Kesme haritalama

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Mesh Shear 5/4
Düzlemin yatay kesme m = 1.25 katsayısı ile, onun bir dikdörtgen ızgara üzerinde etkisi (yeşil) ve bazı rakamlar (mavi) ile gösterilmiştir.Siyah nokta çıkış noktasıdır.

düzlem geometride ,bir 'kesme haritalama' bir doğrusal harita'nın sabit yönde her noktada yerinden olmasıdır,orantılı bir miktarı ile işaretli mesafe'den Bir çizgi bu yöne paralel dir .[1] Haritalamanın adlandırılması kesme dönüşümü,transveksiyon, ya da sadece kesmedir.

Bir örnek ile herhangi bir noktada gereken haritalama koordinatlarının (x,y) noktasına (x + 2y,y).Bu durumda,yer değiştirme yataydır, sabit hat  x eksenli ve işaretli mesafe olan y koordinattır. Referans çizgisinin zıt kesimlerinde üzerindeki noktaları zıt yönlerde yer değiştirdiğini unutmayın. kesme haritalamayı dönme ile karıştırmamak gerekir.Düzlemin noktalarının bir kümesine uygulanacak bir kesme haritalamada bütün açı'lar arasında ( düz açılar hariç) değiklik olacak, ve herhangi doğru parçası'nın uzunluğu yerdeğiştirme yönüne paralel değildir.Bu yüzden, genellikle, bir geometrik şekil diğer şekline deforme olacak.örneğin kare içine non-kare olmayanlar paralelogramlar, ve çemberler içine elipsler dönebilir. Ancak bir kesici geometrik şekillerin korunması bölge , hizalama ve doğrudaş noktaların göreceli uzunluğunu korur.Bir kesme haritalama dikey arasındaki ana fark ve slanted (veya italik) harflerin stili gibidir

Üç boyutlu geometride,aynı tanım kullanılmıştır bunun dışında mesafe sabit bir düzlemde ölçülür.Üç boyutlu kesme dönüşümü katı figürlerin hacmini korur ama düzlem şekillerin alanlarını (yer değiştirme paralel olanlar hariç) değiştirir.Bu haritalamada akışkan hareketini bir Couette akışı tanımlar ve.kesme zorlanması(ki deformasyon ,adı bu nedenledir) altında katı malzeme'de parçacıkların bir yer değiştirmesidir(bir sac'ın makaslar tarafından kesilmesiyle oluşur.)

Genel n-boyutlu kartezyen uzay içinde \mathbb{R}^n, bu mesafe bir sabit hiperdüzlem yerdeğiştirmesinin yönüne paralel ölçüdür. Bu geometrik dönüşüm is bir \mathbb{R}^n'nindoğrusal dönüşüm'üdür.Bu herhangi bir kümenin n-boyut ölçüsü(hipervolüm) korunur.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Düzlemin yatay ve dikey makası[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir makas haritalama kodu yardımıyla  SVG,
bir dikdörtgen bir eşkenar dörtgen olur.

Düzlemde \mathbb{R}^2 =\mathbb{R}\times\mathbb{R}, bir yatay makas (veya paralel makas için x ekseni) koordinatları (x,y) (x + m y,y);noktası ile genel bir nokta alan bir fonksiyondur;m olarak adlandırılan sabit bir parametre, bir makas faktörüdür Bu dönüşümlerin etkisi ile ykoordinat orantılı bir miktar yatay her noktada yerinden olmaktadır. Yukarıdaki herhangi bir noktada x- eksenine yerinden olan doğru (artan x) eğer m > 0 ve ​​sola eğer m < 0Ters yönde x-ekseni hareket altında nokta, eksenindeki noktaları sabit kalıyor ise

Paralel düz çizgiler x tüm diğer hatları da x eksenli çapraz nokta hakkında, çeşitli açılardan tarafından, açık iken onlar, nerede olduğunuz ekseni kalır . Dikey çizgiler, özellikle, olmak eğik ile çizgiler eğim 1/m . Bu nedenle makas faktörü m kotanjant açının \varphi dikey çizgiler eğim,makas açısı olarak adlandırılan hangi.

Bir noktanın koordinatları eğerbir sütun vektör olarak yazılırsa(bir 2×1 matris),bir 2×2 matrisile çarpımı olarak makas haritalama yazılabilir:


  \begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix}  =
  \begin{pmatrix}x + m y \\y \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix} 
    \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}.

A dikey makası (veya y-axis)ya benzer hattın paralel makası , x'ın ve y'ın rolu dışında yerlerini değiştirdiler.O transpoze matris ile koordinat vektörleri çarpmaya karşılık gelir:


  \begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix}  = 
  \begin{pmatrix}x \\ m x + y \end{pmatrix} = 
  \begin{pmatrix}1 & 0\\m & 1\end{pmatrix} 
    \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}.

Genel kesme haritalaması[değiştir | kaynağı değiştir]

vektor uzayı V ve altuzay W için, bir kesme sabiti Wdir.Wye çevrilen bütün paralel vektörlerin çevirisi.

Daha net olmak gerekirse, Eğer V Wdir ve W′nin doğrudan toplamı dır , ve

bizim vektörler

v = w + w′

buna uygun olarak, tipik sabitleme W Ldir burada

L(v) = (w + Mw′) + w ′

burada M bir doğrusal haritalamadır W′ den W içinedir. Therefore in blok matris terms L can be represented as

\begin{pmatrix} I & M \\ 0 & I \end{pmatrix}

Köşegen bloklarla I (birim matris), ile M köşegen üzerinde, ve 0 altında.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

makas haritalama aşağıdaki uygulamalar William Kingdon Clifford tarafından not edilmiştir
"Makaslar birbiri ardına bize eşit alan bir üçgen için düz çizgiler ile sınırlı herhangi bir şekle azaltmak için olanak sağlayacak"
"... bir dik açılı üçgen içine makas bir üçgen olabilir ve bu kendi alanında değiştirmez. Böylelikle, herhangi bir üçgenin alanı, aynı baz ve ters açıdan bazında dik eşit yükseklikte olan dikdörtgen yarısı alandır"[2]

Bir kesme haritalama alanı koruyucu özelliği alanı ile ilgili sonuçlar için kullanılabilir. Örneğin, Pisagor teoremi makas haritalama ile gösterilmiştir.[3] Bir keyfi bir açı ile dijital görüntü döndürmek için üç makas eşleştirmeleri (sonra tekrar yatay, dikey, yatay)nedeniyle bir algoritmik bir dizi kullanan Alan W. Paethtir.Her adımda piksel bir anda yalnızca bir sütun veya bir satır işler yana algoritması, uygulamak için çok basit ve çok verimli.[4]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Definition according to Weisstein, Eric W. Shear From MathWorld − A Wolfram Web Resource
  2. ^ William Kingdon Clifford (1885) Common Sense and the Exact Sciences, page 113
  3. ^ Mike May S.J. Pythagorean theorem by shear mapping, from Saint Louis University; requires Java and Geogebra. Click on the "Steps" slider and observe shears at steps 5 and 6.
  4. ^ Alan Paeth (1986), A Fast Algorithm for General Raster Rotation. Proceedings of Graphics Interface '86, pages 77–81.
  • Weisstein, Eric W. "Shear" from Mathworld, A Wolfram Web Resource.