Mükemmel kuvvet

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte mükemmel kuvvet, bir pozitif tam sayının pozitif kuvvetinin oluşturduğu tamsayıdır. Daha açık bir ifade ile, doğal sayılarda, m > 1 ve k > 1 için mk = n eşitliğindeki n mükemmel kuvvettir. Bu durumda n, mükemmel k. kuvvet olarak adlandırılır. Eğer k = 2 veya k = 3 olursa n, sırasıyla tam kare veya küp olur. Bazen 1 de, mükemmel kuvvet olarak anılır. (Herhangi bir k için, 1k = 1'dir.)

Örnekler ve toplamlar[değiştir | kaynağı değiştir]

m ve k pozitif değerleri yinelenerek mükemmel kuvvetler dizisi oluşturulabilir. Sayısal sıraya göre ilk birkaç artan mükemmel kuvvet, (kuvvetlerin çarpımını gösterir) şunlardır:

 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 3^2 = 9,\ 2^4 = 16,\ 4^2 = 16,\ 5^2 = 25,\ 3^3 = 27,\  2^5 = 32,\ 6^2 = 36,\ 7^2 = 49,\ 2^6 = 64,\ 4^3 = 64,\ 8^2 = 64, \dots

Mükemmel kuvvetlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı 1'dir. Şu eşitlikle gösterilir:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1.

Şu şekilde ispat edilebilir:

\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1 \, .

Birinci mükemmel kuvvetler şunlardır:

(bazen 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

p mükemmel kuvvetlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı:

\sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k)) \approx 0.874464368 \dots

Burada μ(k), Möbius fonksiyonu ve ζ(k), Riemann zeta fonksiyonudur.

Euler, Goldbach'a göre p mükemmel kuvvetler kümesinde 1/(p−1) toplamı, (1 dahil, katları hariç) 1'dir:

\sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]