Lorentz kuvveti

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Lorentz kuvveti, fizikte, özellikle elektromanyetizmada, elektromanyetik alanların oluşturduğu noktasal yük üzerindeki elektrik ve manyetik kuvvetlerin bileşkesidir. Eğer q yük içerek bir parçacık bir elektriksel E ve B manyetik alanın var olduğu bir ortamda v hızında ilerliyor ise bir güç hissedecektir. Oluşturulan herhangi bir kuvvet için, birde reaktif kuvvet vardır. Manyetik alan için reaktif kuvvet anlamlı olmaya bilir, fakat her durumda, dikkate alınmalıdır.

(SI birimleri ile ). Bu temel denklemdeki farklılıklar, akım taşıyan teldeki manyetik alan kuvvetini tanımlamaktadır (Bazen Laplace kuvveti olarak da anılır). Manyetik alan içinde ilerleyen kapalı tel döngü üzerindeki elektromotiv kuvveti ve ışık hızında hareket eden yük taşıyan bir parçacık üzerindeki kuvveti tanımlar (Lorenz kuvvetinin relativite formudur). Tarihçiler her ne kadar ilk çalışmaları 1865 yılında James Clerk Maxwell yazdığı bir makaleyle ilişkilendirselerde Lorenz kuvvetinin ilk geliştirilmesi, 1889 yılında Oliver Heaviside’a atfedilmektedir. Hendrik Lorentz denklemi Heaviside’dan birkaç yıl sonra geliştirmiştir.

Denklem (SI birimi)[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca inceleyin: SI birimi

Yüklü Parçacık[değiştir | kaynağı değiştir]

anlık hız v ile hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden Lorentz kuvveti “F” . The E field ve B field uzay ve zamanda değişken

Üzerinde q yükü bulunan, dışsal E elektriksel ve B manyetik alanların etkileri nedeni ile anlık olarak v hızına sahip, bir parçacık üzerinde etkili olan F yükü aşağıdaki denklemle verilmektedir: Şablon:Equation box 1 burada × is the vektörel çarpımdır. Bütün kalın yazı fontları vektörleri göstermektedir. Daha açık olarak ifade edilirse:

\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}},t,q) =  q[\mathbf{E}(\mathbf{r},t) + \mathbf{\dot{r}} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)]

Burada r yüklü parçacığın konum vektörüdür, t zamandır ve üstel nokta zamana göre türevi ifade etmektedir. Pozitif yüklü bir parçacık E alanının doğrusal konumu ile aynı yönde ivmelenir ancak sağ el kuralına göre hız vektörü v ve manyetik alan B’ye dik olarak eğilir (kısaca sağ el başparmağı v vektörünü gösteriyor ise ve işaret parmağı manyetik alan boyunca konuçlandırılırsa, bu durumda F vektörü yönündedir). qE terimi elektrik kuvveti olarak, öte yandan qv × B terimi manyetik kuvvet olarak tanımlanmaktadır. Bazı tanımlara göre Lorentz kuvveti özellikle manyetik kuvvet formülüne atıfta bulunmaktadır ve toplam elektromanyetik kuvvet (elektriksel kuvvet dahil) için (standart olmayan) başka bir isim kullanmakdır. Bu çalışma adı geçen sıra dışı sembollemeyi kullanmamaktadır. Lorentz kuvvet’in Manyetik kuvvet parçası, manyetik alan içerisinde akım taşıyan telin üzerindeki kuvvet olarak ortaya koymaktadır. Sürekli Yük Dağılımı[edit]

Lorentz force (per unit 3-volume) hareket halinde yük yoğunluğu J olan sürekli yük dağılımı olan parçacığa etki eden kuvvet f hareket halindeki dq yüklü dV hacmindeki yük parçacığına denktir.

Hareket eylemi sırasında sürekli yük dağılımı Lorentz kuvveti için:

\mathrm{d}\mathbf{F} = \mathrm{d}q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)\,\!

Burada dF dq yükü olan küçük parça için küçük bir değişimdir. Denklemin her iki tarafıda küçük parçacığın hacmi olan dV bölünürse, sonuç:

\mathbf{f} = \rho\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)\,\!

Burada f kuvvet yoğunluğudur (kuvvet/birim hacim) ve ρ yük yoğunluğu (birim hacimde). Daha sonra akım yoğunluğu yük uzayındaki harekete karşılık gelen akım yoğunluğu söyle ifade edilebilir:

\mathbf{J} = \rho \mathbf{v} \,\!

Bu durumda denklemin sürekliliği iafedesi Şablon:Equation box 1 Burada toplam güç yük dağılımı üzerinde alınacak olan hacim integrali oalrak ifade edilir:

 \mathbf{F} = \iiint \! ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} )\,\mathrm{d}V. \,\!

ρ ve J’yi elimine ederek, Maxwell's denklemlerini kullanarak ve vektör kalkülus teorilerini değiştirerek denklemin bu formu Maxwell stress tensör’ünü σ, ifade etmekte kullanılır, bunların sonunda Poynting vektörü S ile birleşirilerek genel görecelik kanununda kullanılan elektromanyetik stres-enerji tensörü T’nin, eldesi sağlanır. Lorenz kuvvetini σ and S kullanarak başka şekilde yazma yöntemi (her bir 3boyutlu hacim için)

 \mathbf{f} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}  \,\!

XXXX burada c ışık hızını ∇• ıraksaklık tensörünü göstermektedir. Bu denklem enerji akısını (birim zaman ve birim mesafedeki enerji akışı), elektrik ve manyetik alandaki yük miktarı ve hız yerine, yük dağılımı ile ilişkilendirmektedir. Daha detaylı bilgi için klasik elektromagnetizma formülasyonundaki covariant formülasyonu inceleye bilirsiniz.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Trajectory of a particle with a positive or negative charge q under the influence of a magnetic field B, which is directed perpendicularly out of the screen.
Beam of electrons moving in a circle, due to the presence of a magnetic field. Purple light is emitted along the electron path, due to the electrons colliding with gas molecules in the bulb. A Teltron tube is used in this example.
Charged particles experiencing the Lorentz force.

18.yüzyılın ortalarında elektromanyetik kuvveti tanımlamak için girişimler nicel olarak başlamıştı. Johann Tobias Mayer tarafından mıknatısın kutuplarına ve başkalarına uygulanan kuvvetin ters kare kanununa uyduğu 1760 yılında ortaya atılmıştır. Aynı fikir Henry Cavendish tarafından da 1762 yılında elektriksel olarak yüklü parçacıklar için söylenmiştir. Ancak her iki durumda da deneysel kanıt ne tamamlayıcı ne de sonuç verici yöndeydi. 1748 yılında Charles-Augustin Coulomb, bir torsion tartısı kullanarak, bu teorinin doğruluğunu bir deney aracılığıyla göstererek kanıtladı.1820 yılında H. C. Ørsted manyetik iğnenin, akım tarafından etkilendiğini keşfetmesinin ardından, aynı sene André-Marie Ampère de bir deney aracılığyla, iki akım elementi arasındaki kuvvetin açı ile olan bağlantısını açıklamayı başardı. Bütün bu tanımlarda kuvvet hep, elektrik ve manyetik alan cinsinden değil de, duruma dahil olan cisimler ve onların birbirlerine olan uzaklıkları cinsinden bulunuyordu. Elektrik ve manyetik alanların günümüzdeki modern konsepti, ilk defa Michael Faraday tarafından ortaya atılmıştı. Bunun temellerini özellikle, daha sonra Lord Kelvin ve James Clerk Maxwell tarafından tamamen matematiksel bir tanım kazanacak olan kuvvet çizgileri fikri atmıştı. Daha modern bir bakış açısı ile Maxwell’in, alan denklemleri 1865 formülasyonlarını elektrik amıyla ilişkilendirilmiş Lorentz kuvveti denklemi olarak da düşünebiliriz. Ancak Maxwell’in zamanında denklemlerinin, harelet eden parçacıklara etkiyen kuvvetle olan bağlantısı kanıtlanamamaktaydı. J.J. Thomson, hareket halindeki yüklü parçacıklara etkiyen elektromanyetik kuvvetleri Maxwell’in alan denklemlerini kullanarak, cismin özellikleri ve dış alanlar cinsinden türetmeye çalışan ilk insandır. Thomson 1881 yılında yüklü parçacıkların katot ışını altındaki elektromanyetik davranışlarını anlatan bir makale yazdı. Bu makalesinde parçacıklara dış bir manyetik alan sayesinde kuvvet uyguladı. Bu kuvvet ve manyetik alanın ilşkisi

\mathbf{F} = \frac{q}{2}\mathbf{v} \times \mathbf{B}.

Thomson neredeyse doğru olan bu temel formülü türetmeyi başarmıştı, ancak hesaplamada bir hata yapmıştı ve sürülme akımının da tanımını eksik yapmıştı. Bu sebeplerden ötürü formülün önünde olmaması gereken bir ½ bulmuştu. 1885 yılında Oliver Heaviside, vektör gösterimini bulmuş ve bunu Maxwell’in denklemlerine uygulamıştı. Aynı zamanda 1889 yılında daThomson’un türettiği denklemdeki yanlışı düzelmiş ve hareket halinde olan parçacığa etkiyen doğru manyetik kuvveti bulmuştur. Son olarak 1892 yılında Hendrik Lorentz, kuvvete hem elektrik hem de menyetik alandan gelen katkıları da yazarak, formülün günümüzdeki modern halini türetmiştir. Lorentz, eter ve iletkenlerin Maxwellsel tanımlarından uzaklaşmaya başladı. Bunun yerine, Lorentz madde ve ışık saçan eter arasında bir ayrım belirtti. Maxwell denklemlerini de mikroskobik ölçeklerde uygulamaya karar verdi. Heaviside’ın Maxwell denklemleri versiyonunu, durgun eter üzerinde kullanarak ve buna Lagrange denklemlerini uygulayarak, kuvvet kanununun bugünkü tamamlanmış haline gelmesini ve kendi adıyla anılmasını sağladı.

Lorentz kuvveti nedeni ile parçacıkların iz düşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

homojen bir manyetik alanda Yüklü parçacık sürüklenimi. (A) Değişmeyen kuvvet (B) Elektrik alan içinde, E (C) Bağımsız bir kuvvet etkisi altınsa, F (e.g. kütle çekimi) (D) Homojen bir manyetik alan içinde, grad H

Pek çok pratik uygulaması olan durumlar için elektirk yükü bulunan bir parçacığın (plazma içindeki elektron veya iyon) oluşturduğu manyetik alan, bir nokta etrafında (yönlendirici merkez) görece hızlı dönme hareketi ve bu noktanın yavaş kaymasının çakıştırılması olarak yapılandırılabilir. Kayma hızı, parçacık türünün yük derecesine, kütlesine veya sıcaklığına bağlı olarak değişir ve olasıkla elektirk akımlarına ve kimyasal ayrışmalara neden olur.

Lorentz kuvvetlerinin önemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Modern Maxwell denklemleri elektrik yükü taşıyan parçacıkların ve akımların veya yüklü parçacıkların hareketinin, elektirk ve manyetik alanı nasıl oluşturduğunu tanımlarken, Lorentz kuvveti kanunu elektromanyetik alanın hareket eden yüklü parçacığın üzerinde yarattığı kuvveti tanımlayarak, resmi tamamlamaktadır. Lorentz kuvveti E ve B’nin yüklü bir parçacık üzerindeki etksini tanımlamaktadır. Ancak bu eletromanyetik kuvvetler bütün resmi kapsamamaktadır. Yüklü parçacılar, muhtemelen yerçekimi ve nükleer kuvvetler gibi diğer kuvvetlerle eşleşmişlerdir. Bu nedenle Maxwell denklemleri diğer fizik kanunlarında ayrı tutulamaz ve yük ve akım yoğunlukları vasıtası ile ilişkilendirilmişlerdir. Nokta yükün Lorentz kanununa verdiği tepki işin bir yönü iken, E ve B’nin akımlar ve yükle nedeni ile oluşması diğer yönüdür. Gerçek malzemelerdeLorentz kuvveti yüklü parçacıkların davranışını tanımlamakta, hem prensip olarak hem de hesaplama olarak yetersiz kalmaktadır. Bir malzeme ortamında, yüklü parçacıklar hem E’ye hem de B’ye tepki veririler ve ayrıca bu alanları oluştururlar. Karmaşık taşınım denklemleri yüklerin zaman ve uzaydaki tepkilerini belirlemek için çözülmelidir. Örneğin, Boltzman denklemi, Fokker-Planck denklemi veya Navier-Stokes denklemi gibi. Magnetohidrodinamik, akışkanlar dinamiği, elektrohidrodinamik, süperiletkenlik, yıldız oluşumu gibi konular incelenebilir. Bu konuları irdeleyecek fizik donanımları (kanunlar, denklemler ve matematik vb..) geliştirilmiştir. Bu amaçla Green-Kubo ilişkileri ve Green denklemleri (çoklu gövde teorisi) incelenebilir.

E ve B’nin tanımlamasında Lorentz kuvveti[değiştir | kaynağı değiştir]

Pek çok kitabın klasik eletromanyetik bölümünde Lorentz kanunu elektrik E ve manyetik B alanları tanımlamakta kullanılır. Daha spesifik bir tanımlama ile Lorentz kuvveti aşağıdaki dogma olarak algılanır: Bir test yükü için elektrromanyetik güç, F, tanımlı bir noktada ve zamanda taşıdığı yüke ve hızına bağlıdır. Bu iki faktör tam olarak, E ve B’nin, iki vektörü ile parametreleşir. Bu yapın fonksiyonel formu:

\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})

Bu dogma sayısız deneylerle gösterilmiştir. Hatta ışık hızına yaklaşan parçacıklar (v = |v| = c ) için de geçerlidir. Bu durumda uzay ve zamanda verilen iki vektör alanı E ve B, elektrik alanı ve manyetik alan olarak tanımlanmıştır. Bu iki alan bütün uzay ve zamanda test yüküne bağlı olarak tanımlanmıştır ve söz konusu kuvveten etkilenecek bir bir yükün olup olmamasında bağımsız olarak geçerlidir. Ayrıca, E ve B’nin tanımında Lorentz kuvveti tek prensiptir. Çünkü, varsayımsal sonsuz küçük kütle ve yüke sahip “test yükünün” aksine gerçek bir parçacık kendi sınırlı E ve B’sini yaratır ve etkilendiği elektromanyetik kuvveti değiştirir. İlave olarak, yük bir dış etkileyici tarafından ivmelendirilerek kavisli bir yola zorlanırsa, hareketini frenleyen bir radyasyon yayar. Bunun örnekleri olarak Bremsstrahlung ve synchrotron light kavramları incelenebilir. Bu etkiler doğrudan (radyasyon reaksiyon kuvveti) ve dolaylı etkilerin (etrafındaki yük ve akımları etkilemesi) sonucudur. Dahası sonuç kuvveti eletromanyetik kuvvetin yanı sıra yerçekimini, elektro zayıflığı ve diğer kuvvetleri de içermelidir.

Akım taşıyan teldeki kuvvet[değiştir | kaynağı değiştir]

Manyetik alan içindeki akım taşıyan tele uygulanan sağ el kuralı

Akım taşıyan bir tel manyetik bir alan içine yerleştirildiğinde, hareket eden, akımı taşıyan her bir yük Lorents kuvvetinden etkilenir ve tel üzerinde, bazen Laplace kuvveti olarak da adlandırılan, makrospokip büyüklükte bir kuvvet oluşturur. Yukarıda tanımı verilmiş olan Lorentz kuvveti kanununu elektrik akımı kavramı ile birleştirince, düz ve hareketsiz tel için aşağıdaki denklem elde edilir:

\mathbf{F} = I \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{B} \,\!

Burada ℓ, büyüklüğü telin uzunluğu ve yönü tel boyunca olan, konvansiyonel akım, I, yönünde hizalanmış vektördür. Telin doğrusal değil de kavisli olması durumunda, kuvvet, telin küçük parçaları dℓ,için hesaplanır ve sonra bütün kuvvetlerin integrasyonla toplanması ile bulunur. Sabit akım, ,, taşıyan düz sağlam bir tel üzerindeki net kuvvet:

\mathbf{F} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}

Bu net kuvvettir. Telin mükemmel katı cisim olmaması durumunda, ilave olarak moment ve diğer etkiler olacaktır. Bunun bir uygulaması Ampere’in kuvvet kanunudur. Akım taşıyan iki telin, diğerinin manyetik alanı nedeni ile oluşan Lorentz kuvvetlerine bağlı olarak birbirlerini nasıl çektiklerini veya ittiklerini tanımlar. Detaylı bilgi “Ampere’in kuvvet kanunu’ndan” incelenebilir.

EMF[değiştir | kaynağı değiştir]

Lorentz kuvvetinin manyetik bileşeni olan (q v × B), hareketsel elektromotif kuvvetten sorumludur. Bu kuvvet de elektrik motorlarının altında yatan temel fenomendir. Bir iletken, manyetik alanın içinde hareket ettirildiği zaman, manyetik kuvvet elektronu tel içersinde ittirmeye çalışır ve bu da bir EMF oluşturur. “Hareketsel EMF” kavramı da bu fenomene uygulanabilir çünkü EMF de telin hareketine bağlı olarak oluşur. Başka elektriksel motorlarda da, mıknatıs hareket eder, iletkenler etmez. Bu durumda, EMF Lorentz denklemindeki (qE) terimine bağlı olur. Bu durumda elektrik alan değişen manyetik alan sayesinde oluşur ve bu elektrik alan da Maxwell-Faraday denklemlerinde belirtilen bir indüklenmiş EMFe sebep olur. Farklı kaynaklardan doğmalarına rağmen bu iki EMF de aynı denklem ile açıklanabilir, çünkü EMF teldeki manyetik akıda oluşan değişime tekabül eder. (Bu Faraday’ın Kanunudur.) Einstein’in özel görelilik teorisi de kısmen bu iki etki arasındaki bağı daha iyi anlamaktan esinlenerek yola çıkılmıştır. Hatta, hem elektrik hem manyetik alan, ikisi de aynı elektromanyetik alanın iki farklı yüzüdürler ve bir eylemsiz referans sisteminden, diğerine geçiş yaparlar. Yani elektrik alanın solenoid vektör alan kısmı tamamen manyetik alana dönüşebilir ya da manyetik alan için tam tersi.

Lorentz kuvveti ve Faraday’ın indüksiyon kanunu[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana Makale:Faraday’ın indüksiyon kanunu Manyetik alanın içinde bir tel verildiğinde, Faraday’ın indüksiyon kanunu, teldeki EMF’nin bu olduğunu belirtir:

\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}

burada

 \Phi_B = \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)

Manyetik akı, B manyetik alan, Σ(t) sınırları belirtilmiş (∂Σ(t)) olan yüzey, t kadar bir sürede, dA ise küçük vektör alanı olmaktadır. EMF’ nin işareti de Lenz Kanunu ile belirlenir. Bu hem hareket halinde olan tel hem de durgun haldeki tel için geçerlidir. Faraday’ın indüksiyon kanunundan ve Maxwell denklemlerinden Lorentz Kuvveti anlaşılabilir. Aynı şekilde tam tersi olarak, Lorentz Kuvvetinden de Maxwell denklemleri ve Faraday Kanununa ulaşılabilir. Σ(t) hareket halindeki, dönme hareketi yapmayan, sabit v hızıyla hareket eden tel olsun ve Σ(t) de telin iç yüzey alanı olsun. Kapalı bir yol üzerindeki EMF ∂Σ(t):

\mathcal{E} =\oint_{\part \Sigma (t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F} / q

burada

\mathbf{E} = \mathbf{F} / q

Elektrik alan ve dℓ ise ∂Σ(t) ile sınırları belirlenmiş ve ifade edilen küçük vektör elementi olmaktadır. NB: Hem dℓ ‘in hem de dA’nın işareti belirsizdir; doğru işareti belirleyebilmek için, Kelvin-Stokes teoremi makalesinde de açıklandığı gibi sağ el kuralı kullanılır. Yukarıdaki sonuç, Faraday’ın indüksiyon kanununda çıkan versiyon ve modern Maxwell denklemleriyle de kıyaslanabilir. Burada Maxwell-Faraday denklemi olarak verilmiştir:

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ .

Maxwell-Faraday denklemi integral kullanılarak da Kevin-Stokes teoremi aracılığıyla yazılabilir:. Böylece elimizde Maxwell-Faraday denklemi oluşur:

 \oint_{\partial \Sigma(t)}\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = - \  \iint_{\Sigma(t)}  \mathrm{d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm{d} \,\mathbf {B}(\mathbf{r},\ t)} \over \mathrm{d}t }

Ve Faraday Kanunu,

 \oint_{\partial \Sigma(t)}\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}  \iint_{\Sigma(t)}  \mathrm{d} \mathbf {A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t).

Bu ikisi eğer tel hareket halinde değil ise birbirine eşittir. Leibniz integral kuralını ve div B = 0’ı kullanarak,

 \oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r}, t) = 
- \iint_{\Sigma(t)}  \mathrm{d} \mathbf{A} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) +
\oint_{\partial \Sigma(t)} \!\!\!\!\mathbf{v} \times \mathbf{B} \,\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}

elde edebiliriz Ve Maxwell Faraday denklemini kullanırsak,

 \oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = 
\oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t)  +
\oint_{\partial \Sigma(t)}\!\!\!\! \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)\, \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}

Bu her hangi pozisyondaki tel için geçerli olduğu için şunu belirtir,

 \mathbf{F}= q\,\mathbf{E}(\mathbf{r},\ t)  + q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t).

Faraday’ın indüksiyon kanunu telin düzgün ve hareketsiz olup olmamasına ya da hareket halinde olup olmamasına ya da deformasyon aşamasında olup olmadığına bakmaksızın geçerlidir. Ayrıca manyetik alannın sabit veya değişken olmasına da bağlı değildir. Ancak bazı durumlarda Lenz yasasını kullanmanın yetersiz veya zor olduğu durumlar vardır. Bu durumlarda Lorentz kuvveti yasasını kullanmak gereklidir.

Eğer belirli bir zaman boyunca manyetik alan sabitse ve iletken tel manyetik alan içinde hareket ediyorsa, manyetik akı birçok şekilde değişebilir. Örneğin, eğer manyetik alan yere göre değişiyorsa ve tel farklı bir manyetik alanın etkisi altına girecek bir yere gidiyorsa, akı değişir. Buna alternatif olarak eğer tel manyetik alana göre oryantasyon değiştiriyorsa, B • dA diferansiyel elemanı da değişecektir, çünkü B ve dA arasındaki açı da değişecektir. Aynı zamanda akı da değişecektir. Üçüncü bir örnek olarak da, eğer devrenin belirli bir kısmı zamandan bağımsız, düzgün bir manyetik alandan geçiriliyorsa ve bir diğer kısmı da sabit tutuluyorsa, bütün kapalı devreyi bağlayan, göreceli kısımlardaki zaman içindeki değişim sebebiyle bir akı değişimi olabilir. Bu üç durumda da Faraday’ın indüksiyon kanunu, manyetik akı değişimi sebebiyle bir EMF oluşacağı yorumunu yapmamıza yardımcı oluyor. Ayrıca Maxwell Faraday denklemi, manyetik alanın zamana bağlı olarak değiştiği yerlerde, elektrik alanınkorunumlu olmadığını ve bu sebeple skaler alanın gradyeni olarak ifade edilemeyeceğini ve de, dönmesi sıfır olmadığından dolayı gradyen teormine tabi tutulamayacağını söyler.

Potansiyel türünden Lorentz kuvveti[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bkz: Elektromanyetik alanın matematiksel ifadesi, Maxwell denklemleri ve Helmholtz ayrışması E and B alanları manyetik vektör potansiyeli A ve skaler elektrostatik potansiyel ϕ ile yer değiştirerek de ifade edilebilir.

 \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }
\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

burada ∇ gradyen, ∇• gradyen diverjansı, ∇ × ise kıvrımdır. Böylece kuvvet bu hale gelir

\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})\right]

Ve bu da, üçlü çarpımı basite indirgemek için bir yöntem kullanılarak

Şablon:Equation box 1


zincir kuralı kullanılarak, A’nın total türevi:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}

olur. böylece yukarıdaki ifade;

\mathbf{F} = q\left[-\nabla (\phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})- \frac{d\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}\right]

bu şekilde de yazılabilir. bu da kullanışlı olan Euler-Lagrange formunu alabilir Şablon:Equation box 1

Lorentz kuvveti ve analitik mekaniği[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bkz: Momentum Kütlesi m ve yükü q olan elektromanyetik alanda olan bir parçacığın Lagranjiyanı onun, uygulanan kuvvetten ziyade, enerji türünden dinamiğini açıklar. Klasik ifade edilme yöntemi:

L=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-q\phi

Burada A ve ϕ yukarıdaki potansiyel alanlardır. Lagrange denklemlerini kullanarak,Lorentz denklemini elde edebiliriz.