Karmaşık eşlenik vektör uzayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematikte, bir karmaşık vektör uzayı V\,'nın (resmi) karmaşık eşlenik karmaşık vektör uzayı \overline V V\,'nin ögelerinin tüm resmi karmaşık eşlenikleri oluşturur. Bu, \overline V bir vektör uzayı olan ögeleri V\,'nın bir-e-bir karşılık içinde ögeleri ile:

\overline V = \{\overline v \mid v \in V\},

toplam ve skaler çarpım için aşağıdaki kurallar ile:

\overline v + \overline w = \overline{\,v+w\,}\quad\text{and}\quad\alpha\,\overline v = \overline{\,\overline \alpha \,v\,}.

Burada v\, and w\, V\, içindeki vektörlerdir, \alpha\, bir karmaşık sayıdır, ve \overline\alpha , \alpha\,'nın karmaşık eşlenik ifadesidir.

Daha somut,karmaşık eşlenik vektör uzayı gerçek vektör uzayı altta yatan aynı(noktaların aynı kümesi, aynı vektör toplamı ve gerçek skaler çarpım) ile eşlenik doğrusal karmaşık yapı J (iile fark çarpımı)dir.

Antilineer haritalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer V\, ve W\, karmaşık vektör uzayı, bir fonksiyon f\colon V \to W\, antilineerdir eğer

f(v+v') = f(v) + f(v')\quad\text{and}\quad f(\alpha v) = \overline\alpha \, f(v)

tüm v,v'\in V\, için ve \alpha\in\mathbb{C}.

vektör uzayı \overline V oluşmasına tek neden bu doğrusal göndermeler içinde antilineer göndermeler yapılıyor. Özellikle, eğer f\colon V \to W\, bir antilineer gönderme, ise karşılık gelen gönderme \overline V \to W ile tanımlanıyor

\overline v \mapsto f(v)

doğrusaldır. Tersine, herhangi doğrusal gönderme \overline V üzerinde tanımlanıyor V\, üzerinde bir antilineer göndermeye yükseltme veriliyor.

Tek yol bu karşılık hakkında düşüncenin bu C\colon V \to \overline V gönderme tanımı ile

C(v) = \overline v

bir antilineer tanımlansın. Böylece eğer f\colon \overline V \to W doğrusal, ise bileşim f \circ C\colon V \to W\, antilineerdir, ve tersi.

Doğrusal gönderme eşleniği[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi doğrusalharita f \colon V \to W\, bir eşlenik doğrusal gönderme uyarıyor \overline f \colon \overline V \to \overline W,formülü ile tanımlanır

\overline f (\overline v) = \overline{\,f(v)\,}.

Eşlenik doğrusal gönderme \overline f doğrusaldır.Dahası, V\, üzerinde özdeş gönderme \overline V özdeş göndermesini uyarır, ve

\overline f \circ \overline g = \overline{\,f \circ g\,}

herhangi iki doğrusal haritalar f\, ve g\, için.Bunun için, V\mapsto \overline V kuralı ve f\mapsto\overline f kendisine karmaşık vektör uzayının kategoriden bir funktör tanımlanır.

Eğer V\, ve W\, sonlu-boyutlu ve f\, gönderme W\,'nin V\, ve \mathcal C sinin taban \mathcal B sinin sırasıyla karmaşık matris A\, sırasıyla tanımlanıyor,ise \overline f göndermesi A\,'nın karmaşık eşlenik taban sırasıyla \overline V'nın \overline{\mathcal B} ve \overline Wnın \overline{\mathcal C} tanımlanıyor.

Eşlenişiğin yapısı[değiştir | kaynağı değiştir]

vektör uzayı V\, ve \overline V var ve karmaşık sayılar ve bunun için karmaşık vektör uzayı üzerinde aynı boyut olarak izomorfiktir. Bununla birlikte,V\, dan \overline V ya burada doğal izomorfizm yoktur. (C\, göndermesi bir izomorfizm değildir, dolayısıyla antilineerdir.)

çift eşlenik \overline{\overline V} ,V\,ya doğal izomorfiktir, \overline{\overline V} \to V ile izomorfizm ile tanımlanır

\overline{\overline v} \mapsto v.

Genellikle V\,'nın çift eşlenik basit V\, özdeşi iledir.


Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (complex conjugate vector spaces are discussed in section 3.3, pag. 26).