Lie gruplarının tablosu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Bu yazıda bazı yaygın Lie grupları ve bununla ilişkili Lie cebirleri tablosu verilmiştir. Aşağıda belirtilenler: Grupların topolojik özellikleri (boyutu; bağıntılılık; tamlık;Temel grup'un doğası; ve basit bağlantı olup olmamasıdır) yanı sıra cebirsel özellikleri de vardır (değişmeli; basit; yarıbasit). Basit Lie gruplarının listesinin diğer ilgili konuları ve Lie gruplarının daha fazla örneğini görmek için;üç boyut üstündeki grupların Bianchi sınıflandırması ; ve Lie grup konularının listesi ne bakılmalıdır.

Gerçek Lie grupları ve bunların cebri[değiştir | kaynağı değiştir]

sütun gösterge

Lie grubu Tanımı CM \pi_0 \pi_1 UC Açıklamalar Lie cebiri boyut/R
Rn Öklid uzayı ile toplama N 0 0 değişmeli Rn n
R× nonzero real numbers ile çarpım N Z2 değişmeli R 1
R+ pozitif gerçel sayılarla çarpım N 0 0 değişmeli R 1
S1 = U(1) çember grubu:mutlak değer 1'in karmaşık sayılar'ı , ile çapım; Y 0 Z R değişmeli,SO(2)'ya izomorfiktir, Spin(2), ve R/Z R 1
Aff(1) tersinebilir afin dönüşümler R den R.ye N Z2 0 çözünebilen,R+'nin yarıdoğrudan çarpımı ve R× \left\{\left[\begin{smallmatrix}a & b \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right] : a,b \in \mathbb{R}\right\} 2
H× sıfır-olmayan dördey'ler ile çarpım N 0 0 H 4
S3 = Sp(1) mutlak değer 1'in dördey , ile çarpım; topolojik bir 3-küre Y 0 0 SU(2) ye izomorfiktir ve Spin(3) ye; SO(3)'ün çift örtüsü Im(H) 3
GL(n,R) general linear group: tersinebilir n×n gerçel matrisler N Z2 M(n,R) n2
GL+(n,R) n×n gerçel matrisler ile pozitif determinant N 0 Z  n=2
Z2 n>2
GL+(1,R) R+ ye izomorfiktir ve yalın bağlantıdır M(n,R) n2
SL(n,R) özel doğrusal grup: gerçel matris ile determinant 1 N 0 Z  n=2
Z2 n>2
SL(1,R) bir yalın nokta ve bu nedenle tam ve basit bağlantıdır sl(n,R) n2−1
SL(2,R) Poincaré yarı-düzlemi'nin yönelim koruyucu izometrilerinde,SU(1,1)'ya izometrik,Sp(2,R)'ya izometriktir. N 0 Z evrensel örtü sonlu-boyutla bağlı gösterimler yoktur sl(2,R) 3
O(n) dik grup: gerçel dik matrisler Y Z2 küre'nin simetri grubu (n=3) veya hiperküre. so(n) n(n−1)/2
SO(n) özel dik grup: gerçek dik matrisler ile determinant 1 Y 0 Z  n=2
Z2 n>2
Spin(n)
n>2
SO(1) bir tekil nokta ve SO(2) çember grubu'na izomorfiktir, SO(3) kürenin rotasyon grubudur. so(n) n(n−1)/2
Spin(n) spin grubu: SO(n)'un çift örtüsü Y n>1 n>2 Spin(1) Z2 ye izomorfiktir ve bağlantılı değildir; Spin(2) çember grubuna izomorf ve sade bağlantılı değil so(n) n(n−1)/2
Sp(2n,R) simplektik grup: gerçel simplektik matrisler N 0 Z sp(2n,R) n(2n+1)
Sp(n) tıkız simplektik grup: dördeysel n×n birimsel matris Y 0 0 sp(n) n(2n+1)
U(n) birim grup: karmaşık n×n birimsel matris Y 0 Z R×SU(n) n=1 için :S1 ya izomorfik. Not:bu karmaşık bir Lie grubu ve cebir değil u(n) n2
SU(n) özel birimsel grup: karmaşık n×n birim matrisler ile determinant 1 Y 0 0 Not: bu bir karmaşık Lie grubu/cebiri değil su(n) n2−1

Gerçek Lie cebri[değiştir | kaynağı değiştir]

gösterge Tablosu:

  • S:bu cebir yalınmı? (Evet veya Hayır)
  • SS:bu cebir yarı-yalınmı? (Evet veya Hayır)
Lie cebiri Tanımı S SS Açıklamalar boyut/R
R bu gerçel sayı, bu Lie braket sıfırdır 1
Rn Lie braketi sıfırdır n
R3 Bu Lie braketi çapraz çarpım'ıdır 3
H dördeyler, değişmeli Lie braketi ile 4
Im(H) Sıfır gerçel kısmı ile dördeyler,Lie braket komütatörü ile;Gerçek 3-vektörleri izomorftur,

Lie braketi ile çapraz çarpım; ayrıca su(2)'ya izomorfik ve so(3,R)'ye

Y Y 3
M(n,R) n×n matrisi,Lie braketi ile komütatörü n2
sl(n,R) kare matrisler ile iz 0, Lie braketi ile komütatörü Y Y n2−1
so(n) çarpık-simetrik kare gerçel matrisler, ile Lie braket komutatörü. Y Y istisna: so(4) yarı-yalın, ama basit değil. n(n−1)/2
sp(2n,R) gerçel matrisler bu JA + ATJ = 0 uygundur.bu J çarpık-simetrik matris standarttır Y Y n(2n+1)
sp(n) kare dördeyik matrisler A uygundur A = −A*, ile Lie braketi ile komütatörü Y Y n(2n+1)
u(n) kare karmaşık matrisler A uygundur A = −A*, Lie braketi ile komütatörü n2
su(n)
n≥2
kare karmaşık matrisler A ile iz 0 uygundur A = −A*, Lie braketi ile komütatörü Y Y n2−1

Karmaşık Lie grupları ve bunların cebiri[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu verilen boyut C üzerinde boyuttur. Her karmaşık Lie grubu/cebiri de iki boyutun gerçek bir Lie grubu/cebri olarak görülebilir unutmayın.

Lie grubu Tanımı CM \pi_0 \pi_1 UC Açıklamalar Lie cebiri boyut/C
Cn grup operasyon toplamıdır N 0 0 değişmeli Cn n
C× sıfır-olmadan karmaşık sayılar ile çarpım N 0 Z değişmeli C 1
GL(n,C) genel doğrusal grup: tersinebilir n×n karmaşık matrisler N 0 Z n=1: için C× ye izomorfik M(n,C) n2
SL(n,C) özel doğrusal grup: kompleks matrisler ile determinant

1

N 0 0 n=1 için bu tek bir noktadan ve böylece tamdır. sl(n,C) n2−1
SL(2,C) SL(n,C)'in özel durumu n=2 için N 0 0 Spin(3,C)'e izomorfik,Sp(2,C)'a izomorfiktir sl(2,C) 3
PSL(2,C) İzdüşümsel özel doğrusal gruptur N 0 Z2 SL(2,C) Möbius grubu'na izomorfik,sınırlı Lorentz grubu SO+(3,1,R)'e izomorfik,SO(3,C)'ya izomorfiktir. sl(2,C) 3
O(n,C) dik grup: karmaşık dik matrisler N Z2 n=1 için tıkız so(n,C) n(n−1)/2
SO(n,C) Özel dik grup: belirleyici 1 ile karmaşık dik matrisler N 0 Z  n=2
Z2 n>2
SO(2,C) değişmelidir ve C×ye izomorfiktir; n>2. SO(1,C) için değişmeli olmayan tek bir noktadan ve böylece kompakt ve basit bağlantılıdır so(n,C) n(n−1)/2
Sp(2n,C) simplektik grup: karmaşık simplektik matrisler N 0 0 sp(2n,C) n(2n+1)

Karmaşık Lie cebiri[değiştir | kaynağı değiştir]

Verilen boyutlar C üzerinde boyutlarıdır. Unutmadan; her karmaşık Lie cebiri de iki boyutlu gerçek bir Lie cebri olarak görülebilir.


Lie cebiri Tanımı S SS Açıklamalar boyut/C
C karmaşık sayılar 1
Cn Lie braket sıfırdır n
M(n,C) n×n matrisler, ile Lie braketi ile komütatörü n2
sl(n,C) kare matrisler ile iz 0,Lie braketi ile komütatörü Y Y n2−1
sl(2,C) sl(n,C) nin özel durumu n=2 ile Y Y su(2)'ye izomorfik \otimes C 3
so(n,C) çarpık-simetrik kare karmaşık matris, ile Lie braketi

komutatörü

Y Y istisna: so(4,C) yarı-yalın, ama yalın değil. n(n−1)/2
sp(2n,C) karmaşık matrislere bu uygundur JA + ATJ = 0

burada J standard çarpık-simetrik matris'tir

Y Y n(2n+1)

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]