Hermit polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik'te,Hermite polinomları olasılık içinde Edgeworth serisi olarak ortaya çıkan bir klasik ortogonal dizi'dir; kombinatorik içinde, bir örneği umbral hesap'a uygun bir Appell dizisi'dir.Gaussian dördün sayısal analizinde; ve Fizik'te kuantum harmonik osilatör'ün özdurum'larını verir . Ayrıca Gaussian gürültü'nün nonlineer işlemleri ile bağlantılı olarak sistem teorisinde kullanılmaktadır.[1] Laplace (1810) [2] tarafından daha önce incelenmiş olmasına rağmen adını veren Charles Hermite (1864)'tir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Hermite polinomlarının normalleştirilmesinin iki farklı standart yolu vardır:

(1)\ \ {\mathit{He}}_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!

("olasılıkçıların' Hermite polinomları")dır., ve

(2)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=e^{x^2/2}\bigg (x-\frac{d}{dx} \bigg )^n e^{-x^2/2}\,\!

("fizikçilerin' Hermit polinomları")dır. Bu iki tanım tam olarak eşdeğer değildir; ya da diğer bir yeniden ölçeklendirme

H_n(x)=2^{n/2}{\mathit{He}}_n(\sqrt{2}\,x), \qquad {\mathit{He}}_n(x)=2^{-\frac n 2}H_n\left(\frac x\sqrt{2}\right).

Burada Hermit polinomal dizisinin farklı bir varyansı vardır,varyansın ürünleri aşağıdadır. standart kaynaklarda gösterim olarak He ve H Şablon:Harvs ve Abramowitz & Stegun. Bu Hen polinomlar bazen Hn ile ifade edilir, özelliklerde olasılık teorisinde,çünkü

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

olasılık yoğunluk fonksiyonu için normal dağılım ile beklenen değer 0 ve standart sapma 1'dir.

ilk altı(olasılıkçı') Hermit polinomu Hen(x).

Ilk onbir olasılıkçı 'Hermit polinomları:

{\mathit{He}}_0(x)=1\,
{\mathit{He}}_1(x)=x\,
{\mathit{He}}_2(x)=x^2-1\,
{\mathit{He}}_3(x)=x^3-3x\,
{\mathit{He}}_4(x)=x^4-6x^2+3\,
{\mathit{He}}_5(x)=x^5-10x^3+15x\,
{\mathit{He}}_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,
{\mathit{He}}_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,
{\mathit{He}}_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,
{\mathit{He}}_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,
{\mathit{He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,
ilk altı (fizikçi') Hermit polinomu Hn(x).

ve ilk onbir fizikçi 'Hermit polinomları:

H_0(x)=1\,
H_1(x)=2x\,
H_2(x)=4x^2-2\,
H_3(x)=8x^3-12x\,
H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,
H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,
H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,
H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,
H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Hn polinomunun derecesi n dir. olasılıkçı' versiyon He nin başkatsıyısı 1, fizikçi' versiyon H nin başkatsayısı 2ndir.

Ortogonalite[değiştir | kaynağı değiştir]

Hn(x) ve Hen(x) n = 0, 1, 2, 3, .... için ninci-derece polinomlardır. Burada ağırlık fonksiyonu nun ortogonal polinom'ları sırasıyla (ölçüm)

w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!   (He)

veya

w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!   (H)

dır.,

\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0

eğer m ≠ n.ayrıca,

\int_{-\infty}^\infty {\mathit{He}}_m(x) {\mathit{He}}_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi} n! \delta_{nm}   (olasılıkçı)

veya

\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \sqrt{ \pi} 2^n n! \delta_{nm}   (fizikçi).

olasılıkçı polinomları standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonu açısından böylece ortogonaldir.

Tamlık[değiştir | kaynağı değiştir]

(olasılıkçı veya fizikçi)Hilbert uzayı'nda ortogonal bazdaki bir formu karşılayan fonksiyonun Hermit polinomları

\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x <\infty,

önceki bölümde tanımlandığı gibi Gauss ağırlık fonksiyonu w (x) de dahil olduğu İntegral tarafından verilen iç çarpım

\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x.

L2(Rw(x) dx) için ortogonal temelde bir tam ortogonal sistem'dir.Bir ortogonal sistemi için tamlık, sistemdeki tüm ƒ ∈ L2(Rw(x) dx) fonksiyonlarının sadece 0 fonksiyonuna ortogonal olmasıdır..Hermite polinomların lineer açıklıklı tüm polinomların alanı olduğundan,(fizikçi durumu için) ƒ den elde edildiğini gösterilmesi gerekir.

\int_{-\infty}^\infty f(x) x^n \mathrm{e}^{- x^2} \, \mathrm{d}x = 0

her n ≥ 0 için,o zaman ƒ = 0. tam fonksiyon'u görebilmenin tek olası yolu

F(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \mathrm{e}^{z x - x^2} \, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\int f(x) x^n \mathrm{e}^{- x^2} \, \mathrm{d}x = 0

her t için gerçek anlamda aynı şekilde ortadan kaybolur.Aslında F(it) = 0 ƒ(x) exp(−x2)'ın Fourier dönüşümü 0'dır,bu nedenle hemen hemen heryerdeƒ 0 'dır. yukarıdaki eksponansiyel bir azalma ile diğer ağırlıkların tamlık kanıtı geçerli varyantıdır.Hermit durumu içinde,tamlık anlamına geldiği kanıtlanmasıda ayrıca mümkündür (bakınız "tamlık ilişkisi" aşağıda).

Aslında Hermit polinomlarının bir eşdeğer formülasyonu L2(Rw(x) dx) için ortogonal bazdır Hermit fonksiyonlarının (aşağıya bakınız) tanıtımı, ve Bu Hermite fonksiyonları söyleyerek bir L2(R) için ortonormal bazdır.

Hermit diferansiyel denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Olasılıkçı' Hermit polinomlarının çözümü olan diferansiyel denklem

(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0

burada λ bir sabittir.,sınır koşullarına sahip olan u polinomları sonsuzda sınırlı olmalıdır. Bu sınır koşulları ile,λ yalnızca bir non-negatif tamsayı olduğunda denklemin çözümü vardır, ve yukarda genel bir ölçekleme, u(x) = Hλ(x) tarafından verilen benzersiz bir çözümdür.Bir özdeğer problemi'nin yeniden yazılan diferansiyel denklemi

L[u] = u'' - x u' = -\lambda u

Diferansiyel operatör Lnin özfonksiyonu'nun çözümüdür . Bu özdeğer problemi Hermite denklemi olarak adlandırılır, aynı zamanda denklemle yakından ilişkili ayrıca kullanılan terim bu denklem için kullanılmasına rağmen

u'' - 2xu'=-2\lambda u

'Hermite polinomlarının fizikçi çözümleridir. Daha genel sınır koşulları ile, Hermite polinomları daha genel analitik fonksiyon kullanılarak elde edilip genelleştirilebilir λ için Hλ(z) bir karmaşık indekstir bir kontur integral Courant & Hilbert 1953 terimleri içinde açık formül verilebilir.

Özyineleme ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Hermite polinomları dizisi ayrıca özyineleme'den elde edilir

{\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-{\mathit{He}}_n'(x).\,\! (olasılıkçı)
H_{n+1}(x)=2 xH_n(x)-H_n'(x).\,\! (fizikçi )

Hermite polinomları bir teşkil Appell dizisi teşkil eder,diğer bir değişle Bu eşitliği içeren bir polinom dizisi vardır

{\mathit{He}}_n'(x)=n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\! (olasılıkçı)
H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\! (fizikçi)

veya özdeşlik,

{\mathit{He}}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k} {\mathit{He}}_{k}(y) (olasılıkçı)
H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}H_{k}(x) (2y)^{(n-k)}= 2^{-\frac n 2}\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} H_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) H_k\left(y\sqrt 2\right). (fizikçi)

(Bu son iki eşitliğin denkliği açık olmayabilir, ama rutin bir deneme ile eşitlik kanıtlanabilir). Bu Hermite polinomları da karşılayacak olan şu yineleme ilişkisi

{\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\! (olasılıkçı)
H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).\,\! (fizikçi)

H0(x) ve H1(x) ön polinomları ile birlikte bu son ilişki ile, uygulamada polinomlar hızlı bir şekilde hesaplanabilir.

Aşağıdaki Turan eşitsizliği'dir:

{\mathit{He}}_n(x)^2 - {\mathit{He}}_{n-1}(x){\mathit{He}}_{n+1}(x)= (n-1)!\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\frac{2^{n-i}}{i!}{\mathit{He}}_i(x)^2>0.

Daha ötesi,aşağıdakiçarpma teoremi dahilinde:

{\mathit{H}}_n(\gamma x)=\sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \gamma^{n-2i}(\gamma^2-1)^i {n \choose 2i} \frac{(2i)!}{i!}{\mathit{H}}_{n-2i}(x).

Açık ifadesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Fizikçi' Hermit polinomlarının açık ifadesi yazılabilir

 H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell}

n çift fonksiyon değerleri için

 H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1}

n. tek değerleri içindir.Burada iki denklem birleştirilerek belki bir zemin fonksiyonu elde edilebilir:

 H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}.

olasılıkçı' Hermite polinomları He benzer formülü var,2x 'ın kuveti (√2)x ile ilgili kuvvet ile değiştirilerek belki bundan elde edilebilir, ve 2-n/2 taplamı tarafından tam çarpım toplamı benzer bir formül olasılıkçı 'Hermite polinomları He ile ilgili, (√2)x kuvveti ile 2x kuvveti değiştirilmesi, ve 2-n / 2 ile çarpılması suretiyle elde edilen 2-n/2 toplamı tarafından tam çarpımı ile temin edilebilir. üstel üreteç fonksiyonu tarafından verilen Hermit polinomları

\exp (xt-t^2/2) = \sum_{n=0}^\infty {\mathit{He}}_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\! (olasılıkçı)


\exp (2xt-t^2) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\! (fizikçi).

Bu eşitlik bütün x, t karmaşık değerleri içindir , ve x 'ın Tam fonksiyon z → exp(−z2) (fizikçiler durumu) Taylor açılımı yazılarak ile elde edilebilir. (fizikçi) Cauchy's Integral Formülü tarafından kullanılan üreteç fonksiyonu Hermite polinomlarından türetilerek yazılabilir

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}= (-1)^n e^{x^2}{n! \over 2\pi i} \oint_\gamma {e^{-z^2} \over (z-x)^{n+1}}\, dz.\,\!

Bu sum \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\! içinde kullanılıyor,bir rezidü hesabı kullanılarak geri kalan entegral değerlendirilir ve istenilen üreteç fonksiyonuna ulaşılır.

Beklenen değer[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer X bir normal dağılım'la bir rastgele değişken birlikte standard sapma 1 ve beklenen değer μ ise

E({\mathit{He}}_n(X))=\mu^n.\,\! (olasılıkçı)

Asimptotik açılım[değiştir | kaynağı değiştir]

Asimtotiklik,n ile sonsuza gitme eğilimindedir, açılımı

e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \frac{2^n}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right) \cos \left(x \sqrt{2 n}- n\frac \pi 2 \right) (physicist[3])

geçerlidir. Değerlendirilmesi daha geniş bir yelpaze ile ilgili bazı durumlarda,için bir faktör dahil edilmesi gereklidir

e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \frac{2^n}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right) \cos \left(x \sqrt{2 n}- n\frac \pi 2 \right)\left(1-\frac{x^2}{2n}\right)^{-\frac{1}{4}}=\frac{2 \Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(\frac{n}2\right)} \cos \left(x \sqrt{2 n}- n\frac \pi 2 \right)\left(1-\frac{x^2}{2n}\right)^{-\frac{1}{4}}

Bunu daha basitleştirilmiş için,limit içinde Stirling' yaklaşımı kullanılabilir

e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \left(\frac{2 n}{e}\right)^{\frac{n}{2}} {\sqrt 2} \cos \left(x \sqrt{2 n}- n\frac \pi 2 \right)\left(1-\frac{x^2}{2n}\right)^{-\frac{1}{4}}

Bu açılım yazışma ilkesinin limit klasik yaklaşımı ile uyumlu olan kuantum harmonik osilatör dalgası fonksiyonunun çözümü için gerekir. Hassas bir yaklaşım[4],sıfıra yakın köşesi bu düzensiz aralıklar göz önüne alınmalıdır , 0<\epsilon\leq\phi\leq\pi-\epsilon için yerine koymada x=\sqrt{ 2n+1}\cos(\phi)dan yararlanılır, birlikte bunun için tektip yaklaşım

e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) = 2^{n/2+\frac{1}{4}}\sqrt{n!}(\pi n)^{-1/4}(\sin \phi)^{-1/2} \cdot \left[\sin\left(\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(\sin(2\phi)-2\phi\right) +\frac{3\pi}{4}\right)+O(n^{-1}) \right].

tekdüze ve geçiş bölgesi için benzer yaklaşımlara sahiptir.özellikle, eğer 0<\epsilon\leq\phi\leq\omega<\infty için x=\sqrt{2n+1} \cosh(\phi) ise

e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) = 2^{n/2-\frac{3}{4}}\sqrt{n!}(\pi n)^{-1/4}(\sinh \phi)^{-1/2} \cdot \exp\left(\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(2\phi-\sinh(2\phi)\right)\right)\left[1+O(n^{-1}) \right],

eğer x=\sqrt{2n+1}-2^{-1/2}3^{-1/3}n^{-1/6}t ile t için karmaşık ve sınırlı ise

e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) =\pi^{1/4}2^{n/2+\frac{1}{4}}\sqrt{n!} n^{-1/12}\left[ \mathrm{Ai}(-3^{-1/3}t)+ O(n^{-2/3}) \right]

burada \mathrm{Ai}(t) ilk tür Airy fonksiyonu'dur.

Diğer fonksiyonlara İlişkileri[değiştir | kaynağı değiştir]

Laguerre polinomları[değiştir | kaynağı değiştir]

Laguerre polinomları Hermite polinomlarının özel bir durumu olarak ifade edilebilir.

H_{2n}(x) = (-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2)=4^n\, n! \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n-\frac{1}{2} \choose n-i} \frac{x^{2i}}{i!}\,\! (fizikçi)
H_{2n+1}(x) = 2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2)=2\cdot 4^n\, n! \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n+\frac{1}{2} \choose n-i} \frac{x^{2i+1}}{i!}\,\! (fizikçi)

Konfluent hipergeometrik fonksiyonlar ile İlişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Hermite polinomları parabolik silindir fonksiyon'ları ile ifade edilebilir.

H_{n}(x) = 
2^n\,U\left(-\frac{n}{2},\frac{1}{2},x^2\right) (fizikçi)

burada U(a,b,z) Whittaker konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur. Aynı şekilde,

H_{2n}(x) = (-1)^{n}\,\frac{(2n)!}{n!}
\,_1F_1\left(-n,\frac{1}{2};x^2\right) (fizikçi)
H_{2n+1}(x) = (-1)^{n}\,\frac{(2n+1)!}{n!}\,2x
\,_1F_1\left(-n,\frac{3}{2};x^2\right) (fizikçi)

burada \,_1F_1(a,b;z)=M(a,b;z) Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Hermit fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir fizikçilerin 'polinomları Hermite fonksiyonları olarak tanımlanabilir.

\psi_n(x) = (2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2} \mathrm{e}^{-x^2/2} H_n(x) = (-1)^n(2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2} \mathrm{e}^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} \mathrm{e}^{-x^2}

Bu fonksiyonları ağırlığı fonksiyonunun kare köküdür ve uygun biçimde ölçeklenerek , elde edilen birbirine dik fonksiyonları:

\int_{-\infty}^\infty \psi_n(x)\psi_m(x)\, \mathrm{d}x = \delta_{n\,m}\,

ve bu L2(R) formu ortonormaldir. Bu gerçek Hermite polinomları için karşılık gelen ifadeye (yukarıya bakınız) eşdeğerdir. Hermite fonksiyonları Whittaker fonksiyonu ile yakından ilişkilidir (Whittaker and Watson, 1962) D_n(z)\,:

D_n(z) = (n! \sqrt{\pi})^{1/2} \psi_n(z/\sqrt{2}) = \pi^{-1/4} \sqrt{2} \mathrm{e}^{z^2/4} \frac{d^n}{dz^n} \mathrm{e}^{-z^2}

ve böylece parabolik silindir fonksiyonu ilede ilişkilidir.Hermite fonksiyonlarına karşı gelen diferansiyel denklem:

\psi_n''(x) + (2n + 1 - x^2) \psi_n(x) = 0\,.

Bu denklem bir kuantum mekaniği harmonik osilatörü için Schrödinger denklemi'ne eşit bir denklemdir,böylece bu fonksiyonların özfonksiyonları vardır.

Hermite functions 0 (black), 1 (red), 2 (blue), 3 (yellow), 4 (green), and 5 (magenta).
Hermite functions 0 (black), 2 (blue), 4 (green), and 50 (magenta).

Özyineleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıda Hermit polinomlarının özyineleme ilişkisi,Hermite fonksiyonlarına uyar

\psi_n'(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) - \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)

yanısıra

x\;\psi_n(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) + \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)

Cramér eşitsizliği[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıda Hermite fonksiyonlarını karşılayan ilişkisi Harald Cramér[5][6]

 |\psi_n(x)| \le K \pi^{-1/4}

gerçek x için,burada K sabit ve 1.086435'dan küçüktür.

Fourier dönüşümünün Hermit fonksiyonu özdeğerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

sürekli Fourier dönüşümü'nün özdeğerler kümesi Hermit fonksiyonu {\psi}_n(x)dur.Burada,üreteç fonksiyonunun fizikçi versiyonu alınır ve exp(−x 2/2) ile çarpılır. şunu verir

\exp (-x^2/2 + 2xt-t^2) = \sum_{n=0}^\infty \exp (-x^2/2) H_n(x) \frac {t^n}{n!}.\,\!

Fourier dönüşümünün birimsel gösterimi seçimi, sol tarafının Fourier dönüşümü tarafından verilen


\begin{align}
\mathcal{F} \{ \exp (-x^2/2 + 2xt-t^2)\}(k) & {} =
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \exp (-ixk)\exp (-x^2/2 + 2xt-t^2)\, \mathrm{d}x \\
 & {} = \exp (-k^2/2 - 2kit+t^2) \\
 & {} = \sum_{n=0}^\infty \exp (-k^2/2) H_n(k) \frac {(-it)^n}{n!}.
\end{align}

Sağ tarafında Fourier dönüşümü tarafından verilen

\mathcal{F} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \exp (-x^2/2) H_n(x) \frac {t^n}{n!} \right\} = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{F} \left \{ \exp(-x^2/2) H_n(x) \right\} \frac{t^n}{n!}. \,

sol- ve sağ-tarafta verilen dönüşüm versiyonunun t katına eşit

 \mathcal{F} \left\{ \exp (-x^2/2) H_n(x) \right\} = (-i)^n \exp (-k^2/2) H_n(k). \,\!

Hermit fonksiyonu  \psi_n(x) burada L2(R)'nin ortonormal bazında diyagonalleştirilmiş Fourier dönüşüm operatörüdür.Fourier dönüşümünün birim versiyonu seçimi durumunda özdeğer'ler  (−i) n dir.

Katsayıların Kombinatoryal yorumlanması[değiştir | kaynağı değiştir]

Hermite polinomları içinde Hen(x) varyansı 1 için,xk katsayısının mutlak değeri(sırasız) k tekil ve (nk)/2 (sırasız) çiftlerinin içinde n-üyeli küme bölümlerinin sayısıdır. Katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı tekil ve çift bölümlerin toplam sayısını verir,ve sözde telefon numarası olarak adlandırılır

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... Şablon:OEIS.

Bu rakamlar,aynı zamanda Hermite polinomların özel bir değer olarak ifade edilebilir

T(n)=\frac{\mathop{He}_n(i)}{i^n}.[7]

Tamlık ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Hermite polinomlarının okunması için Christoffel–Darboux formulü

\sum_{i=0}^n \frac{H_i(x) H_i(y)}{i!2^i}= \frac{1}{n!2^{n+1}}\frac{H_n(y)H_{n+1}(x)- H_n(x)H_{n+1}(y)}{x-y}.

Ayrıca, aşağıdaki özdeşlik dağılım duyarlılığıdır.

\sum_{n=0}^\infty \psi_n (x) \psi_n (y)= \delta(x-y),

burada δ Dirac delta fonksiyonu'dur, (ψn) the Hermite fonksiyonudur, ve R2'de y = x doğrusu için Lebesgue ölçümü'nün gösterimi δ(x − y)'dir ,böylece yatay eksen izdüşümünün normalizasyonu olağan Lebesgue ölçümüdür.Mehler's formülü içindeu → 1 için bu özdeşliğin dağılımsal özelliği aşağıda ,−1 < u < 1 olduğunda geçerli:

E(x, y; u) := \sum_{n=0}^\infty u^n \, \psi_n (x) \, \psi_n (y) = \frac 1 {\sqrt{\pi (1 - u^2)}} \, \mathrm{exp} \left( - \frac{1 - u}{1 + u} \, \frac{(x + y)^2}{4} \,-\, \frac{1 + u}{1 - u} \, \frac{(x - y)^2}{4}\right),

aşağıdaki sıklıkta eşdeğerlik belirtilmektedir

\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)H_n(y)}{n!}\left(\frac u 2\right)^n= \frac 1 {\sqrt{1-u^2}} \mathrm{e}^{\frac{2u}{1+u}x y-\frac{u^2}{1-u^2}(x-y)^2}.

Gaussian ölçümü için yoğunluk R2 de (xy → E(xyu) dir., eğer u 1 yakınlığındaysa, y = x doğrusu çevresinde çok yoğun,ve sıklıkla bu hat üzerinde serpilmiştir.. Aşağıda

 \left\langle \left( \sum_{n=0}^\infty u^n \langle f, \psi_n \rangle \psi_n\right), g \right\rangle = \int \int E(x, y; u) f(x) \overline{g(y)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \rightarrow \int f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d} x = \langle f, g \rangle,

ƒ, g sürekli ve sıkışık destekliyse,Hermit fonksiyonundan ƒgösterimi ile yararlanılabilir, L2(R) içinde vektörler serisinin toplamı, yani

 f = \sum_{n=0}^\infty \langle f, \psi_n \rangle \psi_n.

E(xyu) için yukarıdaki eşitlik kanıtlamak için,Gaussian fonksiyon'un Fourier dönüşümü'dür. birkaç sıra sonra,

 \rho \sqrt{\pi} \, \mathrm{e}^{-\rho^2 x^2 / 4} = \int \mathrm{e}^{isx- s^2/\rho^2}\, \mathrm{d}s, \quad \rho > 0.

sonra Hermite polinomu olarak ifade edilir

 H_n(x) = (-1)^{n} \mathrm{e}^{x^2} \frac {\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \Bigl( \frac {1}{2\sqrt{\pi}} \int \mathrm{e}^{isx - s^2/4}\, \mathrm{d}s \Bigr) = (-1)^n \mathrm{e}^{x^2}\frac {1}{2\sqrt{\pi}}\int (is)^n \, \mathrm{e}^{isx-  s^2/4}\, \mathrm{d}s.

Hn(x) ve Hn(y)'in gösterimi ile ve tek bir ifade olduğu görülür.


\begin{align}E(x, y; u) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{2^n n! \sqrt{\pi}} \, H_n(x) H_n(y) \, \mathrm{e}^{ - (x^2+y^2)/2} \\
& =\frac{\mathrm{e}^{(x^2+y^2)/2}}{4\pi\sqrt{\pi}}\int \!\! \int \Bigl( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n! } (-ust)^n \Bigr) \,  \mathrm{e}^{isx+ity - s^2/4 - t^2/4}\, \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t \\
& =\frac{\mathrm{e}^{(x^2+y^2)/2} }{4\pi\sqrt{\pi}}\int \!\! \int \mathrm{e}^{-ust/2} \, \mathrm{e}^{isx+ity - s^2/4 - t^2/4}\, \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t,\end{align}

ve bu yerine koyma gerçekleştirildikten sonra tekrar Gauss çekirdeğinin Fourier dönüşümü kullanılarak, istenilen sonucu gösterilebilir.

s = \frac{\sigma + \tau}{\sqrt 2},\qquad\qquad t = \frac{\sigma - \tau}{\sqrt 2}.

Mehler formulünün tamlık kanıtı N.Wiener çifti ileThe Fourier integral and certain of its applications içindedir. Cambridge Univ. Press 1933 reprinted Dover 1958

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ C. Hermite: Sur un nouveau développment en série de fonctions C. R Acad. Sci. Paris 58 1864 93-100; Oeuvres II 293-303
  2. ^ P.L.Chebyshev: Sur le développment des fonctions a une seule variable Bull. Acad. Sci. St. Petersb. I 1859 193-200;Oeuvres I 501-508
  3. ^ Abramowitz, p. 508-510, 13.6.38 and 13.5.16
  4. ^ Szegő 1939, 1955, sayfa 201
  5. ^ Erdélyi et al. 1955, sayfa 207
  6. ^ Szegő 1939, 1955
  7. ^ Banderier, Cyril; Bousquet-Mélou, Mireille; Denise, Alain; Flajolet, Philippe; Gardy, Danièle; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "Generating functions for generating trees", Discrete Mathematics 246 (1-3): 29–55, arXiv:math/0411250, doi:10.1016/S0012-365X(01)00250-3, MR =1884885 1884885 .

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]