Logistik dağılım

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Logistik
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Standard logistik OYF
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Standard logistik YDF
Parametreler \mu\, konum (reel)
s>0\, ölçe (reel)
Destek x \in (-\infty; +\infty)\!
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
Ortalama \mu\,
Medyan \mu\,
Mod \mu\,
Varyans \frac{\pi^2}{3} s^2\!
Çarpıklık 0\,
Fazladan basıklık 6/5\,
Entropi \ln(s)+2\,
Moment üreten fonksiyon (mf) e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
for |s\,t|<1\!, beta fonksiyonu
Karakteristik fonksiyon e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,
for |ist|<1\,

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, logistik dağılım bir sürekli olasılık dağılımdır. Logistik dağılımın yığmalı dağılım fonksiyon bir logistik fonksiyondur ve bu fonksiyon logistik regresyon ve ileriye-geçiş-sağlayan sinirsel ağlar konularında da rol oynar.

Şekil bakımından çan şekilinde olan normal dağılıma çok benzer; fakat kuyrukları daha ağır olduğu için daha basık bir şekil gösterir.

Tanımlama[değiştir | kaynağı değiştir]

Yığmalı dağılım fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Logistik dağılım ismini yığmalı dağılım fonksiyonuna atıfla alır çünkü bu fonksiyon matematiksel logistik fonksiyonlar ailesinin bir üyesidir:

F(x; \mu,s) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}} \!
= \frac12 + \frac12 \;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Olasılık yoğunluk fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Logistik dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) şu formülle ifade edilir:

f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2} \!
=\frac{1}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

OYF bir hiperbolik sekant fonksiyonunun karesi şeklinde olduğu görülür.

Kuantil fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Logistik fonksiyon için ters yığmalı dağılım fonksiyonu logit fonksiyonunun bir genelleştirilmesi suretiyle F^{-1} olarak elde edilir ve bu da şöyle tanımlanır:

F^{-1}(p; \mu,s) = \mu + s\,\ln\left(\frac{p}{1-p}\right).

Alternatif şekilde parametreleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Logistik dağılım için bir alternatif parametreleme \sigma^2 = \pi^2\,s^2/3 eşitliği kullanarak terimlerin değiştirilmesi suretiyle elde edilebilir. Böylece logistik dağılım için yoğunluk fonskiyonu şöyle değişik şekilde ifade edilebilir:

g(x;\mu,\sigma) = f(x;\mu,\sigma\sqrt{3}/\pi) = \frac{\pi}{\sigma\,4\sqrt{3}} \,\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \,\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Milletlerarası satranç federasyonu FIDE ve bunun üyesi olan birçok milli satranç federasyonu satranç oyuncularının sınıflandırılması için kullanılan formüllerde logistik dağılım kullanmaya başlamışlardır.

İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer X bir logistik fonksiyona göre dağılım gösteriyorsa log(X) bir log-logistik dağılım şeklindedir ve log(X - a) bir kaydırılmış log-logistik dağılım gösterir.

Referanslar[değiştir | kaynağı değiştir]

Balakrishnan, N. (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8. 

Johnson,, N.L.; Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions Vol.2. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-471-58494-0. 

İçsel kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]