Kelvin fonksiyonu

Uygulamalı matematik alanında, Kelvin fonksiyonları Ber ν (x) ve Bei ν (x), sırasıyla, gerçek ve sanal kısımları

$J_\nu(x e^{3 \pi i/4}),\,$

burada x gerçek alınıyor,J_ν(z), , birinci tür ν^inci için Bessel fonksiyonu'dur. Ayrıca,ikinci mertebeden Ker_ν(x) ve Kei_ν fonksiyonlarının ikinci türden modifiye Bessel fonksiyonu'na benzer sırasıyla gerçek ve sanal kısımları vardır. burada $K_\nu(x e^{\pi i/4})\,$ ve $K_\nu(z)\,$ ν^incidir Bu fonksiyonlar William Thomson, 1.Baron Kelvin anısına göre adlandırılmış. Kelvin fonksiyonları gerçek olması için alınan x ile Bessel fonksiyonlarının gerçek ve sanal parçaları olarak tanımlanan da, analitik fonksiyonlar) karmaşık argümanları x e^i φ, φ ∈ [0, 2π).için devam edilebilir. Ber_n(x) ve Bei_n(x) entegraln, Kelvin fonksiyonlarıx = 0 da bir dal noktası sahiptir.

Ber(x)

Ber(x) for x between 0 and 10.

$\mathrm{Ber}(x) / e^{x/\sqrt{2}}$ for $x$ between 0 and 100.

n tamsayıları için, Ber_n(x) seri açılımına sahiptir

$\mathrm{Ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

Burada $\Gamma(z)$ olan gama fonksiyonu'dur Özel bir durumBer₀(x),yaygın olarak gösterilen sadeceBer(x),seri açılımı var

$\mathrm{Ber}(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k}}{[(2k)!]^2}$

ve asimptotik seri

$\mathrm{Ber}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \cos \alpha + g_1(x) \sin \alpha] - \frac{\mathrm{Kei}(x)}{\pi}$,

burada $\alpha = x/\sqrt{2} - \pi/8$, ve

$f_1(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2$

$g_1(x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2$

Bei(x)

Bei(x) for $x$ between 0 and 10.

$\mathrm{Bei}(x) / e^{x/\sqrt{2}}$ for $x$ between 0 and 100.

n tamsayıları için,Bei_n(x) seri açılımı vardır

$\mathrm{Bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

burada $\Gamma(z)$ gama fonksiyonu'dur. özel bir durum Bei₀(x),gibi yaygın ifade Bei(x),seri açılımı vardır

$\mathrm{Bei}(x) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k (x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^2}$

ve asimtotik seri

$\mathrm{Bei}(x) \sim \frac{e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2 \pi x}} [f_1(x) \sin \alpha - g_1(x) \cos \alpha] - \frac{\mathrm{Ker}(x)}{\pi}$,

burada $\alpha$, $f_1(x)$, ve $g_1(x)$ Ber$(x)$ için tanımlanıyor .

Ker(x)

n tamsayıları için, Ker_n(x) (karmaşık) seri açılımına sahiptir

$\begin{align} \mathrm{Ker}_n(x) & = \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}_n(x) \\ & {} \quad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \end{align}$

Ker(x) for $x$ between 0 and 10.

$\mathrm{Ker}(x) e^{x/\sqrt{2}}$ for x between 0 and 100.

burada $\psi(z)$ digama fonksiyonu'dur. özel bir durum Ker$_0(x)$, yaygın ifade sadece Ker$(x)$, seri açılımıdır.

$\mathrm{Ker}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Ber}(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{Bei}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 1)}{[(2k)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k}$

ve asimptotik seri

$\mathrm{Ker}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \cos \beta + g_2(x) \sin \beta],$

burada $\beta = x/\sqrt{2} + \pi/8$, ve

$f_2(x) = 1 + \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\cos(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2$

$g_2(x) = \sum_{k \geq 1} (-1)^k \frac{\sin(k \pi / 4)}{k! (8x)^k} \prod_{l = 1}^k (2l - 1)^2.$

Kei(x)

n tamsayıları için,Kei_n (x) (karmaşık) seri açılımına sahiptir

$\mathrm{Kei}_n(x) = -\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}_n(x) + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k$

Kei(x) for $x$ between 0 and 10.

$\mathrm{Kei}(x) e^{x/\sqrt{2}}$ for $x$ between 0 and 100.

burada $\psi(z)$ digama fonksiyonu'dur. özel bir durum Kei$_0(x)$, yaygın ifade sadece Kei$(x)$, seri açılımıdır.

$\mathrm{Kei}(x) = -\ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{Bei}(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{Ber}(x) + \sum_{k \geq 0} (-1)^k \frac{\psi(2k + 2)}{[(2k+1)!]^2} \left(\frac{x^2}{4}\right)^{2k+1}$

ve asimptotik seri

$\mathrm{Kei}(x) \sim -\sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}} [f_2(x) \sin \beta + g_2(x) \cos \beta],$

burada $\beta$, $f_2(x)$, ve $g_2(x)$ ifadeleri Ker$(x)$'e yönelik olarak tanımlanır .

Ayrıca bakınız

• Bessel fonksiyonu

Kaynakça

• Şablon:Abramowitz Stegun ref
• Şablon:Dlmf

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
• GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2]