Hamilton yolu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Hamilton Yolu, yönlü veya yönsüz bir grafta Hamilton yolu veya Hamilton devresinin olup olmadığının kararının verilmesinin problemidir.

Yönlü ve yönsüz hamilton devresi problemi Karp’ın 21 NP-tam probleminden ikisidir [1]. Garey ve Johnson, 1974 senesinde düzlemsel graflar için yönlü hamilton devresi probleminin ve kübik düzlemsel graflar için yönsüz hamilton devresi probleminin değişmeden NP-tam kalacağını kısaca göstermişlerdir [2].

Hamilton yolları, yaygın olarak Seyyar satıcı problemi'nin çözümü için kullanılmaktadır.

İddia[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir graf’taki Hamilton yollarının bulunması NP-tam bir işlemdir.

Çözüm fikri[değiştir | kaynağı değiştir]

Hampath’in NP bir problem olduğu zaten bilinmektedir.[3]

3SAT \leq_p HAMPATH indirgemesinin doğrulanması durumunda iddia ispatlanmış olacaktır.

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Her 3cnf formülü \phi için, s ve t düğümleri ile yönlü graf G’nin nasıl oluşturulacağı gösterilecektir.

Eğer \phi şartları sağlıyorsa, s ve t arasında bir hamilton yolu bulunmaktadır.

k adet clause’dan oluşan 3cnf formülü \phi :

Hamiltonyoluproblemi3s.JPG

Denklemde yer alan her p, q, r ; xi veya xi’ olmak üzere

\phi’nın l adet değişken içerdiği varsayılacak olursa denklemde yer alan değişkenler : x1 … xl

\phi ’nın graf G’ye dönüştürülmesi işleminde; graf G, \phi ’nın içerisindeki değişkenler ve clause’lardan oluşacaktır.

Her değişken xi, aşağıdaki illüstrasyondada olduğu gibi yatayda dizilmiş düğümlerden oluşan elmas şeklindeki bir yapı ile temsil edilecektir. Daha sonra, yatay sırada gözüken düğümlerin sayısı belirlenecektir.

Hamiltonyoluproblemi4s.JPG
Değişken xi’nin elmas içerisinde tasvir edilmesi

Hamiltonyoluproblemi5s.JPG
\phi ’daki her clase’un tek bir düğüm ile tasvir edilmesi

Aşağıdaki figür, G’nin global yapısını göstermektedir. İllüstrasyon, değişkenlerin clause’lar ile olan ilişkileri haricinde G’nin tüm elemanları ve ilişkilerini göstermektedir.

Hamiltonyoluproblemi6s.JPG
Graf G’nin Global Yapısı

Ardından, değişkenleri temsil eden elemanlarla clause’ları temsil eden düğümlerin nasıl ilişki içerisinde oldukları gösterilecektir. Yatay sırada 3k+1 adet düğüm ve bunlara ilavaten iki adet başta ve sonda bulunan elmasa dahil düğüm bulunmaktadır. Bu düğümler, her clause için bitişik düğümler oluşturacak şekilde gruplanacak ve bu çiftlerden sonra ekstra ayırıcı bir düğüm bulunacaktır. Tıpkı şekildede görüldüğü gibi:

Hamiltonyoluproblemi7s.JPG
Elmas yapısında yer alan yatay düğümler

Eğer değişken xi, clause cj içerisinde yer alıyorsa; i. değişkendeki j. çift ile j. clause ilişki içerisindedir.

Hamiltonyoluproblemi8s.JPG
Clause cj nin xi yi içermesi durumundaki ilave kenarlar

Eğer xi’, clause cj içerisinde yer alıyorsa; i. değişkendeki j. çift ile j. clause ilişki içerisindedir.
Hamiltonyoluproblemi9s.JPG
Clause cj nin xi‘ yi içermesi durumundaki ilave kenarlar

Her clause’da her xi veya xi’ nin var oluşuna göre eklenecek kenarlar ile, G’nin yapısı tamamlanmış olacaktır. Yol s’den başlayacak, her elmasa sırasıyla uğrayacak t’de son bulacaktır. Elmasta izlenecek yolun bulunması için, \phi ’yı sağlayan değerlerden belirlenmek üzere yol ya soldan sağa doğru zig-zag yapacak ya da sağdan sola doğru zag-zig yapacaktır. Şayet xi DOĞRU olarak belirlenmişse yol elmas boyunca zig-zag yapacak, YANLIŞ olarak belirlenmişse yol elmas boyunca zag-zig yapacaktır. Her iki ihtimalde takip eden figürde gösterilmiştir.

Hamiltonyoluproblemi10s.JPG
Elmas boyunca zig-zag veya zag-zig yapılması denklemde şartları sağlayan değerler tarafından belirlenmektedir.

Böylelikle arzu edilen Hamilton yolu oluşturulmuş olur. Geriye gösterilmesi kalan tek şey Hamilton yolunun normal olmak zorunda olduğudur. Normallik sadece bir yol clause’a bir elmastan girip, clause çıkışında farklı bir elmasa gidiyorsa başarısız olacaktır. Tıpkı illüstrasyonda betimlendiği gibi:
Hamiltonyoluproblemi11s.JPG
Bu Durum Gerçekleşemez

Yol a1’den C’ye gider, ancak aynı elmastaki a2’ye dönmesi gerekirken, farklı bir elmastaki b2’ye döner. Eğer bu durum olursa, ya a2 ya da a3 ayırıcı düğüm olmak zorundadır. Şayet a2 ayırıcı düğüm olsaydı, a2’ye giren kenarlar yalnızca a1 ve a3’ten olurdu. Eğer a3 ayırıcı düğüm olsaydı,a1 ve a2 aynı clause çifti içerisinde yer alırdı. Bundan ötürüde a2’ye giren kenarlar yalnızca a1, a3 ve c’den olabilirdi. Her iki durumdada, yol a2 düğümünü içermezdi. Yol a2’ye c veya a1’den giremez çünkü yol bu düğümlerden başka bir yere gitmektedir. Yol a2’ye a3’ten giremez çünkü a3, a2’nin işaret ettiği tek mevcut düğüm. Bu yüzden, yol a2’den a3 vasıtasıyla çıkmak zorundadır.

İş bu nedenle, hamilton yolu normal olmak zorundadır. Bu indirgeme açık olarak polinomsal zamanda işler ve ispat tamamlanmış olur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Wikipedia, Karp's 21 NP-complete problems
  2. ^ M. R. Garey, D. S. Johnson. Some simplified NP-complete problems. Proceedings of the sixth annual ACM symposium on Theory of computing, p. 47-63. 1974.
  3. ^ Michael Sipser: "Introduction to the Theory of Computation" Course Technology Press Second Edition, 2005.