Heisenberg cebiri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik'te, Heisenberg grubu,Werner Heisenberg adına ithaf edilmiştir,3×3 formun üst üçgen matrisler'inin grubu'dur

\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

veya matris çarpımının operasyonu altında bir genelleştirmedir. Ögelerden a, b ve c, bazıları (keyfi) değişmeli halka ile özdeş alınmaktadır, sıklıkla gerçel sayılar halkası veya tamsayı'lar halkası alınmaktadır. Gerçek Heisenberg grubu tek-boyutlu kuantum mekanik sistemlerin tanımı içinde ortaya çıkar. daha genel olarak, bir n-boyutlu sistemlerle ilişkili gruplar olarak dikkate alınabilir, ve yine daha genel olarak,herhangi simplektik vektör uzayı'nda.

Üç boyutlu durum[değiştir | kaynağı değiştir]

üç boyutlu durum içinde,iki Heisenberg matrisin çarpımı ile:

\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & a' & c'\\
 0 & 1 & b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1 & a+a' & c+c'+ab'\\
 0 & 1 & b+b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\, .

Buradakiler üç boyutlu durumun birkaç sayıda önde gelen örnekleridir.

Sürekli Heisenberg grubu[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer a, b, c, gerçel sayılar (R halkası içinde) idiyse bir sürekli Heisenberg grubu H3(R) dir.

Bu bir nilpotent Lie grubudur.

Buna ek olarak gerçek 3x3 matrislerin gösterimi,sürekli Heisenberg grubu gibi birçok farklı gösterimler fonksiyon uzay'larınin terimleri içinde idi.Stone–von Neumann teoremi tarafından,belirli bir sıradan olmayan karakter tarafındanmerkez hareketi içinde H'in bir bütün olarak indirgenemeyen bölünmez gösterimidir.Bu gösterim birkaç önemli gerçekleştirme veya modelleri Schrödinger model i içinde,Heisenberg grup hareketi İntegrallenebilir kare fonksiyon'larının uzayı olarak teta gösterim içinde idi bu üstyarı-düzlemde holomorfik fonksiyonların uzayın hareketidir ; Bu nedenle adı teta fonksiyon'ları ile bağlantıdır.

Ayrık Heisenberg grubu[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrık Heisenberg grubunun Cayley grafı'nın bir parçası , konu içinde x,y,z üreteçleri olarak. (renklendirme sadece görsellik içindir)

Eğer a, b, c,tamsayılar (Z halkası içinde) ise bir ayrık Heisenberg grubu H3(Z) idi.Bu bir değişmeli-olmayan nilpotent grup'tur. Bu iki üreteç idi,

x=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

ve ilişkiler

 z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\  xz=zx,\  yz=zy ,

burada

z=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

H3'ün merkez'inin generatörüdür . (Unutmadan x, y, ve znin tersi için 1 yerine yukarıda köşegene −1 konulur.) Unutmayın tersleri x, y, ve z -1 ile çapraz yukarıdaki 1 değiştirin.) Bass's teoremi ile, bu sıra 4 ün bir polinom büyüme kesri idi.

Herhangi bir öge aracılığı ile üretilebilir

\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=y^bz^cx^a\, .

Heisenberg grup modül p tek asalı[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer bir Z/p içinde a, b, c alınırsa Z için bir tek asal p,ise bir Heisenberg grup modül p idi. Bu bir dizi grubu p3 ile üreteçler x,y ve ilişkilidir:

 z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\   x^p=y^p=z^p=1,\  xz=zx,\  yz=zy.

Tek asal düzenin p sonlu cisimler üzerinde tanımlı Heisenberg grupların analogları ekstra özel grup olarak adlandırılır ,ya da daha çok uygun bir şekilde,p üs'sün ekstra özel grubudur. daha genel olarak, Eğer bir grup G türev altgrupları G' nin merkezinde yer alan Z ise G/Z × G/ZZ haritasında bir çarpık-simetrik çiftdoğrusal operatör olarak değişmeli gruplardır.Ancak, G/Znin bir sonlu vektör uzayı olması için gereken G nin Frattini altgrubu merkezinde yer alacaksa, ve Z üzerinde bir tek boyutlu vektör uzayı üzerinde Z/p Z Zye gereken p düzeni vardır, Eğer öğleyse Gdeğişmeli değil, ise G ektra özeldir. Eğer G ektra özel ama üs p yok, ise simplektik vektör alanı G/Zye uygulanan aşağıdaki genel yapı Giçin izomorfik bir grup ortaya koymamıştır.

Heisenberg grup modül 2[değiştir | kaynağı değiştir]

8'in yerine Heisenberg grup modül 2'dir ve izomorfik iki-düzlemli grup(v şeklinde) D4 tir(bir karenin simetrisi). Eğer gözlemlenir

x=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

ise

xy=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},

ve

yx=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

Bu ögeler x ve y yansımaya karşılıktır (45°ara ile), oysa xy veyx 90° rotasyona karşılık. Diğer yansıma xyx ve yxydir, ve 180°dönme ilexyxy (=yxyx)dir.

Yüksek boyutlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha genel Heisenberg grupları Hn Öklid uzayının yüksek boyutlarda,ve daha genel olarak üzerinde simplektik vektör uzayı tanımlanabilir.En basit genel durum herhangi bir tamsayı n ≥ 1 için 2n+1 boyutlu gerçel Heisenberg grubunun durumudur.Matrislerin bir grup olarak, Hn (veya Hn(R) Bu halka üzerinde Heisenberg grubunu belirtmek içinR veya gerçel sayılar) n+2 boyutlu R içine girdiler ile kare matrislerin grubu olarak tanımlanır :

 \begin{bmatrix} 1 & \mathbf a & c \\ 0 & I_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

burada

a n uzunluğunun bir satır vektör'üdür,
b n uzunluğunun bir sütün vektör'üdür,
In nin boyut birim matris'tir.

Grup Yapısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Çarpma ile gösterildiği gibi bu, gerçekten de bir gruptur:

 \begin{bmatrix} 1 & \mathbf a & c \\ 0 & I_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & \mathbf a' & c' \\ 0 & I_n & \mathbf b' \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & \mathbf a+ \mathbf a' & c+c' +\mathbf a \cdot \mathbf b' \\ 0 & I_n & \mathbf b+\mathbf b' \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

ve

 \begin{bmatrix} 1 & \mathbf a & c \\ 0 & I_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & -\mathbf a & -c +\mathbf a \cdot \mathbf b\\ 0 & I_n & -\mathbf b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & I_n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Heisenberg grubu bir Lie cebiri Lie grubunun bağlantılı, basit-bağlantılı matrislerinden oluşmaktadır.

 \begin{bmatrix} 0 & \mathbf a & c \\ 0 & 0_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},

burada

a n uzunluğunda bir satır vektördür,
b n uzunluğunda bir sütun vektörüdür,
0n nin boyutu sıfır matristir.

Üstel Harita[değiştir | kaynağı değiştir]

üstel harita ile verilen aşağıdaki bağıntılar

 \exp  \begin{bmatrix} 0 & \mathbf a & c \\ 0 & 0_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\begin{bmatrix} 0 & \mathbf a & c \\ 0 & 0_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf a & c + {1\over 2}\mathbf a \cdot \mathbf b\\ 0 & I_n & \mathbf b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
e1, ..., en yardımıyla Rn kanonik tabanıdır,ve çerçeve
 p_i = \begin{bmatrix} 0 & \operatorname{e}_i^{\mathrm{T}} & 0 \\ 0 & 0_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
 q_j = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0_n & \operatorname{e}_j \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
 z = \begin{bmatrix} 0 & 0  & 1\\ 0 & 0_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},

Bu ilişkisel Lie cebiri kanonik komütasyon ilişkileri tarafından karakterize edilebilir,

 \begin{bmatrix} p_i, q_j \end{bmatrix} = \delta_{ij}z,   \qquad \qquad
\begin{bmatrix}  p_i, z \end{bmatrix} = 0,  \qquad \begin{bmatrix}  q_j, z \end{bmatrix} = 0~,

burada p1, ..., pn, q1, ..., qn, z cebir üretecidir.

özel olarak, z Heisenberg Lie cebirinin bir merkez ögesidir. Unutmadan Heisenberg grubunun nilpotenti Lie cebridir Bir nilpotent Lie cebrinin üstel haritası bir difeomorfizm ile Lie cebiri arasında ve birimsel ilişkili bağlantılı, basit-bağlantılı Lie grubudur.

Bu konuda (boyut ve Lie grubuna atıfta bulunarak) eğer herhangi değişmeli halka AR yerine uygularsak,buna tekabül eden grup Hn(A ) ifadesidir. Asal 2 Ek varsayımlar altında A halkasının içinde terside olabilir,üstel harita ayrıca tanımlanmıştır,bundan dolayı bir sonlu toplamı ve yukarıdaki formu azaltır.(ör. A bir halka olabilir Z/p Z ile bir tek asal p veya herhangi karakteristik 0'ın alanı).

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]


Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Ernst Binz & Sonja Pods (2008). Geometry of Heisenberg Groups. Amerikan Matematik Derneği. ISBN 978-0-8218-4495-3. 
  • Hall, Brian C. (2004). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Berlin: Springer. ISBN 0-387-40122-9. 
  • Roger Evans How (1980). "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis". 
  • Kirilov, A.A. (2004). Lectures on the Orbit Method, Chapter 2: "Representations and Orbits of the Heisenberg Group",. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3530-0. 
  • G. Mackey (1976). The theory of Unitary Group Representations (Chicago Lectures in Mathematics). University Of Chicago Press. ISBN 978-0226500522. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]