Gama matrisler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel fizikte,  \{ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3 \} gama matrisler ve ayrıca Dirac matrisleri olarak bilinir özel karşıt-yerdeğişirlik ilişkileri ile geleneksel matrislerin bir kümesi olduğundan onlar Clifford cebiri C1,3(R)'nin çarpımlarının bir matris temsilini sağlar. Bununla daha yüksek boyutlu gama matrisleri tanımlamak da mümkündür. Minkowski uzayında karşıtdeğişken vektörler için ortogonal taban vektörler kümesinin eylem matrisleri gibi yorumlanır.uzay-zaman eylemlerinin bu Clifford cebri üzerinde spinörlerin bir uzayı matrisleri üzerinde bu sütun vektörler hareket ederler. Bu da mümkün sonsuz mekansal dönmeler ve Lorentz boostları ile temsil edilir. Spinörler genel olarak uzayzaman hesaplamalarını kolaylaştırmak ve özel olarak göreli spin-½ parçacıkların Dirac denklemi için esastır. Dirac gösterimi içinde, dört karşıtdeğişken gama matrisleri:

 \gamma^0 = \begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad
\gamma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad
\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

gama matrislerin küme analogları herhangi bir boyutu içinde ve metriğin işareti ile tanımlanabilir. Örneğin Pauli matrisleri Öklidyen işareti (3,0)'nin metriği ile 3 boyut içinde "gama" matrislerin bir kümesidir.

Matematiksel yapı[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanımlanan özellik bir Clifford cebri üreten gama matrisi için antikomutasyon ilişkisidir

\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_4

burada \{ , \} antikomutatördür, \eta^{\mu \nu} Minkowski metriği ile (+ − − −) işareti ve I_4 4 × 4 birim matristir.

Bu özelliği tanımlarken gama matrisler içinde kullanılan sayısal değerlerden daha temel olduğu düşünülmektedir eşdeğişken gama matrisi tanımı ile

\displaystyle \gamma_\mu = \eta_{\mu \nu} \gamma^\nu = \left\{\gamma^0, -\gamma^1, -\gamma^2, -\gamma^3 \right\},

ve Einstein gösterimi varsayılır.

Unutmadan metrik için diğer işaret geleneği, (− + + +) yada tanım denkleminde bir değişiklik gerektimektedir:

\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = -2 \eta^{\mu \nu} I_4

veya i ile tüm gama matrislerin bir çarpım altında, tabii ki değişiklikler burada aşağıda ayrıntılı sezgisel özelliklerdir. eşdeğişken gama matrisler için alternatif geleneksel işaretler altında tanımlanır ise

\displaystyle \gamma_\mu = \eta_{\mu \nu} \gamma^\nu = \left\{-\gamma^0, +\gamma^1, +\gamma^2, +\gamma^3 \right\}.

Beşli gama matris,γ5[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu dört gama matrislerin çarpım tanımına kullanılarak aşağıda:

 \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} (Dirac tabanı içinde).

gama harfi \gamma^5 kullanılmasına rağmen, bu C1,3(R)'in gama matrisleri bunun biri değildir. 5 sayısı bu \gamma^0 içinde eski gösterimin bir kalıntısı ve "\gamma^4" adlandırılmış idi..

\gamma^5 ayrıca, alternatif bir formu vardır:

 \gamma^5 = \frac{i}{4!} \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta}

Bu matris kuantum mekaniksel kiralitenin dersi içinde kullanılıyor. Örneğin, bir Dirac alanı bu sol-el ve sağ-el bileşenleri ile üzerine izdüşüm edilebilir:

\psi_L= \frac{1-\gamma^5}{2}\psi, \qquad\psi_R= \frac{1+\gamma^5}{2}\psi .

Bazı özellikleri:

  • O hermisyendir:
(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5. \,
  • Onun özdeğeri ±1 dir, çünkü:
(\gamma^5)^2 = I_4. \,
  • O dört gama matrisler ile karşıtdeğişmelidir:
\left\{ \gamma^5,\gamma^\mu \right\} =\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0. \,

Özdeşlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıda karşıt yerdeğiştirme ilişkisi temelden aşağıda belirtilmiştir,böylece herhangi taban içinde tutulur (\gamma^5 için seçilen işaret üzerinde bağlı tek son olmasına rağmen).

Çeşitli Özdeşlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Sayı Özdeşlik
1 \displaystyle\gamma^\mu\gamma_\mu=4 I_4
2 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=-2\gamma^\nu
3 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu=4\eta^{\nu\rho} I_4
4 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu
5 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\lambda = \eta^{\mu\nu}\gamma^\lambda + \eta^{\nu\lambda}\gamma^\mu - \eta^{\mu\lambda}\gamma^\nu - i\epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\gamma_\sigma\gamma^5

İz özdeşlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Sayı Özdeşlik
0 \operatorname{tr} (\gamma^\mu) = 0
1 \gamma^\mu'in bir tek sayısının herhangi bir çarpanının izi sıfırdır
2 \gamma^\mu in bir tek sayısının bir çarpan zamanı \gamma^5'in izi yine sıfırdır
3 \operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}
4 \operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})
5 \operatorname{tr}(\gamma^5)=\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0
6 \operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5) =- 4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}
7 \operatorname{tr} (\gamma^{\mu 1}\dots\gamma^{\mu n}) = \operatorname{tr} (\gamma^{\mu n}\dots\gamma^{\mu 1})

İz'in üç ana özelliğinin yukardaki özellikleri içeren işlemcisi deneniyor:

  • tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(rA) = r tr(A)
  • tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

Normalizasyon[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki karşıtyerdeğiştirme ilişkiler ile ancak Gamma matrislerin sınırlı ekstra hermitisite koşulları seçilebilir. şunu empoze edebiliriz

\left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0 \,,ile \left( \gamma^0 \right)^2 = I_4 \,

karşılaştırılabilir ve diğer (k = 1, 2, 3için) gama matrisler için

\left( \gamma^k \right)^\dagger = -\gamma^k \,, ile \left( \gamma^k \right)^2 = -I_4. \,

karşılaştırılabilir bu tutulan hermitisite ilişkileri Dirac gösterimi ile hemen kontrol edilir.

Yukarıdaki durumlar ile ilgili olarak birleştirilebilir

\left( \gamma^\mu \right)^\dagger = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0. \,

Hermisite durumu \Lambda bir Lorentz dönüşümünün \gamma^\mu \to S(\Lambda) \gamma^\mu {S(\Lambda)}^{-1} hareketi altında değişmezdir çünkü S(\Lambda) Lorentz grubunun tamsıkılık nedeniyle birimsel dönüşümü olması gerekmez .

Feynman slash gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Feynman slash gösterimi

 a\!\!\!/ := \gamma^\mu a_\mu

ile tanımlanıyor herhangi 4-vektör a için.

Burada olanlara benzer bazı özdeşlikler üzerinde olan, ancak çizgi notasyonu içeren:

a\!\!\!/b\!\!\!/ = a \cdot b - i a_\mu \sigma^{\mu\nu} b_\nu
a\!\!\!/a\!\!\!/ =a^{\mu}a^{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=\frac{1}{2}a^{\mu}a^{\nu}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu})=\eta_{\mu\nu}a^{\mu}a^{\nu}= a^2
\operatorname{tr}(a\!\!\!/b\!\!\!/) = 4 (a \cdot b)
\operatorname{tr}(a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/) = 4 \left[(a\cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right]
\operatorname{tr}(\gamma_5 a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/) = 4 i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} a^\mu b^\nu c^\rho d^\sigma
\gamma_\mu a\!\!\!/ \gamma^\mu = -2 a\!\!\!/
\gamma_\mu a\!\!\!/ b\!\!\!/ \gamma^\mu = 4 a \cdot b \,
\gamma_\mu a\!\!\!/ b\!\!\!/ c\!\!\!/ \gamma^\mu = -2 c\!\!\!/ b\!\!\!/ a\!\!\!/ \,
burada
\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \, Levi-Civita sembolüdür ve \sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu, \gamma^\nu].

Öklidyen Dirac matrisleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Kuantum alan kuramı içinde bir Euclidean uzayına Minkowski uzayından geçene Wick dönmesi zaman ekseni olabilir,bu özellikle bazı renormalizasyon işlemleri içinde kullanılabilen ancak ve ancak kafes ölçüm teorisidir.Öklid uzayı içinde, burada Dirac Matrislerinin gösterimleri iki ortak kullanımıdır:

Kiral gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

\gamma^{1,2,3} = \begin{pmatrix} 0 &  i\sigma^{1,2,3} \\ -i\sigma^{1,2,3} & 0 \end{pmatrix}, \quad
\gamma^0=\begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}

i 'faktörünün unutmadan uzaysal gama matrisleri içinde takılmıştır böylece Öklidyen Clifford cebri

 \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = 2 \delta^{\mu\nu}I_4

ortaya çıkacak. Bunu belirtmekte fayda varki bu burada bunun değişkenlerdir bu matrislerin biri üzerinde -i yerine sokulur, böylece QCD kodları kafesi içinde bu kiral taban kullanılıyor.

Minkowski uzayından farkı, Öklid uzayı içinde,

\gamma^5 = i \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 \gamma^4 = \gamma^{5+}.

Böylece Kiral taban içinde,

\gamma^5=i \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 \gamma^4 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}.

Göreli-olmayan gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

\gamma^{1,2,3} = \begin{pmatrix} 0 & -i \sigma^{1,2,3} \\ i \sigma^{1,2,3} & 0 \end{pmatrix}, \quad
\gamma^4=\begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}, \quad 
\gamma^5=\begin{pmatrix} 0 & -I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix}

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]