Mandelbrot kümesi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Mandelbrot kümesi[1], Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.

Mandelbrot Kümesi ve Ana Bölgeleri

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Yazı boyunca f_c:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} ile f(z)=z^2+c polinomunu göstereceğiz. z=0 sayısının f_c altındaki değeri f_c(0)=c dir. Benzer şekilde z=c sayısının f_c altındaki değeri f_c(c)=c^2+c dir. f_c fonksiyonunun bir önceki aşamada elde edilen sayıya, yani c^2+c ye uygulanması yeni bir sayı, yani (c^2+c)^2+c yi, üretecektir. Bu işlemi yapmaya devam edersek,

(0,f_c(0),f_c(f_c(0)),\ldots)

karmaşık sayı dizisini elde ederiz. Bu dizinin limit değerinin sonlu bir sayı olup olmaması c değerine bağlıdır. Bunun nedeni f_c tipindeki ikinci derece polinomların yinelemeli uygulamalarının yarıçapı 2 den büyük her karmaşık çemberi sonsuza götürmesindendir.

Dizinin, sonlu bir sayıya yakınsadığı c değerlerinin kümesine Mandelbrot Kümesi denir. Başka bir ifadeyle, Mandelbrot kümesi öyle bir kümedir ki c sayısı bu kümeden seçildiğinde yukarıdaki dizi sonlu bir sayıya yakınsar.


Temel Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Mandelbrot kümesi tıkızdır. Yarıçapı 2 olan dairenin kapalı altkümesidir.
  • Mandelbrot kümesinin gerçel sayı kümesi ile kesişimi [-2,0.25] dir.
  • Mandelbrot kümesinin alanı yaklaşık olarak 1.50659177 ± 0.00000008.
  • Mandelbrot kümesinin topolojik sınırının Hausdorff boyutu 2 dir. Lebesgue ölçümü bilinmemektedir.
  • Mandelbrot kümesi, ikinci derece polinomlarının dinamikleri için bir parametre uzayıdır. Başka bir ifadeyle, keyfi seçilmiş ikinci derece her p polinomu için, Mandelbrot kümesinde öyle bir c sayısı bulmak mümkündür ki, f_c ile p nin asimptotik dinamikleri topolojik olarak aynıdır.
  • Mandelbrot kümesi bir fraktaldır fakat tamamen kendine benzer değildir. Misiurewicz noktalarında lokal olarak kendine benzerdir. Misiurewicz noktaları her zaman Mandelbrot kümesinin topolojik sınırında yer alır ve bu topolojik sınırın yoğun altkümesidir. c değeri bir Misiurewicz noktası olarak seçilirse, f_c nin Julia kümesinin topolojik olarak içi boş olur ve bu Julia kümesi lokal olarak Mandelbrot kümesine benzerdir.
Mandelbrot kümesinin bazı kısımları kendine benzer
Mandelbrot kümesinin bazı kısımları kendine benzemez
  • Mandelbrot kümesinin kalp şeklindeki her kısmı, o kısım için tanımlanabilecek f_c lerin dinamiklerinin birbirlerine benzer olduklarını gösterir.
Lojistik Ailenin parametre uzayı ve Mandelbrot Kümesi

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set


Commons-logo.svg
Wikimedia Commons'ta
Mandelbrot kümesi ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunmaktadır.