Klein-Gordon denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

Matematiksel Açılım[değiştir | kaynağı değiştir]

Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.


\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi

burada

\mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{\nabla} momentum operatörü, \nabla ise del operatörüdür.

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip


E = \sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}

sonra, bu formüle kuvantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

 \sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi= i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi.

sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.


(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0,

burada

 \mu = \frac{mc}{\hbar} \,

ve

 \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\, olur.

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

Göreli serbest parçacık çözümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.


\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi

Yukarıdaki ifadenin gayrigöreli versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:


\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}

Ancak elbette bu durumda,


-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.

engeli oluşacaktır. Gayrigöreli parcçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,


\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k},

ve


\langle E\rangle=\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega.

şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği k ve ω bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

\left.\right.
\langle E \rangle^2=m^2c^4+\langle \mathbf{p} \rangle^2c^2.

Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

\left.\right.
\langle E \rangle=\langle |\mathbf{p}| \rangle c.

ilişkisine ulaşırız.

Aksiyom[değiştir | kaynağı değiştir]

Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.

\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^4x \left(\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \phi^2 \right)

burada \phi Klein-Gordon alanını, m ise kütleyi ifade etmektedir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]