Kısmi türev

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin, sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Tanım

$z:{{\mathbb{R}}^{n}}\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}$

$z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})$

biciminde tanimlanan n tane bagimsiz degsikene bagli surekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki $\Delta {{x}_{m}}$ degisimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

$\frac{\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}=\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}$

$\Delta {{x}_{m}}=h$

$\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}$

ifadesine $z$ fonksiyonunun ${{x}_{m}}$ değişkenine göre kısmi türevi denir.

$\frac{\partial f}{\partial {{x}_{m}}}={{f}_{{{x}_{m}}}}={{D}_{{{x}_{m}}}}f=\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}={{z}_{{{x}_{m}}}}$

şeklinde gösterilir.

$z=f\left( x,y \right)$ ise;

${{f}_{x}}\left( x,y \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h,y \right)-f\left( x,y \right)}{h}$

${{f}_{y}}\left( x,y \right)=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x,y+k \right)-f\left( x,y \right)}{h}$

Örnek:

$\begin{align} & f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{y}^{3}} \\ & {{f}_{x}}={{\left( {{x}^{3}} \right)}_{x}}+{{\left( {{x}^{2}}y \right)}_{x}}-{{\left( {{y}^{3}} \right)}_{x}} \\ & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0 \\ & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy \\ \end{align}$