Jirovektör uzay

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Bir jirovektör uzay, Öklid geometrisi kullanılan vektör uzayları'na benzer şekilde hiperbolik geometri eğitimi için Abraham A. Ungar'e tarafından önerilen matematiksel bir kavramdır.[1] Ungarın jirogruplar yerine jirovektörler kavramını tanıttığı grupların tabanına ek var. Ungar hızlarının bileşimlerini temsil etmek için Lorentz dönüşümleri kullanımına alternatif olarak özel görelilik formülasyonu için bir araç olarak kavramını geliştirdi boostlar denilen "boostlar"ın göreli hızlarının yönleri vardır, ve "öteleme" ile birleştirme olmamalıdır,ayrıca boostlar denir). Bu "jiro operatörlerin" tanıtılması ile elde edilir, iki 3d hız vektörleri 3d hızı üzerinde etkili bir operatör, oluşturmak için kullanılır.

Lorentz dönüşümleri (Lorentz grubu ve Poincaré grubu'na bakınız), matematiksel olarak daha basit olan ve dolayısıyla genel rölativistik fizik tercih edilen bir grubu oluşturmaktadır.

Giriş[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir 'jirovektör uzay hiperbolik geometri eğitim için Abraham A. Ungar'e tarafından önerilen Öklid geometri'de kullanan vektör uzayına benzer bir kavramdır.[1] Gruplarına taban eklenen vektörlerin yerine jirogrup tabanlı ek olan jirovektörler kavramını tanıttı.

İsim[değiştir | kaynağı değiştir]

Jirogrupların zayıf-ilişkisel-grupsu yapısı vardır.Ungarın önerdiği jirogrup terimi komutatif-grupları ile karşı gurupların benzerliği içinde jirokomutatif olmayan durum için jirogrup terimi ile ona bir jirokomutatif-jirogrup yeri ayrılmış olmasıdır.jirogruplar bir Bol döngü türüdür.jirokomutatif jirogruplar K-döngülere eşdeğerdir[2] farklı tanımlanmış olmasına rağmen.Bruck döngüsü terimi,[3] terimleri ve dyadic symset[4] ayrıca kullanılıyor.

Jirovektör uzayının matematiği[değiştir | kaynağı değiştir]

Jirogruplar[değiştir | kaynağı değiştir]

Aksiyomlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir grupoid (G, \oplus) bir jirogrup tur, Eğer ikili işlem aşağıdaki aksiyomlar uygunsa:

  1. G içinde burada en az bir öge 0 bir soldaki özdeşlik ile tüm a ∈ G için 0\oplusa = adır
  2. her a ∈ G için burada bir G içindeki \ominusa ögesi \ominusa\oplusa = 0 ın bir sol tersi denir .
  3. herhangi G içindeki a, b, c için burada bir tek öge gyr[ab]c var.G öyleki sol jiroilişkisel kurala uygun ikili işlemi : a\oplus(b\oplusc) = (a\oplusb)\oplusgyr[ab]c
  4. c → gyr[ab]c ile verilen gyr[ab]:GG haritası groupoid (G, \oplus)in bir otomorfizmasıdır.Bu gyr[ab] dir ve Aut(G, \oplus)nın bir üyesidir ve otomorfizma Gnin gyr[ab] G içinde ab tarafından üretilmiş G nin jirootomorfizması denir.Bu işleme gyr:G × G → Aut(G\oplus) Gnin jiratörü denir.
  5. jirotomorfizmada gyr[ab] sol döngü özellik var. gyr[ab] = gyr[a\oplusbb]

aksiyomların ilk çifti grup aksiyomları gibidir.Son iki mevcut jiratör aksiyomları ve orta aksiyom bağlantıları iki çifttir.

Böylece bir jirogrup tersi var ve bir özdeş onu niteleyen olarak bir yalancıgrup ve bir döngü.

jirogruplar grupların bir genellemesidir. Her grup bir jirogrupun bir örneğidir özdeş haritada gyr olarak tanımlanır .

jirogrupların bir örneği için not.[5]

Özdeşlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi jirogrup (G,\oplus) içinde tutulan Bazı özdeş:

  1. \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w})) (jirasyon)
  2. \mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w} (sol ilişkisellik)
  3. (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus \mathbf{w} = \mathbf{u} \oplus (\mathbf{v}\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{v},\mathbf{u}]\mathbf{w}) (sağ ilişkisellik).[6] kaynağın 50 sh bazı özellikler verilmiştir

Beltrami–Klein disk/top modeli ve Einstein toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

hiperbolik geometrinin ve hız artımı formülü ile verilebilen Beltrami–Klein modeli içinde bu gibi vektör toplamı göreli hızlar Beltrami–Klein modelnde noktalar olarak düşünülebilir.3'den büyük boyutun hiperbolik uzay içinde vektör artımına genelleştirmeye formül için sırayla,formül nokta çarpımın favorisi içinde çapraz çarpım ın kullanımını önleyen bir formu içinde yazılması gerekir .

Genel durum içinde, \mathbf{u} ve \mathbf{v}' iki hızlarının Einstein hız artımı bağımlı-koordinatlar içinde verilen formu :

\mathbf{u} \oplus_E \mathbf{v}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left\{\mathbf{u}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\mathbf{v}+\frac{1}

{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}\right\}

olarak veriliyor.

burada \gamma_\mathbf{u} gamma çarpanı \gamma_\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{u}|^2}{c^2}}} denklemi ile veriliyor.

bu alınan koordinatların kullanımı:

\begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{1+\frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{c^2}}\left\{\left[1+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)\right]\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\\ \end{pmatrix}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{pmatrix}\right\}

burada \gamma_\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u_1^2+u_2^2+u_3^2}{c^2}}}.

Einstein hız ekleme değişmeli ve birleşimli yalnızca \mathbf{u} ve \mathbf{v} ise paraleldir. Aslında

\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}=\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}](\mathbf{v} \oplus \mathbf{u})

ve

\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}

burada "gyr" Thomas presesyonun içine matematiksel soyutlama içinde adlandırılan bir işlemci Thomas jirasyon ve ile veriliyor.

\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}))

tüm w için. Thomas presesyondas negatif hiperbolik üçgen eksikliği olarak hiperbolik geometri içinde bir yorumlana var .

Lorentz dönüşüm düzenlemesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer 3-koordinatlara uygulanan dönmenin 3 × 3 matris formu gyr[u,v] ile veriliyor, ise applied to 4-koordinatlara 4 × 4 matrise uygulanan dönme aşağıdaki ile veriliyor:


\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]
\end{pmatrix}
.[7]

Düzenlenen hızlarının iki Lorentz boostları B(u) ve B(v) u ve v ile veriliyor:[7][8]

B(\mathbf{u})B(\mathbf{v})=B(\mathbf{u}\oplus\mathbf{v})\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]=\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]B(\mathbf{v}\oplus\mathbf{u})

Bu aslında ya B(u\oplusv) veya B(v\oplusu) ve siz dönme öncesi veya hız düzenleme paradoksu açılımı sonrası bağlı olup olmadığını yazarak kullanabilirsiniz .

iki Lorentz dönüşümünün düzenlemesi L(u,U) ve L(v,V)'nin bu U ve V içerik dönmeleri ile veriliyor:[9]

L(\mathbf{u},U)L(\mathbf{v},V)=L(\mathbf{u}\oplus U\mathbf{v}, \mathrm{gyr}[\mathbf{u},U\mathbf{v}]UV)

Yukarıdaki içinde, bir boost bir 4 × 4 matris olarak gösterilebilir.Boost matris B(v) boost B anlamında vnin bu bileşenleri kullanılıyor ,yani. matrisin girişi içinde v1, v2, v3, veya bu gösterimin bileşenleri yerine içinde v/c nin is Lorentz transformation#Matris formları bölümü içinde kullanılıyor.v 3-hızının bileşenleri üzerinde bağlı giriş matrisleri , ve bunlar bu B(v) gösteriminin anlamıdır.4-hızın girişinin 3'ü 4 hızın bileşenleri üzerinde bağlı bu girişler savunulabilir olarak 3-hızın girişleri olarak aynıdır, ama 3-hızın yardımıyla boost ölçeklemesinin kullanılabilirliği ile bu sonuç boostu siz 3-hızın kullanılan bileşenlerinin iki boost'unun düzenlenmesinden 4 × 4 matrix B(u\oplusv) içinde u\oplusvdüzenlenmesinden alıyor . Ama sonuç boost ayrıca bir dönme matrisi ile çarpmaya gerek olur çünkü boost düzeni(yani iki 4 × 4 matrislerinin çarpımı) bir saf boost içinde sonuçlar değil ama bir boost ve bir dönme,yani alınan B(u)B(v)'ye Gyr[u,v] dönmeye karşılık bir 4 × 4 matristir. B(u)B(v) = B(u\oplusv)Gyr[u,v] = Gyr[u,v]B(v\oplusu).

Einstein jirovektör uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki s herhangi pozitif sabit olsun, diyelimki (V,+,.) be herhangi gerçek iç çarpım uzayı ve diyelimki Vs={v  ∈  V :|v|<s} olsun.Bir Einstein jirovektör uzayı (Vs\oplus\otimes) bir Einstein jirogruptur (Vs\oplus) ile skaler çarpım ile veriliyor r\otimesv = s tanh(r tanh−1(|v|/s))v/|v| where r is herhandi gerçek sayı, v  ∈ Vs, v ≠ 0 ve r \otimes 0 = 0 ile gösteriliyor v \otimes r = r \otimes v.

Einstein skaler çarpımı Einstein artımı üzerinde dağılımı olmayan jirovektorler hariç eşdoğrusaldır (tekdağılımlı), ama bunda diğer vektör uzayının özellikleri vardı:Herhangi pozitif tamsayı n ve tüm gerçek sayılar için r,r1,r2 ve v  ∈ Vs':

n \otimes v = v \oplus ... \oplus v n terimler
(r1 + r2\otimes v = r1 \otimes v \oplus r2 \otimes v Skaler dağılım kanunu
(r1r2\otimes v = r1 \otimes (r2 \otimes v) Skaler birleşim kanunu
r \otimes(r1 \otimes a \oplus r2 \otimes a) = r \otimes(r1 \otimes a\oplus r \otimes(r2 \otimes a) Tekli dağılmalı kanun

Poincaré disk/top modeli ve Möbius artımı[değiştir | kaynağı değiştir]

karmaşık düzlem içinde açık birim diskin Möbius dönüşümü kutupsal bozunma ile veriliyor

z\to {e^{i\theta}}{\frac{a+z}{1+a\bar{z}}} bunun e^{i\theta} {(a\oplus_M {z})} olarak yazılabilen bu tanımı Möbius artımı {a\oplus_M {z}}= \frac{a+z}{1+a\bar{z}} olur.

Karmaşık sayılar düzlemi R^2 vektörler olarak kabul edilir, ve Möbius ilave olarak vektör formunda yeniden yazılarak daha yüksek boyutlara bu genelleştirilerek:

\mathbf{u} \oplus_M \mathbf{v}=\frac{(1+\frac{2}{s^2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\frac{1}{s^4}|\mathbf{v}|^2)\mathbf{u}+(1-\frac{1}{s^2}|\mathbf{u}|^2)\mathbf{v}}{1+\frac{2}{s^2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\frac{1}{s^4}|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2}

Bu karmaşık birim disk için s=1 şimdi herhangi bir s>0 olur hiperbolik geometrinin Poincaré topu modelinde noktaların vektör artımını verir.

Izomorfizmler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir jirovektör uzay izomorfizmi jirogrup toplama ve skaler çarpma ve iç çarpımı korur.

Üç jirovektör alanlarda Möbius, Einstein ve uygun hız izomorfiktir.

M, E and U sırasıyla Mobius, Einstein ve Uygun Hız jirovektör uzayları ile vm, ve vevu ögeleri ise verilen izomorfizmler ile:

E\rightarrowU by \gamma_{\mathbf{v}_e} \mathbf{v}_e
U\rightarrowE by \beta_{\mathbf{v}_u} \mathbf{v}_u
E\rightarrowM by \frac{1}{2} \otimes_E \mathbf{v}_e
M\rightarrowE by 2 \otimes_M \mathbf{v}_m
M\rightarrowU by 2 {{{\gamma}^{2}}_{\mathbf{v}_m}} \mathbf{v}_m
U\rightarrowM by \frac{\beta_{\mathbf{v}_u}}{1+\beta_{\mathbf{v}_u}}\mathbf{v}_u

\oplus_E ve \oplus_M arasındaki ilişki bu tablodan denklemleri ile veriliyor:

\mathbf{u}\oplus_E\mathbf{v}=2\otimes\left({\frac{1}{2}\otimes\mathbf{u}\oplus_M\frac{1}{2}\otimes\mathbf{v}}\right)

\mathbf{u}\oplus_M\mathbf{v}=\frac{1}{2}\otimes\left({2\otimes\mathbf{u}\oplus_E 2\otimes\mathbf{v}}\right)

Bu Möbius dönüşümleri ve Lorentz dönüşümleri arasında bağlantıyla ilişkilidir.

Notlar ve kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Abraham A. Ungar (2005), "Analytic Hyperbolic Geometry: Mathematical Foundations and Applications", Published by World Scientific, ISBN 981-256-457-8, ISBN 978-981-256-457-3
  2. ^ Hubert Kiechle (2002), "Theory of K-loops",Published by Springer,ISBN 3-540-43262-0, ISBN 978-3-540-43262-3
  3. ^ Larissa Sbitneva (2001), Nonassociative Geometry of Special Relativity, International Journal of Theoretical Physics, Springer, Vol.40, No.1 / Jan 2001
  4. ^ J lawson Y Lim (2004), Means on dyadic symmetrie sets and polar decompositions, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No.1 / Dec 2004
  5. ^ Hyperbolic trigonometry in the Einstein relativistic velocity model of hyperbolic geometry, AA Ungar – Computers & Mathematics with Applications, 2000 – Elsevier, Page 5, Postscript version
  6. ^ Analytic hyperbolic geometry and Albert Einstein's special theory of relativity, Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9
  7. ^ a b Ungar, A. A: The relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation. Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989)
  8. ^ Ungar, A. A. (2000). "The relativistic composite-velocity reciprocity principle". Foundations of Physics (Springer). Şablon:Citeseerx. 
  9. ^ eq. (55),Lorentz dönüşüm grupunun Thomas dönmesi ve ölçeklemesi, AA Ungar – Foundations of Physics Letters, 1988

İleri okuma[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]