Gauss sürekli kesri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Gauss sürekli kesri karmaşık analiz'de, hipergeometrik fonksiyon'dan türetilen sürekli kesirler'in özel sınıfıdır.ilk analitik sürekli kesirler matematik biliniyordu, ve önemli Temel fonksiyon'ların yanı sıra bazıları daha komplike aşkın fonksiyon'uda temsil etmek için kullanılabilir.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Lambert 1768 yılında sürekli kesirlerin çeşitli örnekleriniformülünü yayınlanan , ve Euler ve Lagrange ikilisi benzer yapıları incelenmiştir,[1] ama Bu sürekli kesirlerin genel formu anlamak için sonraki bölümde açıklanan zekice cebrik hüner kullananCarl Friedrich Gauss'tur, in 1813.[2]

Gauss bu sürekli kesirlerin şeklinde vermesine rağmen,yakınsaklık özelliklerinin kanıtını vermedi Bernhard Riemann[3] and L.W. Thomé[4] kısmi sonuçlar elde etti,Ama bu sürekli kesirlerin yakınsadığı bölge hakkındaki son sözü 1901 Edward Burr Van Vleck tarafından yılına kadar verilmiştir .[5]

Türevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

öğle f_0, f_1, f_2, \dots Analitik fonksiyonlar dizisi olsunki

f_{i-1} - f_i = k_i\,z\,f_{i+1}
i > 0tümü için, burada her birk_i is bir sabittir.

sonra

\frac{f_{i-1}}{f_i} = 1 + k_i z \frac{f_{i+1}}{{f_i}},\, \frac{f_i}{f_{i-1}} = \frac{1}{1 + k_i z \frac{f_{i+1}}{{f_i}}}.

çerçeve g_i = f_i / f_{i-1} şeklindedir,

g_i = \frac{1}{1 + k_i z g_{i+1}},

böylece

g_1 = \frac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1 + k_1 z g_2} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + k_2 z g_3}}
 = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + \cfrac{k_2 z}{1 + k_3 z g_4}}} = \dots\ .

Bunun sonsuza tekrarlanmasıyla sürekli kesirler ifadesi üretiliyor

\frac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1 z}{1+\cfrac{k_2 z}{1+\cfrac{k_3 z}{1+{}\ddots}}}}

Gauss sürekli kesirler olarak, fonksiyonlar f_i {}_0F_1 formu,{}_1F_1, ve {}_2F_1 ve hipergeometrik fonksiyonları ve denklemler f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1} parametrelerin tamsayı miktarlarda farklı işlevleri arasında özellikler olarak ortaya çıkmaktadır. Bu özellikler,dizi açılımı ve katsayıları karşılaştırılarak veya çeşitli şekillerde türev alarak ve oluşturulan denklemleri onu ortadan kaldırarak,örnek çeşitli şekillerde ispat edilebilir.

0F1 serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

basit durumu içerir

\,_0F_1(;a;z) = 1 + \frac{1}{a\,1!}z + \frac{1}{a(a+1)\,2!}z^2 + \frac{1}{a(a+1)(a+2)\,3!}z^3 + \cdots\ .

özelliği ile başlayarak

\,_0F_1(;a-1;z)-\,_0F_1(;a;z) = \frac{z}{a(a-1)}\,_0F_1(;a+1;z),

alarak

f_i = {}_0F_1(;a+i;z),\,k_i = \tfrac{1}{(a+i)(a+i-1)},

veriliyor

\frac{\,_0F_1(a+1;z)}{\,_0F_1(a;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{1}{a(a+1)}z}
{1 + \cfrac{\frac{1}{(a+1)(a+2)}z}{1 + \cfrac{\frac{1}{(a+2)(a+3)}z}{1 + {}\ddots}}}}

veya

\frac{\,_0F_1(a+1;z)}{a\,_0F_1(a;z)} = \cfrac{1}{a + \cfrac{z}
{(a+1) + \cfrac{z}{(a+2) + \cfrac{z}{(a+3) + {}\ddots}}}}.

Bu iki seri oranı ile ( tabiki bu,bir sıfır ya da negatif olmayan ile sağlanan tamsayıdır) meromorfik fonksiyon olarak tanımlanan iki yakınsak açılım;

1F1 serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu son durum içinde

{}_1F_1(a;b;z) = 1 + \frac{a}{b\,1!}z + \frac{a(a+1)}{b(b+1)\,2!}z^2 + \frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}z^3 + \dots

iki eşitlik için

\,_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a+1;b;z) = \frac{(a-b+1)z}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z)
\,_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a;b;z) = \frac{az}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z)

değişik olarak kullanılır.

böylece

f_0(z) = \,_1F_1(a;b;z),
f_1(z) = \,_1F_1(a+1;b+1;z),
f_2(z) = \,_1F_1(a+1;b+2;z),
f_3(z) = \,_1F_1(a+2;b+3;z),
f_4(z) = \,_1F_1(a+2;b+4;z),

gibi.

verilen f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1} burada k_1=\tfrac{a-b}{b(b+1)}, k_2=\tfrac{a+1}{(b+1)(b+2)}, k_3=\tfrac{a-b-1}{(b+2)(b+3)}, k_4=\tfrac{a+2}{(b+3)(b+4)},

\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{a-b}{b(b+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+1}{(b+1)(b+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+2}{(b+3)(b+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}

veya

\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{b{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{b + \cfrac{(a-b) z}{(b+1) + \cfrac{(a+1) z}{(b+2) + \cfrac{(a-b-1) z}{(b+3) + \cfrac{(a+2) z}{(b+4) + {}\ddots}}}}}

Aynı şekilde

\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{a}{b(b+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-1}{(b+1)(b+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+1}{(b+2)(b+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-2}{(b+3)(b+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}

veya

\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{b{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{b + \cfrac{a z}{(b+1) + \cfrac{(a-b-1) z}{(b+2) + \cfrac{(a+1) z}{(b+3) + \cfrac{(a-b-2) z}{(b+4) + {}\ddots}}}}}
{}_1F_1(0;b;z)=1'den dolayı, se a ya 0 ve b + 1 ile b konularak ilk sürekli kesir içnde basit özel bir durum ilk sürekli kesir içinde verilir:
{}_1F_1(1;b;z) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-z}{b + \cfrac{z}{(b+1) + \cfrac{-b z}{(b+2) + \cfrac{2z}{(b+3) + \cfrac{-(b+1)z}{(b+4) + {}\ddots}}}}}}

2F1 serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

bu son durum içinde

{}_2F_1(a,b;c;z) = 1 + \frac{ab}{c\,1!}z + \frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}z^2 + \frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}z^3 + \dots\,.

Tekrar iki değişik kullanım

\,_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a+1,b;c;z) = \frac{(a-c+1)bz}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z),
\,_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a,b+1;c;z) = \frac{(b-c+1)az}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z).

Burada aynı eşitlikler aslında with a ve b aralarında değiştirilebilir.

Böylece

f_0(z) = \,_2F_1(a,b;c;z),
f_1(z) = \,_2F_1(a+1,b;c+1;z),
f_2(z) = \,_2F_1(a+1,b+1;c+2;z),
f_3(z) = \,_2F_1(a+2,b+1;c+3;z),
f_4(z) = \,_2F_1(a+2,b+2;c+4;z),

gibi.

verilenf_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1} ile burada k_1=\tfrac{(a-c)b}{c(c+1)},
k_2=\tfrac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}, k_3=\tfrac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}, k_4=\tfrac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}, ürünü

\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}

veya

\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{c{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{c + \cfrac{(a-c)b z}{(c+1) + \cfrac{(b-c-1)(a+1) z}{(c+2) + \cfrac{(a-c-1)(b+1) z}{(c+3) + \cfrac{(b-c-2)(a+2) z}{(c+4) + {}\ddots}}}}}

{}_2F_1(0,b;c;z)=1 bağıntısından, a ya 0 ve cyerine + 1 ye ile c sürekli kesirler basitleştirilmiş bir özel bir durumunu verir:

{}_2F_1(1,b;c;z) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-b z}{c + \cfrac{(b-c) z}{(c+1) + \cfrac{-c(b+1) z}{(c+2) + \cfrac{2(b-c-1) z}{(c+3) + \cfrac{-(c+1)(b+2) z}{(c+4) + {}\ddots}}}}}}


Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

0F1 serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

elimizde

\cosh(z) = \,_0F_1({\tfrac{1}{2}};{\tfrac{z^2}{4}}),
\sinh(z) = z\,_0F_1({\tfrac{3}{2}};{\tfrac{z^2}{4}}),

var. böylece

\tanh(z) = \frac{z\,_0F_1({\tfrac{3}{2}};{\tfrac{z^2}{4}})}{\,_0F_1({\tfrac{1}{2}};{\tfrac{z^2}{4}})}
= \cfrac{z/2}{\tfrac{1}{2} + \cfrac{\tfrac{z^2}{4}}{\tfrac{3}{2} + \cfrac{\tfrac{z^2}{4}}{\tfrac{5}{2} + \cfrac{\tfrac{z^2}{4}}{\tfrac{7}{2} + {}\ddots}}}} = \cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{z^2}{5 + \cfrac{z^2}{7 + {}\ddots}}}}.

Bu özel açılım Lambert sürekli kesri olarak bilinir ve 1768'tarihine dönerek.[6]

bu aşağıda kolayca

\tan(z) = \cfrac{z}{1 - \cfrac{z^2}{3 - \cfrac{z^2}{5 - \cfrac{z^2}{7 - {}\ddots}}}}.

tanh için en açılımı kullanılabilir her ntamsayısı için irrasyoneldir (e aşkın)'dır. Lambert ve Legendre ikilisi tarafından π'nin irrasyonel olduğunu kanıtlamak için bu açılım kullanıldı.

Bessel fonksiyonu J_\nu yazılabilir

J_\nu(z) = \frac{(\tfrac{1}{2}z)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}\,_0F_1(;\nu+1;-\frac{z^2}{4}),

dan aşağıda

\frac{J_\nu(z)}{J_{\nu-1}(z)}=\cfrac{z}{2\nu - \cfrac{z^2}{2(\nu+1) - \cfrac{z^2}{2(\nu+2) - \cfrac{z^2}{2(\nu+3) - {}\ddots}}}}.

Ayrıca her karmaşık z değeri için buradaki form.

1F1 serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Since e^z = {}_1F_1(1;1;z), 1/e^z = e^{-z}

e^z = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-z}{1 + \cfrac{z}{2 + \cfrac{-z}{3 + \cfrac{2z}{4 + \cfrac{-2z}{5 + {}\ddots}}}}}}
e^z = 1 + \cfrac{z}{1 + \cfrac{-z}{2 + \cfrac{z}{3 + \cfrac{-2z}{4 + \cfrac{2z}{5 + {}\ddots}}}}}.

Bazı manipülasyonlarda, Bunun basit sürekli kesirlerini temsil ve kanıt için kullanılabilirler e,

e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+{}\ddots}}}}}

Hata fonksiyonu erf (z),


\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2} dt,

ile verilir Ayrıca Kummer hipergeometrik fonksiyon açısından hesaplanabilir:


\operatorname{erf}(z) = \frac{2z}{\sqrt{\pi}} e^{-z^2} \,_1F_1(1;{\scriptstyle\frac{3}{2}};z^2).

her karmaşık sayı z için geçerli bir açılım uygulayarak Gauss sürekli kesri elde edilebilir:[7]


\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{z^2} \operatorname{erf}(z) = \cfrac{z}{1 - \cfrac{z^2}{\frac{3}{2} +
\cfrac{z^2}{\frac{5}{2} - \cfrac{\frac{3}{2}z^2}{\frac{7}{2} + \cfrac{2z^2}{\frac{9}{2} -
\cfrac{\frac{5}{2}z^2}{\frac{11}{2} + \cfrac{3z^2}{\frac{13}{2} -
\cfrac{\frac{7}{2}z^2}{\frac{15}{2} + - \ddots}}}}}}}}.

Benzer bir argüman Fresnel integrali,Dawson fonksiyonu,tamamlanmamış Gama fonksiyonu için sürekli kesirler açılımlarını türetmek için yapılabilir.üstel fonksiyon tartışmanın daha basit bir versiyonudur.[8]

2F1 serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

(1-z)^{-b}={}_1F_0(b;;z)=\,_2F_1(1,b;1;z),
(1-z)^{-b} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-b z}{1 + \cfrac{(b-1) z}{2 + \cfrac{-(b+1) z}{3 + \cfrac{2(b-2) z}{4 + {}\ddots}}}}}

arctan z Taylor serisi açılımını kolayca göstermek için sıfır komşuluğunda verilen


\arctan z = zF({\scriptstyle\frac{1}{2}},1;{\scriptstyle\frac{3}{2}};-z^2).

\arctan z = \cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2} {3+\cfrac{(2z)^2} {5+\cfrac{(3z)^2} {7+\cfrac{(4z)^2} {9+\ddots}}}}},

Bu özellikle z = 1 olduğu zaman sürekli kesirler oldukça hızlı yakınsar,dokuzuncu yakınsak tarafından π / 4'ün yedi ondalık değeri verir.İlgili serisi


\frac{\pi}{4} = \cfrac{1} {1+\cfrac{1^2} {2+\cfrac{3^2} {2+\cfrac{5^2} {2+\ddots}}}} 
= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - \dots

Gerekli yedi ondalık doğruluk verimi için bir milyondan fazla terimleri ile , çok daha yavaş yakınsar.[9]

Doğal logaritma'nın sürekli kesirler açılımlar üretmek için bu Arcsin fonksiyonu ve genelleştirilmiş binom serileri argümanın varyasyonları kullanılabilir.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Jones & Thron (1980) p. 5
  2. ^ C. F. Gauss (1813), Werke, vol. 3 pp. 134-138.
  3. ^ B. Riemann (1863), "Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita" in Werke. pp. 400-406. (Posthumous fragment).
  4. ^ L. W. Thomé (1867), "Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...," Jour. für Math. vol. 67 pp. 299-309.
  5. ^ E. B. Van Vleck (1901), "On the convergence of the continued fraction of Gauss and other continued fractions." Annals of Mathematics, vol. 3 pp. 1-18.
  6. ^ Wall (1973) p. 349.
  7. ^ Jones & Thron (1980) p. 208.
  8. ^ See the example in the article Padé table for the expansions of ez as continued fractions of Gauss.
  9. ^ Jones & Thron (1980) p. 202.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Theory and Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ss. 198–214. ISBN 0-201-13510-8. 
  • Wall, H. S. (1973). Analytic Theory of Continued Fractions. Chelsea Publishing Company. ss. 335–361. ISBN 0-8284-0207-8. 
    (This is a reprint of the volume originally published by D. Van Nostrand Company, Inc., in 1948.)
  • Eric W. Weisstein, Gauss's Continued Fraction (MathWorld)