Lie cebri kohomolojisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte, Lie cebri kohomolojisi Lie cebiri için bir kohomoloji teorisidir. Bu kompakt Lie grupları altında yatan topolojik uzayların kohomolojik bir cebrik inşaat vermek için Chevalley ve Eilenberg (1948) tarafından tanımlanmıştır. Yukarıdaki yazıda, Koszul kompleksi olarak adlandırılan özel bir kompleksin normal anlamda bir Lie cebri üzerindeki kohomolojisi bir modül için tanımlanır,

Alıştırma[değiştir | kaynağı değiştir]

G kompakt bir basit bağlantılı Lie grubu ise, o zaman bu Lie cebiri tarafından belirlenir, bu nedenle Lie cebrinin kendi kohomolojisini hesaplamak mümkündür. Bu şu şekilde yapılabilir.O'nun kohomolojisi Gnin diferansiyel formlarının kompleksinin de Rham kohomolojisidir Bu sırayla uygun bir diferansiyel ile, Lie cebri dış cebri ile ayırt edilebilir eşdeğer diferensiyel formların,kompleksi ile değiştirilebilir.Bir dış cebri Bu diferansiyeli yapabilir, herhangi bir Lie cebri için mantıklı böylece tüm Lie cebiri için Lie cebri kohomolojisi tanımlamak için kullanılır.Daha genel olarak tek bir birim içinde katsayılı Lie türevi kohomolojisi tanımlamak için benzer bir yapı kullanır.

Tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki \mathfrak g değişmeli halka üzerinde R olmak üzere genel zarflama cebri bir Lie cebridir U\mathfrak g, ve diyelim \mathfrak g M bir gösterimini olarak(eşdeğer bir U\mathfrak g-module). Yinede R \mathfrak g göz önüne alındığında Rnin önemsiz bir gösterimi,bir kohomoloji grupları tanımlar

\mathrm{H}^n(\mathfrak{g}; M) := \mathrm{Ext}^n_{U\mathfrak{g}}(R, M)

(bakınız Ext funktör Dış tanımı için).Eşdeğer, bu sol tam değişmeyen alt modülü funktorunün sağ türetilmiş funktörleri olan

M \mapsto M^{\mathfrak{g}} := \{ m \in M \mid gm = 0\ \text{ for all } g \in \mathfrak{g}\}.

Benzer,olarak Lie cebiri homoloji tanımlayabilirsiniz.

\mathrm{H}_n(\mathfrak{g}; M) := \mathrm{Tor}_n^{U\mathfrak{g}}(R, M)

(bakınız Tor functor Tor tanımı için), Sağın tam eşdeğişmez ler funktorunün solundaki türetilmiş funktorlar eşdeğerdir.

 M \mapsto M_{\mathfrak{g}} := M / \mathfrak{g} M.

Lie cebirlerinin kohomolojisi ile ilgili bazı önemli temel sonuçları Whitehead's lemması içindedir, Weyl teoremi, ve the Levi ayrışması teoremi.

Küçük boyutlarda Kohomoloji[değiştir | kaynağı değiştir]

Sıfırıncı kohomoloji grup Modül üzerinde hareket eden Lie cebirinin değişmezleri:

H^0(\mathfrak{g}; M) =M^{\mathfrak{g}} = \{ m \in M \mid gm = 0\ \text{ for all } g \in \mathfrak{g}\}.

İlk kohomoloji grubunun türevlerinin uzayı Der,modülo uzayının iç türevleri Ider

H^1(\mathfrak{g}; M) =Der(\mathfrak{g}, M)/Ider(\mathfrak{g}, M)

burada Lie cebrinin d 'sinden M 'ye bir türetme haritasıdır,öyle ki

d[x,y] = xdy-ydx~

bunun tarafından verilen olursa içsel olarak adlandırılır;

M içindeki bazı a lar için,
dx = xa~

İkinci kohomoloji grubu

H^2(\mathfrak{g}; M)

Lie cebirinin uzantıları eşdeğerlik sınıflarının alandır

0\rightarrow M\rightarrow \mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0

modülü M tarafından Lie cebrine Yüksek kohomolojik gruplar için herhangi bir benzer kolay yorumlar var gibi görünmüyor.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Scholarpedia