz. Bu iki sayıyı önceki örnekte kullanmıştık. Bölen (96.431) için çubukları tablodaki gibi yerleştirin. Abaküsü kullanarak, bölen için 1 den 9 a kadarki satırların köşegenel toplamlarını bulun. (tablonun sağında gösterilmiştir) Bölünen 8 basamaklıdır. Köşegenel toplamlar sonucu bulunan sayılar ise ilki hariç 6 basamaklı olduklarından bölünenin son iki rakamı (99) geçici olarak dikkate alınmayacaktır. Böylece kısaltılmış bölünen 467853 den küçük olan en büyük toplamı bulun. Bu toplamın 385724 bulunduğu satırın başındaki rakam yani 4 bölümün ilk rakamı olarak bulunur.Şimdi bulunan bu kısmi sonucu 385724 sola hizalayarak bölünenin altına yazın ve farkını 8212999 olarak bulun. Bu değerde 6 basamaktan fazla olduğundan yine soldan 6 rakamını dikkate alın ve yukarıdaki işemi yineleyerek 821299 için 771448 i bulun. Buda 8 inci satırda olduğundan bölümün ikinci rakamı da 8 olur. Bu işlem kalan(en sol altta) bölenden küçük olana kadar devam eder ve bölüm 485 olarak bulunur. Kalan 16364 dür.

Napier-example-3.png

Bu örnekte biz burada durabilir ve cevabı kesirli olarak . şeklinde söyleyebiliriz.

      İstersek normal uzun bölme yaparak sonucu ondalıklı olarak da bulabiliriz. Bunun için bölümün sonuna nokta koyar, kalana da sıfır ekleriz.Böylece aşağıda belirtildiği üzere kalan 163640 olur ve işlem döngüsü devam eder. Ancak her bir ondalık basamak için, kalana bir tane sıfır eklenir.Ondalık noktasından sonraki ilk rakam 1 dir. Çünkü 163640 için en büyük kısmi sonuç 96431 dir. O da 1 inci satırdadır.Bu işlemi iki defa daha devam ettirirsek Bölüm 485.169 bulunur.Kalan olduğu için döngü devam eder.

Kare Kök Alma[değiştir | kaynağı değiştir]

Kare kök almak için ek bir çubuğa daha ihtiyaç vardır. Diğerlerinden braz farklıdır ve üzerinde üç kolon vardır. İlk sütunda ilk dokuz karede 1, 4, 9 ,... 64, 81, ikinci sütunda 2 den 18 e sayılar , son sütunda ise sadece 1 den 9 a kadar sayılar vardır.

Napier's rods with the square root bone
  1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0/1 0/2 0/3 0/4 0/5 0/6 0/7 0/8 0/9 0/1     2   1
2 0/2 0/4 0/6 0/8 1/0 1/2 1/4 1/6 1/8 0/4     4   2
3 0/3 0/6 0/9 1/2 1/5 1/8 2/1 2/4 2/7 0/9     6   3
4 0/4 0/8 1/2 1/6 2/0 2/4 2/8 3/2 3/6 1/6     8   4
5 0/5 1/0 1/5 2/0 2/5 3/0 3/5 4/0 4/5 2/5   10   5
6 0/6 1/2 1/8 2/4 3/0 3/6 4/2 4/8 5/4 3/6   12   6
7 0/7 1/4 2/1 2/8 3/5 4/2 4/9 5/6 6/3 4/9   14   7
8 0/8 1/6 2/4 3/2 4/0 4/8 5/6 6/4 7/2 6/4   16   8
9 0/9 1/8 2/7 3/6 4/5 5/4 6/3 7/2 8/1 8/1   18   9

Haydi çubuklar ile 46785399 un kare kökünü bulalım. Ilk olarak, bu sayının rakamlarını sağdan başlayarak ikişerli guruplayalım.46 78 53 99 Not: 85399 gibi sayı 8 53 99 olarak gruplandırılır En soldaki grup 46 ile başlayın. Kare kök çubuğunun birinci sütununda 46 dan küçük olan en büyük sayı olan 36, 6 ncı satırda yer almaktadır. Böylece çözümün ilk rakamı 6 olarak bulunur. Şimdi, Kare kök çubuğunun ikinci sütununun altıncı satırında12 okunur ve 12 olacak şekilde tabloya çubuklar yerleştirilir. Daha sonra 46 dan altıncı satırın ilk sütunundaki 36 değerini çıkarın. 46-36=10 Şimdi bunu ikinci gruptaki sayı olan 78 in başına ekleyin ve 1078 olarak tespit edin. Bu adımın sonunda, tablo ve ara hesaplamalar şu şekilde olmalıdır:

  1 2
1 0/1 0/2 0/1     2   1
2 0/2 0/4 0/4     4   2
3 0/3 0/6 0/9     6   3
4 0/4 0/8 1/6     8   4
5 0/5 1/0 2/5   10   5
6 0/6 1/2 3/6   12   6
7 0/7 1/4 4/9   14   7
8 0/8 1/6 6/4   16   8
9 0/9 1/8 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    6
         36—10 78

Şimdi, her satırdaki sayıları okuyun ve kaydedin.Kare kök çubuğunun ikinci ve üçüncü sütunlarını göz ardı ederek.(Örneğin okuyun: altıncı satır olarak için 0 / 6 1 / 2 3 / 6 → 756) Geçerli kalan, 1078 den küçük olan en büyük sayıyı arayın.Sekizinci satırda 1024 değerini göreceksiniz.

  1 2 (value)
1 0/1 0/2 0/1     2   1 121
2 0/2 0/4 0/4     4   2 244
3 0/3 0/6 0/9     6   3 369
4 0/4 0/8 1/6     8   4 496
5 0/5 1/0 2/5   10   5 625
6 0/6 1/2 3/6   12   6 756
7 0/7 1/4 4/9   14   7 889
8 0/8 1/6 6/4   16   8 1024
9 0/9 1/8 8/1   18   9 1161
         _____________
        √46 78 53 99    =    68
         36—10 78
         10 24
         -----
            54

Daha önce olduğu gibi, kare kökün sonraki rakamını elde etmek için 8 i ekleyin. geçerli kalan 1078 den sekizinci sıradaki 1024 değerini çıkarın 54 eder. ekleyin. , Karekök çubuğunun sekizinci satırının ikinci sütununda 16 yı okuyun ve tobloyu aşağıdaki gibi oluşturun. Tobloda mevcut sayı 12'dir. Buna 16 nın ilk rakamını ekleyin 13 eder, bunun sağına da 16 nın ikinci rakamını ekleyin 136 eder.Böylece toblo aşağıdaki gibi oluşturulmalıdır. 12 + 1 = 13 → 6 → 136 ekler Not: Eğer kare kök çubuğunun ikinci sütunda tek basamaklı bir sayı varsa geçerli sayıya sadece bunu ekleyin. Toblo ve ara hesaplamalar şimdi bu şekilde görülmektedir.

  1 3 6
1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    68
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53

Bir kez daha, geçerli kalan 5453 'den küçük olan enbüyük değerin olduğu satırı bulun. Bu sefer bunun içinde 4089 olan üçüncü satır olduğunu bulun.

  1 3 6  
1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 1361
2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 2724
3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4089
4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5456
5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6825
6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 8196
7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 9569
8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 10944
9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9 12321
         _____________
        √46 78 53 99    =    683
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64

Karekökün sonraki rakamı 3'tür. Daha önce olduğu gibi tekrar aynı adımları ve bundan sonraki kalan olan 1364 ü bulmak için geçerli kalan 5453 den 4089 u çıkarın. Tobloyu oluştururken karekök çubuğunun üçüncü satırında ikinci sütunda 6 vardır ve tek hanelidir dolayısıyla, tablodaki 136 olan geçerli sayıya sadece 6 eklenir. 136 → 6 ekle → 1366 Şimdi tablo 1366 olarak oluşturulur.

  1 3 6 6
1 0/1 0/3 0/6 0/6 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 1/2 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 1/8 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 2/4 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 3/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 3/6 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/2 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 4/8 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 5/4 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    683
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99

Bu işlemleri bir kez daha tekrarlayın.Talodaki geçerli kalan 136499 den küçük olan en büyük değerin dokuzuncu sırada 123021 olduğunu bulun. Uygulamada, genellikle cevap almak için her satırın değerini bulmak gerekmez. Tablodaki ilk birkaç çubuktaki sayıya bakarak ve bunu kalanın ilk birkaç rakamı ile karşılaştırarak cevabın hangi satırda olduğunu tahmin etmek mümkün olabilir. Ama bu diyagramlarda, biz anlamayı kolaylaştırmak için tüm satırların değerlerini göstereceğiz. Her zamanki gibi, sonuca 9 eklenecek ve mevcut kalandan 123021 i çıkarın.

  1 3 6 6  
1 0/1 0/3 0/6 0/6 0/1     2   1 13661
2 0/2 0/6 1/2 1/2 0/4     4   2 27324
3 0/3 0/9 1/8 1/8 0/9     6   3 40989
4 0/4 1/2 2/4 2/4 1/6     8   4 54656
5 0/5 1/5 3/0 3/0 2/5   10   5 68325
6 0/6 1/8 3/6 3/6 3/6   12   6 81996
7 0/7 2/1 4/2 4/2 4/9   14   7 95669
8 0/8 2/4 4/8 4/8 6/4   16   8 109344
9 0/9 2/7 5/4 5/4 8/1   18   9 123021
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78

Şimdi sayımızın her basamağı kullanıldı ama hala kalan var. Bunun anlamı, kare kökün tamsayı kısmı bulundu ancak hala biraz kesirli kısım var demektir. Gerçekten kare kökün tamsayı kısmını elde ettiğimize dikkat edelim, bulunan sonucun karesi (6839² = 46771921) 46785399 ' a en yakın değerdir.Çünkü, 46785399 un karekökü 6839.xxxx... gibi bir şey olacak.Yani 6839 ², 46785399 dan daha küçük olduğu anlamına gelir.Buna karşın 6840² , 46785399 dan daha büyüktür dolayısıyla, 46785399 a en yakın olan değer 6839² dir. Şimdi karekökün daha fazla rakamını bulmak için devam edelim. Uzun bölme işleminde cevabın kesirli bölümünü bulmak önceki yaptığımıza benzerdir. Kalana iki sıfır ekleyerek yeni kalan 1347800 bulunur.Karekök çubuğunun dokuzuncu satırının ikinci sütununda 18 vardır.Tablodaki geçerli sayı 1366 dır. Böylece; 1366 + 1 → 1367 → 8 ekle → 13678 tobloda oluşturulacak yeni sayıdır ve tablo aşağıdaki gibi olur.

  1 3 6 7 8
1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/8 0/1     2   1
2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/6 0/4     4   2
3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/4 0/9     6   3
4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/2 1/6     8   4
5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/0 2/5   10   5
6 0/6 1/8 3/6 4/2 4/8 3/6   12   6
7 0/7 2/1 4/2 4/9 5/6 4/9   14   7
8 0/8 2/4 4/8 5/6 6/4 6/4   16   8
9 0/9 2/7 5/4 6/3 7/2 8/1   18   9
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839.
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78 00

Dokuzuncu sırada, kalandan küçük olan en büyük değer1231101 bulunur.Bu nedenle kare kökün kesirli bölümün ilk rakamı 9'dur.

  1 3 6 7 8  
1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/8 0/1     2   1 136781
2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/6 0/4     4   2 273564
3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/4 0/9     6   3 410349
4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/2 1/6     8   4 547136
5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/0 2/5   10   5 683925
6 0/6 1/8 3/6 4/2 4/8 3/6   12   6 820716
7 0/7 2/1 4/2 4/9 5/6 4/9   14   7 957509
8 0/8 2/4 4/8 5/6 6/4 6/4   16   8 1094304
9 0/9 2/7 5/4 6/3 7/2 8/1   18   9 1231101
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839.9
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78 00
             1 23 11 01
             ----------
               11 66 99

Kalandan dokuzuncu satırın değerini çıkar ve yeni kalan 11669900 elde etmek için iki sıfır daha ekleyin. Üzerinde 13678 bulunan tablonun dokuzuncu satırının ikinci sütunu 18'dir. Yeni toblonun sayısını hesaplarsak; 13678 + 1 → 13679 → 8 ekle → 136798 olur ve tablo aşağıdaki gibi olur.

  1 3 6 7 8  
1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/8 0/1     2   1 136781
2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/6 0/4     4   2 273564
3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/4 0/9     6   3 410349
4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/2 1/6     8   4 547136
5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/0 2/5   10   5 683925
6 0/6 1/8 3/6 4/2 4/8 3/6   12   6 820716
7 0/7 2/1 4/2 4/9 5/6 4/9   14   7 957509
8 0/8 2/4 4/8 5/6 6/4 6/4   16   8 1094304
9 0/9 2/7 5/4 6/3 7/2 8/1   18   9 1231101
         _____________
        √46 78 53 99    =    6839.9
         36—10 78
         10 24
         -----
            54 53
            40 89
            -----
            13 64 99
            12 30 21
            --------
             1 34 78 00
             1 23 11 01
             ----------
               11 66 99

Eğer daha fazla kesirli bölümde rakam bulmak istiyorsanız bu adımlara devam edebilirsiniz.Kalan sıfır olmuş ise kesin karekök bulunmuş demektir.

Eğer bir tamsayı olmayan bir sayının karekökünü bulmak istiyorsanız, 54782,917 sayısı gibi. Ondalık işaretinin(virgülün) solundaki ve sağındaki rakamları ikişerli gruplama farkı dışında her şey aynıdır.

Bu gruplama (54782,917) 5 47 82,91 7 şeklinde yapılır.