Mandelbrot kümesi

Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.

Mandelbrot Kümesi ve Ana Bölgeleri

Tanım

Yazı boyunca $f_c:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ ile $f(z)=z^2+c$ polinomunu göstereceğiz. $z=0$ sayısının $f_c$ altındaki değeri $f_c(0)=c$ dir. Benzer şekilde $z=c$ sayısının $f_c$ altındaki değeri $f_c(c)=c^2+c$ dir. $f_c$ fonksiyonunun bir önceki aşamada elde edilen sayıya, yani $c^2+c$ ye uygulanması yeni bir sayı, yani $(c^2+c)^2+(c^2+c)$ yi, üretecektir. Bu işlemi yapmaya devam edersek,

$(0,f_c(0),f_c(f_c(0)),\ldots)$

karmaşık sayı dizisini elde ederiz. Bu dizinin limit değerinin sonlu bir sayı olup olmaması $c$ değerine bağlıdır. Mesela, $c$ nin değeri 2 den büyükse bu dizi sonsuza ıraksar. Bunun nedeni $f_c$ tipindeki ikinci derece polinomların yinelemeli uygulamalarının yarıçapı 2 den büyük her karmaşık çemberi sonsuza götürmesindendir.

Dizinin, sonlu bir sayıya yakınsadığı $c$ değerlerinin kümesine Mandelbrot Kümesi denir. Başka bir ifadeyle, Mandelbrot kümesi öyle bir kümedir ki $c$ sayısı bu kümeden seçildiğinde yukarıdaki dizi sonlu bir sayıya yakınsar.

Temel Özellikler

• Mandelbrot kümesi tıkızdır. Yarıçapı 2 olan dairenin kapalı altkümesidir.

• Mandelbrot kümesinin gerçel sayı kümesi ile kesişimi [-2,0.25] dir.

• Mandelbrot kümesinin alanı yaklaşık olarak 1.50659177 ± 0.00000008.

• Mandelbrot kümesinin lokal bağlantılı olup olmadığı bilinmemektedir.

• Mandelbrot kümesinin topolojik sınırının Hausdorff boyutu 2 dir. Lebesgue ölçümü bilinmemektedir.

• Mandelbrot kümesi, ikinci derece polinomlarının dinamikleri için bir parametre uzayıdır. Başka bir ifadeyle, keyfi seçilmiş ikinci derece her $p$ polinomu için, Mandelbrot kümesinde öyle bir $c$ sayısı bulmak mümkündür ki, $f_c$ ile $p$ nin asimptotik dinamikleri topolojik olarak aynıdır.

• Mandelbrot kümesi bir fraktaldır fakat tamamen kendine benzer değildir. Misiurewicz noktalarında lokal olarak kendine benzerdir. Misiurewicz noktaları her zaman Mandelbrot kümesinin topolojik sınırında yer alır ve bu topolojik sınırın yoğun altkümesidir. $c$ değeri bir Misiurewicz noktası olarak seçilirse, $f_c$ nin Julia kümesinin topolojik olarak içi boş olur ve bu Julia kümesi lokal olarak Mandelbrot kümesine benzerdir.

Mandelbrot kümesinin bazı kısımları kendine benzer

Mandelbrot kümesinin bazı kısımları kendine benzemez

• Mandelbrot kümesinin kalp şeklindeki her kısmı, o kısım için tanımlanabilecek $f_c$ lerin dinamiklerinin birbirlerine benzer olduklarını gösterir.

• Gerçel Lojistik fonksiyonların parametre uzayları (bkz., bifurkasyon) ile Mandelbrot kümesinin gerçel ekseni kestiği noktalar arasında birebir bir ilişki vardır.

Lojistik Ailenin parametre uzayı ve Mandelbrot Kümesi

Kaynakça

Wikimedia Commons'ta

Mandelbrot kümesi ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunmaktadır.