Levi-Civita sembolü

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematikte, özel olarak doğrusal cebirde, tensör analizi, ve diferansiyel geometri,Levi-Civita sembolü sayıların bir koleksiyonunun gösterimidir;bazı pozitif tamsayı n için doğal sayıların 1, 2, …, n bir permütasyonun işaretinden tanımlanır. Bu adını Italyan matematikçi ve fizikist Tullio Levi-Civitadan alır. Diğer adı permutasyon sembolü içerdiğinden , antisimetrik sembol, veya dalgalı sembol, bu antisimetrik özelliklere kaynaktır ve permutasyonların terimleri içinde tanımlanıyor.

Levi-Civita sembolündeki ifadesine standard harfler yunan alt indis epsilon ε veya ϵ, veya Latin alt indis e daha az yaygındır.Tensor analizi ile uyumlu bir yol içinde permütasyonu görüntüsüne indis gösterimi tek olanak sağlar:

\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n}

burada her i1, i2, …, in indisi 1, 2, …, n değeri alıyor.Burada bir n-boyutlu dizi içinde düzenlenebilir nn \varepsilon_{i_1i_2\cdots i_n}'ın indis değerleri vardır. sembolün özellikleri anahtar tanımı tüm indis içindeki toplam antisimetridir.Her iki indis birbiriyle yer değiştirildiğinde, eşit ya da değil, sembol olumsuzlanır:

\varepsilon_{\cdots i_p \cdots i_q \cdots }=-\varepsilon_{\cdots i_q \cdots i_p \cdots } .

Eğer herhangi iki indisler eşitleniyor,ise sembol sıfırdır. O zaman tüm indisler eşit değildir, elimizde olan:

\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} = (-1)^p \varepsilon_{1 2 \cdots n} ,

burada p (permutasyonun kesri denir) i1 deşifreye gerekli indislerin yer değiştirmelerinin sayılarıdır, i2, …, in 1, 2, …, n,sıralaması içinde ve (−1)p faktörü permutasyonun işareti veya imzası denir. ε12…n değerleri olarak tanımlanıyor,başka tüm permütasyon sembolünün özel değerleri belirsizdir vardır.. Çoğu yazarlarε12…n = +1 tümü eşitsizlik olduğunda,bunun anlamı Levi-Civita sembolünün bir permutasyonunun işareti eşittir demektir eşitsizliklerdir. Bu seçim, bu yazı boyunca kullanılır.

aslında n sembolu üzerinde indislerin sayılarıyla "n-boyutlu Levi-Civita sembolü" ne kaynak ve soru içinde uygun vektör uzayının,boyutluluğu bu Öklidyen veya non-Öklidyen eşleşebilir, saf uzay veya uzayzaman. Levi-Civita sembolünün değerleri herhangi metrik tensör ve koordinat sisteminden bağımsızdır

3d Öklid uzayı içinde iki vektörlerin çapraz çarpımı ve Levi-Civita sembolü bir kare matrisin determinantının ifadesine kullanılabilir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Levi-Civita sembolünün ortak boyutluluk 3d içindedir ve 4d, ve 2d'ye bazı uzantılar,böylece önceki bu tanımları bir boyutların herhangi sayıları içinde görmek için yararlıdır .

İki boyutlular[değiştir | kaynağı değiştir]

iki-boyutlu Levi-Civita sembolü ile tanımlanıyor:

 \varepsilon_{ij} =
\begin{cases}
+1 & \text{eğer } (i,j) \text{ ise } (1,2) \\
-1 & \text{eğer } (i,j) \text{ ise } (2,1) \\
\;\;\,0 & \text{eğer }i=j
\end{cases}

Değerler bir 2 × 2 antisimetrik matris içinde düzenlenebilir:

 \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

supersimetri gibi belli özel konular içinde olmasına rağmen 2d sembolünün kullanımı oldukça nadirdir[1] ve twistor teorisi[2] bu 2-spinorlerin kavramı içinde görüntülenir 3d ve daha yüksek-boyutlu Levi-Civita sembolleri daha yaygın kullanılıyor.

Üç boyutlar[değiştir | kaynağı değiştir]

εijk içindeki (i, j, k) indisler için, ε = +1'ya karşılık döngüsel sıra (1,2,3) (sarı) içinde 1, 2, 3 değerinden oluşur , ε = −1, diğerleri ε = 0'ya karşılık ters döngüsel sıra (kırmızı) içinde meydana geldiğinde.

üç boyutlu içinde,Levi-Civita sembolü aşağıdakiler olarak tanımlanıyor:[3]

 \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 & \text{eğer} (i,j,k) \text{ ise } (1,2,3), (3,1,2) \text{ veya } (2,3,1), \\
-1 & \text{eğer} (i,j,k) \text{ ise } (1,3,2), (3,2,1) \text{ veya } (2,1,3), \\
\;\;\,0 & \text{eğer} i=j \text{ veya } j=k \text{ veya } k=i
\end{cases}

yani  \varepsilon_{ijk} 1'dir eğer (i, j, k) ,(1,2,3)'ün bir çift permutasyonu , −1 eğer bu bir tek permutasyon ise, ve herhangi bir indis yinelenirse 0'dır.üç boyutlular içinde, ve yüksek değil, (1,2,3)'ün siklik permutasyonları tüm çift permutasyonlardır ve benzer antisiklik permutasyonlar tüm tek permutasyonlardır. Bunun anlamı 3d içinde bu siklik almak için yeterlidir veya (1,2,3)'ün permutasyonları antisikliktir ve kolay elde edilen tüm çift veya tek permutasyonlardır.

2d matrislere analogtur,3d Levi-Civita sembolünün değeri bir 3×3×3 dizisi içinde düzenlenebilir:

Epsilontensor.svg

burada i derinliktir, j satır ve k sütun.

Bazı örnekler:

 \varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} = - 1
\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1
\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1
\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = 0

Dört boyutlular[değiştir | kaynağı değiştir]

dört boyutlular içinde,Levi-Civita sembolü olarak tanımı:

\varepsilon_{ijkl } =
\begin{cases}
+1 & \text{eğer }(i,j,k,l) \text{ bir çift permütasyondur } (1,2,3,4) \\
-1 & \text{eğer }(i,j,k,l) \text{ bir tek permütasyondur } (1,2,3,4) \\
0 & \text{diğerleri}
\end{cases}

Bu değerler bir 4×4×4×4 dizi içinde düzenlenebilir,4d içindekine rağmen ve bu yüksekliği çizmek zordur.

Bazı örnekler:

\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = - 1
\varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -1
\varepsilon_{\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}}) = 1
\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = 0

n boyutlulara genelleştirme[değiştir | kaynağı değiştir]

Levi-Civita sembolü n boyutlu'ya genelleştirilebilir:[4]

\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} =
\begin{cases}
+1 & \text{eğer }(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n) \text{ bir çift permütasyondur } (1,2,3,\dots,n) \\
-1 & \text{eğer }(a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n) \text{ bir tek permutasyondur } (1,2,3,\dots,n) \\
0 & \text{diğerleri}
\end{cases}

Böylece bu bir permutasyonun durumu içinde permutasyonun işareti'dir ve diğerleri sıfır.

sayıların düzgün çarpımı için büyük Pi gösterimi \prod kullanılıyor,bir sembol için açık ifadedir:

 
\begin{align}
\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i < j \leq n} \sgn ( a_j-a_i ) \\
& = \sgn(a_2 - a_1)\sgn(a_3 - a_1)\ldots\sgn(a_n - a_1)\sgn(a_3 - a_2)\sgn(a_4 - a_2)\ldots\sgn(a_n - a_2)\ldots\sgn(a_n - a_{n-1})
\end{align}

burada çarpım tüm indisler içinde toplam antisimetriktir, ve işaret fonksiyonu ("sgn" ile ifade ediliyor) atılan her farkın the mutlak değer işareti özütler. Formül tüm indis değeri ve herhangi n için doğrudur(n = 1 ise veya 0, bu boş çarpımdır). Bunun için, nadiren bu pratik içinde kullanılan değişimci indisler daha hızlıdır.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir tensör böyle bir ortonormal taban içinde bileşenler ( eşdeğişken rank n'in bir tensörüdür) ile veriliyor bazen bir permutasyon tensör denir.Bu aslında bir psödotensör için jakobiyen determinant −1'ın bir ortogonal dönüşüm altında (yani,bir yansıma ile bir dönme düzeni), bu bir küçük işaret kazanıyor.Levi-Civita sembolü olarak bir psödotensördür,alma sonucu bir çapraz çarpım bir psödovektordür,bir vektör değil.[5]

Genel bir koordinat değişikliği altında,permutasyonun bileşenleri tensör dönüşüm matrisinin jakobiyeni ile çarpılıyor. Bu ifade bu koordinat çerçevesi içinde tek bu tensör içindeki farktan tanımlanıyor idi, bu bileşenler can differ from those of the by bir tüm faktör ile Levi-Civita sembolü tarafından. Eğer çerçeve ortonormaldir,faktor çerçevenin uyumu olup olmadığı üzerinden ±1 bağlı olacak aynı veya değildir.[5]

indis-serbest içinde tensör gösterimi,Levi-Civita sembolü Hodge ikilisinin kavramı ile yer değiştirir.

burada tensör indis gösteriminin bir kavramı içinde tensör bileşenlerin manipülasyonuna kullanılıyor,Levi-Civita sembolü ile bu indisler ya altsimge veya üstsimge olarak yazılabilmesi ile anlamı içinde değişiklik yok, gibi uygun olabilir. Böylece, tek yazılabilen

\varepsilon^{ij\dots k} = \varepsilon_{ij\dots k} .

bu örnekler içinde, üstsimge altsimge ile eşdeğer düşünülebilir.

Toplam semboller kullanılan Einstein gösterimi ile elenebilir, burada bir indis arasında tekrarlanan iki veya bu indis üzerinde daha fazla terimler toplamını gösterir.Örneğin

\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn} \equiv \sum_{i=1,2,3} \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}.

aşağıdaki örnek içinde, Einstein gösterimi kullanılıyor.

İki boyutlular[değiştir | kaynağı değiştir]

iki boyutlular içinde, o zaman tüm i, j, m, n her 1 ve 2 değeri alınır,[3]

   

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} =  \delta_i {}^m \delta_j {}^n - \delta_i {}^n \delta_j {}^m

 

 

 

 

(Kaynak denklem-1)

   

   

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in}  =  \delta_j{}^n

 

 

 

 

(Kaynak denklem-2)

   

   

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij}  =  2.

 

 

 

 

(Kaynak denklem-3)

   

Üç boyutlular[değiştir | kaynağı değiştir]

İndis ve sembol değerleri

üç boyutlular içinde, o zaman tüm i, j, k, m, n her 1, 2, ve 3 alınan değerleri:[3]

   

\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m

 

 

 

 

(Kaynak denklem-4)

   

   

\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2\delta^i_j

 

 

 

 

(Kaynak denklem-5)

   

   

\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6.

 

 

 

 

(Kaynak denklem-6)

   

Çarpımlar

Levi-Civita sembol Kronecker delta'ya ilişiktir.üç boyutlular içinde,ilişkililik aşağıdaki denklemler ile verilir (dik çizgi determinant ifadesi):[4]

\begin{align}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} & = \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}\\
 & = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right). 
\end{align}

Bu sonucun bir özel durumu (Şablon:EquationNote)dür:


\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}

bazen "büzülme epsilon eşitliği" kodlanır.

Einstein gösterimi içinde,i üzerinde toplam ifadesi i indisinin çiftidir. Önceki ardından belirtilir:  \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\,.


\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

n boyutlular[değiştir | kaynağı değiştir]

indis ve sembol değerleri

n boyutular içinde, o zaman tüm i1,...,in, j1,...,jn 1, 2,..., n alınan değerleri:

   

\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}{}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}{}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}

 

 

 

 

(Kaynak denklem-7)

   

   

\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta_{[ i_{k+1}}{}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}{}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n}

 

 

 

 

(Kaynak denklem-8)

   

   

\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n!

 

 

 

 

(Kaynak denklem-9)

   

burada ünlem işareti (!) faktöriyel ifadesi, ve δα…β… genelleştirilmiş Kronecker deltadır.Herhangi n için, özellik


\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!

bu çarpanlardan aşağıda

  • her permütasyon ya çift veya tektir,
  • (+1)2 = (−1)2 = 1, ve
  • herhangi n-küme elemanı sayısının permutasyonunun sayısı n! tamlıktır.
Çarpımlar

Genel içinde,n boyutlular için, tek iki Levi-Civita sembollerinin çarpımı yazılabilir:

 \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}
\delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\
\delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\
\end{vmatrix} .

Kanıtlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Denklem Notu-1 için, iki yüz ij ve mn nin sırasıyla antisimetriktir. Biz bunun için yalnızca ij ve mn durumunu düşünmeye gerek var. Yerine koyma ile, biz bu denklem \varepsilon_{12} \varepsilon^{12} için tutulduğunu görüyoruz, yani i = m = 1 ve j = n = 2 için. (iki yüz tek ise ). Ötesi denklem ij ve mn içinde ,yukardaki duruma (hangisi tutulursa) indirgenebilen bu değerlerin herhangi kümesi için antisimetriktir. Denklem böylece ij ve mn nin tüm değerleri için tutulur.

Denklem Notu-1 i kullanıyoruz, elimizdeki Denklem Notu-2 için

 \varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = \delta_i{}^i \delta_j{}^n - \delta_i{}^n \delta_j{}^i = 2 \delta_j{}^n - \delta_j{}^n = \delta_j{}^n \,.

Burada biz Einstein toplam kuralı ile i kullanıyoruz 1 den 2'ye gidiyor. Sonuç,Denklem Notu-3 Denklem Notu-2dan benzerlik aşağıdadır.

Denklem Notu-5 kurmak için, unutmadan her iki taraf kayboluyor eğer ij. Yani, eğer ij, ise m ve n birini seçemezsiniz böylece her iki permutasyon semboller sol üzerinde sıfır olmayandır. İse, ij ile sabitlenir, burada yalnız m ve n kalan iki indislerden seçmek için iki yollardır.Herhangi bu gibi indisler için, elimizde

\varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn} = (\varepsilon^{imn})^2 = 1

(toplam yok), ve sonuç aşağıdadır.

İse(Denklem Notu-6) beri takip ise 3! = 6 ve i, j, k herhangi farklı indisleri için 1, 2, 3,değerleri alıyor, elimizde olan

\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=1 (toplam yok, ayrı ayrı i, j, k ).

Uygulamalar ve örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Determinantlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Doğrusal cebir içinde,bir 3 × 3 kare matris A = (aij)'nın determinantı yazılabilir[6]

\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}

bir n × n matris A = (aij)'nın determinantı benzer olarak yazılabilir[5]

 \det(\mathbf{A}) = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n},

burada her ir 1,..., n üzerinde özetlenebilir olmalıdır, veya eşitliği:

 \det(\mathbf{A}) = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n},

burada şimdi her ir ve her jr 1,.., n üzerinde özetlenebilir olmalıdır. Daha geneli, elimizdeki eşitlik[5]

\sum_{i_1,i_2,\dots}\varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{i_1 \, j_1} \cdots a_{i_n \, j_n} = \det(\mathbf{A}) \varepsilon_{j_1\cdots j_n}

Vektör çapraz çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: çapraz çarpım

Çapraz çarpım (iki vektörler)[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer a = (a1, a2, a3) ve b = (b1, b2, b3) \mathbb{R}^3 içinde vektörlerse (bazı sağ-taraf koordinat sistemi içinde gösterilen bir ortonormal taban kullanılıyor), burada çapraz çarpım bir determinant olarak yazılabilir:[5]


\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a^1 & a^2 & a^3 \\
 b^1 & b^2 & b^3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i a^j b^k

Bundan dolayı ayrıca Levi-Civita sembolü kullanılıyor, ve daha basitçe:


(\mathbf{a \times b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

Einstein gösterimi içindi, toplam sembolleri atlanabilir, ve burada çapraz çarpım eşitliğinin iinci bileşenleri [4]

 (\mathbf{a\times b})_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

ilk bileşenler

(\mathbf{a\times b})_1 = a^2 b^3-a^3 b^2\,,

ise 1, 2, 3'ün döngüsel permütasyonu ile diğerleri hemen türetilebilir olsun,yukarıdaki formüllerde açık bir şekilde onları hesaplamadan:

(\mathbf{a\times b})_2 = a^3 b^1-a^1 b^3\,,
(\mathbf{a\times b})_3 = a^1 b^2-a^2 b^1\,.

Üçlü skaler çarpım (üç vektörler)[değiştir | kaynağı değiştir]

çapraz çarpım için, elimizde olan yukardaki bağıntılardan:

\mathbf{a\times b} = -\mathbf{b\times a}.

Eğer c = (c1, c2, c3) diğer vektörler, ise üçlü skalar çarpım eşittir

 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c}) = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.

bu ifadelerden, bu üçlü skaler çarpımın antisimetrik olduğu bileşenlerin herhangi çiftini değiştirirken görülebilir. Örneğin,

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c})= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a\times c}).

Curl (tek vektör alanı)[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer F = (F1, F2, F3) x = (x1, x2, x3) (Kartezyen koordinatlar kullanılıyor) pozisyonunun bir fonksiyonu olarak \mathbb{R}^3 nın bazı açık küme üzerinde bir vektör alanı tanımlanıyor,ise F in curl 'unun i.inci bileşenleri eşittir.[4]

 (\nabla \times \mathbf{F})^i(\mathbf{x}) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(\mathbf{x}),

Bu aşağıdaki çapraz çarpım ifadesinden yukarıda,gradyan vektör operatörün bileşenleri yerini alır (nabla).

Tensör yoğunluğu[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi keyfi eğrisel koordinat sistemi içinde ve manifold üzerinde bir metrikin yokluk içinde çift, yukarda tanım olarak Levi-Civita sembolü iki farklı yollar içinde bir tensör yoğunluğu alanı olarak kabul edilebilir.Bu bir karşıtdeğişir tensör yoğunluğu olarak +1 ağırlığın veya −1 ağırlığın bir eşdeğişir tensor yoğunluğu olarak kabul edilebilir.n içinde kullanılan boyutları genelleştirilmiş Kronecker deltadır,[7]

\varepsilon^{\mu_1 \cdots \mu_n} = \delta^{\mu_1 \cdots \mu_n}_{\,1 \,\cdots \,n} \,
\varepsilon_{\nu_1 \cdots \nu_n} = \delta^{\,1 \,\cdots \,n}_{\nu_1 \cdots \nu_n} \,.

dikkat edin bu sayısal eşliktir. Özel olarak, işaret aynıdır.

Mutlak tensör[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir metrik tensör alanının varlığında,bir koordinat sistemi tanjant uzayı tabanında bu metriğe sırasıyla ortonormal olduğundan bu tür nerede olarak olursa olsun Levi-Civita sembolü kabulü ile mutlak koveryant kontravaryant ve tensör alanlarını tanımlayabilir. Bu mutlak tensör alanları ile ve ne de yukarıda belirtilen tensör yoğunluk alanları ile karıştırılmamalıdır. Bu mutlak tensör alanlarından biri, her zaman olduğu gibi bir ölçüm olan indislerin yükseltilmesi veya düşürülmesi ile ve ama bir küçük metrik işareti negatif bir tek sayı içeriyorsa bir diğerine dönüştürülebilir,örneğin, Minkowski uzayı için bir eksi işareti gereklidir(özel göreliliğin dört-boyutlu uzayzamanı )

E^{\alpha \beta \gamma \delta} E^{\rho \sigma \mu \nu} = - g^{\alpha \zeta} g^{\beta \eta} g^{\gamma \theta} g^{\delta \iota} \delta^{\rho \sigma \mu \nu}_{\zeta \eta \theta \iota} \,
E_{\alpha \beta \gamma \delta} E_{\rho \sigma \mu \nu} = - g_{\alpha \zeta} g_{\beta \eta} g_{\gamma \theta} g_{\delta \iota} \delta^{\zeta \eta \theta \iota}_{\rho \sigma \mu \nu} \,
E^{\alpha \beta \gamma \delta} = - g^{\alpha \zeta} g^{\beta \eta} g^{\gamma \theta} g^{\delta \iota} E_{\zeta \eta \theta \iota} \,.

uyarı küçük işaretler.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ P. Labelle (2010). Supersymmetry. Demystified. McGraw-Hill. ss. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4. 
  2. ^ F. Hadrovich. "Twistor Primer". http://users.ox.ac.uk/~tweb/00004/index.shtml. Erişim tarihi: 03/09/2013. 
  3. ^ a b c J.R. Tyldesley (1973). An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. ISBN 0-582-44355-5. 
  4. ^ a b c d D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6. 
  5. ^ a b c d e K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  6. ^ S. Lipcshutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (4th bas.). Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 978-0-07-154352-1. 
  7. ^ David Lovelock, Hanno Rund (1989). Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Courier Dover Publications. ss. 113. ISBN 0-486-65840-6. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:PlanetMath attribution

Şablon:Tensors