Funktör

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematikte,funktör kategoriler arası göndermenin bir tipidir, Bu kategori teori içinde uygulamadır. Funktörler kategoriler arası homomorfizmler olarak düşünülebilir.küçük kategorilerin kategorisi içinde, funktörler daha genel morfizmler olarak düşnülebilir.

cebrik topoloji içinde ilk düşünülen Funktörler idi, burada cebrik nesneler (temel grup gibi) topolojik uzaylara ilişkilenir, ve cebrik homomorfizmler sürekli göndermelere ilişkilenir. Günümüzde, funktörlerin çeşitli kategorilerle ilişkileri modern matematik yoluyla kullanılıyor. Böylece funktörler bölgeler içinde genel uygulanabilirliği within matematik bu kategori teori ile birlikte bir soyutlanabilir

funktör kelimesini filozof Rudolf Carnaptan matematikçiler ödünç almıştır,[1] who used the term in a linguistic context:[2] see function word.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki C ve D kategoriler ve C den D ye bir funktör F,bir gönderme olsun[3]

  • her X \in C nesneye bir F(X) \in D nesne ilişkilenir ,
  • her morfizme f:X\rightarrow Y \in C bir morfizm F(f):F(X) \rightarrow F(Y) \in D ilişkilenir, böylece aşağıda iki durum mevcuttur:
    • her X \in C nesnesi için F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!
    • f:X \rightarrow Y\,\! ve g:Y\rightarrow Z.\,\! tüm morfizmler için F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)

Bu,funktörlerin eş morfizmler ve morfizmlerin düzeni korunmalıdır.

Eşdeğişinti ve karşıt değişinti[değiştir | kaynağı değiştir]

gerçek şu ki Burada matematik içindeama "morfizm çevresinde dönen" ve "ters düzen" için birçok yapılar funktörler olacak .O zaman C denD ye bir haritalama olarak bir F karşıtdeğişinti funktör tanımlarız

  • her X \in C nesneye ilişkili bir F(X) \in D, nesnesi
  • her f:X\rightarrow Y \in C morfizme ilişkili bir F(f):F(Y) \rightarrow F(X) \in D morfizmi böylece
    • her X \in C nesnesi için F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! ,
    • tüm f:X\rightarrow Y\,\! ve g:Y\rightarrow Z.\,\! morfizmler için F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)

zıt değişintili funktörlerin düzen yönünün tersine olduğunu unutmamak gerekir.

Sıradan funktörler ayrıca düzen içinde eşdeğişinti funktörleri bir karşıtdeğişirden ayırıyor. unutmadan ayrıca bir karşıtdeğişinti funktör zıt kategori üzerinde bir eşdeğinti funktör olarak tanımlanabilir C^\mathrm{op}.[4] bazı yazarlar eşdeğişintili tüm ifadeleri yazmayı tercih ederler. Yani, söylenenlerin yerine F: C\rightarrow D bir zıtdeğişintili funktordür, bu basitçe F: C^{\mathrm{op}} \rightarrow D yazılır (veya bazen F:C \rightarrow D^{\mathrm{op}}) ve ona bir funktör denir.

Eşdeğişintili funktörler ayrıca bazen eşfunktörler olarak çağrılır.

Zıt funktör[değiştir | kaynağı değiştir]

Her F: C\rightarrow D funktör F^\mathrm{op}: C^\mathrm{op}\rightarrow D^\mathrm{op} zıt funktör uyarır burada C^\mathrm{op} ve D^\mathrm{op}.[5] ye zıt kategori ile tanımlanıyor, F^\mathrm{op} gönderme nesneleri ve morfizmi F 'ye özdeştir. devamla C^\mathrm{op} ile rastlaşık olmayan bir C kategori olarak ve benzeşiği D, F^\mathrm{op}için,F 'den ayrılır örneğin,F: C_0\rightarrow C_1 ile G: C_1^\mathrm{op}\rightarrow C_2,oluştururken bir kullanma ya G\circ F^\mathrm{op} veyaG^\mathrm{op}\circ F dır.Unutmadan zıt kategori'nin özelliklerini takiple, .

Bifunktörler ve multifunktörler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir bifunktör (ayrıca bir ikili funktör olarak bilinir) iki bileşenli bir funktördür.Hom funktör bir doğal örneğidir ; o bir bileşenin içinde karşıtdeğişinti, diğeri içinde eşdeğişintidir.

Resmi olarak, bir bifunktör bir funktör etki alanı bir çarpım kategorisidir. Örneğin, bu tip'in Hom funktörü Cop × CKümesi dir.

Bir multifunktör n değişkenlerine funktör kavramının bir genellemesidir. Örneğin bir bifunktör n = 2 ile bir multifunktördür.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyagram:C ve J kategorileri için,C içinde J tipinin bir diyagramı D:J\rightarrow C eşdeğişinti funktörüdür.

(Kategori teorik) presheaf:C ve J kategorileri için,bir C üzerinde J-presheaf D:C\rightarrow Jbir karşıtdeğişinti funktörüdür.

Presheaves: Eğer X bir topolojik uzay,içerik altında Açık(X) bir kısmi sıralı küme X formu içinde açık kümeler ise her kısmi sıralı küme gibi,Açık(X) tek bir ok ekleme ile UV ancak ve ancak küçük U \subseteq V bir kategori oluşturur .Açık(X) üzerindeki karşıtdeğişken funktörlara X üzerinde presheaves denir.Örneğin U üzerinde gerçek-değerli sürekli fonksiyonların her açık kümesine atama ile ilişkisel cebir X üzerinde cebirin bir presheaf'ı elde edilir.

Sabit funktör: funktör CD X in D içindeki bir X sabit nesneye C nin her nesneyi gönderir ve C içindeki X üzerinde özdeş morfizme her morfizm. Böyle bir funktör bir sabit veya elenme funktörüdür.

Endofunktör: Bu funktor kendine bir kategori göndermedir.

Özdeş funktör:C kategorisi,1C veya idC yazılır,kendis kendisine morfizmalar ve nesne gönderir.Özdeş funktör bir endofunktördür

Köşegen funktör: Diyagonal funktör D funktörden DC funktör kategorisine tanımlanır bu nesne de sabit funktöre D içinde her nesneyi gönderir.

Limit funktör:sabit bir indis kategori J için , eğer her funktor JC bir limit var(örneğin eğer C tamsa), ise limit funktor CJC her funktöre atanan limittir. Bu funktor varlığıdiyagonal funktöre, sağ-ek'in farkı ile ispat edilebilir ve Freyd ek funktör teoremini yürütüyor. Bu seçim aksiyomunun bir uygun versiyonu gereklidir. Benzer sözler eşlimit funktör için geçerlidir (bu eşdeğişintidir).

Kuvvet kümeleri: Kuvvet kümesi funktörü P : KümeKüme kuvvet kümesine her küme göndermedir ve f(U) \subseteq Y görüntüye U \subseteq X gönderilen gönderime  f : X \to Y her fonksiyondur. One can also consider the contravariant power set functor which sends  f : X \to Y to the map which sends V \subseteq Y to its inverse image f^{-1}(V) \subseteq X.

İkili vektor uzayı: Bu gönderme her vektör uzayına atanan ikili uzaydır ve her doğrusal haritaya ikilidir veya kendine bir sabitlenmiş bir alan üzerinde tüm vektör uzaylarının kategorisinden devrik bir karşıtdeğişinti funktörüdür .

Temel grup:noktalı topolojik uzayın kategorisi düşünülür, yani topolojik uzaylar ile ayırt edici noktaları. Nesne (X, x0) çiftidir, burada X bir topolojik uzaydır ve x0 X içinde bir noktadır. Bir morfizm (X, x0) dan (Y, y0)ya bir sürekli göndermef : XY ile f(x0) = y0 ile verilir.

topolojik her X uzayı ile ayırtedici nokta x0dır, x0 tabanında bir temel grup tanımlanabilir, ifadesi π1(X, x0). Bu homotopi x0 taban döngüsünün homotopi sınıfının grupudur. Eğer noktalı uzayının f : XY morfizmi, taban noktası ile Y içindeki yeterli bir döngüye f ile düzenlenebilir x0 taban noktası ile X içinde bu her döngü ise işlem eşdeğer ilişki homotopisi ve döngünün düzeni ile uyumludur, ve π(X, x0) dan π(Y, y0) ya bir grup homomorfizmi veriliyor.Biz böylece grupların kategorisi noktalı topolojik uzaylar kategorisinden bir funktor elde ediyoruz.

(ayırt edici nokta olmadan) topolojik uzaylar kategorisinde, tek bir jenerik eğrilerin eşyerellik sınıfları düşünülüyor, ama onların bir bitiş noktası paylaşılmadığı sürece oluşamaz.Böylece bir temel grupun yerine temel grubumsu var, ve bu yapım funktöriyeldir.

sürekli fonksiyonların cebri:topolojik uzayın kategorisinden (sürekli gönderme ile morfizmler olarak )gerçek ilişkisel cebirlerin kategorisine bir eşdeğişinti funktoru bu uzay üzerinde tüm gerçek-değerli sürekli funksiyonların her X topolojik uzayına atama ile verilen cebiri C(X) dır. Her sürekli gönderme f : XY bir cebir homomorfizmi uyarır C(f) : C(Y) → C(X) C(f)(φ) = φ o f kural ile her φ için C(Y) içinde.

Tanjant ve kotanjant demetler: Gönderme bu tanjant demete her diferansiyellenebilir manifold gönderir ve vektor demetleri.

bu noktasal izlemeli konstrüksiyonlar tanjant uzayı verir,gerçek vektör uzaylarının kategorisine noktalı differensiyellenebilir manifoldların kategorisinden bir eşdeğişinti funktörüdür. Aynı şekilde, kotanjant uzay bir karşıtdeğişinti funktörüdür,tanjant uzayının esas düzeni ile ikili uzayı yukarıda.

Grup hareketler/gösterimler: Her grup G bir kategori olarak düşünülebilir bir tekli nesne ile böyle morfizmler Gnin ögesidir. Bir funktor G den Kümeye ama özel olarak küme üzerinde Gnin bir grup hareketi değil ise , yani bir G-kümesidir. Bunun gibi, bir funktor G den vektor uzayının kategorisine, VectK, Gnin bir doğrusal gösterimidir . Genelde, bir funktör GC Ckategorisi içinde bir nesne üzerinde Gnin bir "eylem"i olarak kabul edilebilir. Eğer C bir grup,ise bu hareket bir grup homomorfizmidir.

Lie cebiri:Her gerçek (karmaşık) Lie grupa atama ve gerçek (karmaşık) Lie cebiridir ve bir funktör tanımlar.

Tensör çarpımları: Eğer C bir sabitlenmiş alan üzerinde vektör uzayının kategori ifadesi,ile morfizmler olarak doğrusal göndermeler, ise tensör çarpımı V \otimes W bir funktör C × CC tanımlar hemde bu bileşen eşdeğişintidir.[6]

Unutkan funktorler:funktör U : GrpKüme bu göndermeler kümelerin altındaki kümeye bir grup ve bir altındaki fonksiyona grup homomorfizmi bir funktördür.[7]Bu gibi "unutkan" funktör bazı yapılar,unutkan funktorlerle sonlanır.Diğer örnekler funktör RngAb bu göndermele bir abeliyen grup altında yatan halkaya katkıdır. Rng içinde morfizmler (halka homomorfizmleri) Ab içinde morfizmler olur(değişmeli grup homomorfizmaları).

Serbest funktörler: unutkan funktörlerin zıt yönüne giden serbest funktörlerdir.Serbest funktör F : KümeGrp X ile üretilen serbest grupa her X kümesini gönderir. Fonksiyonlar grup homomorfizmleri ile serbest gruplar arasında verilen gönderimdir.Kümelerin yapıları üzerinde temel birçok kategoriler için serbest yapılar var. Bakınız serbest nesne.

Homomorfizm gruplar: A, B abeliyen gruplarının her çiftine A dan B ye tüm grup homomorfizmlerin Hom(A,B) oluşan abeliyen grup atanabilir.Bu bir funktör ve bunun ilki içinde karşıtdeğişinti ve ikinci bileşen içinde eşdeğişintidir,yani bu bir Abop × AbAb funktördür.(burada Ab abeliyen grupların kategorisi ile ifade edilen grup homomorfizmleridir). Eğer f : A1A2 ve g : B1B2 Ab içinde morfizm ise grup homomorfizmi Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2g ∘ φ ∘ f ile verilir. BakınızHom funktör.

Gösterimsel funktorler: Biz herhangi bir kategori C için önceki örneği genelleme yapabiliriz.Bir C içindeki nesnelerin her X, Y çiftine X dan Yye morfizmin Hom(X,Y) kümesi atanabilir. Bu bir kümeye funktör tanımlar bu ikinci içinde karşıtdeğişinti ilk bileşen içinde eşdeğişintidir , yani o bir funktör Cop × Ckümedir. Eğer f : X1X2 ve g : Y1Y2 Ciçinde morfizmdir, ise grup homomorfizmi Hom(f,g) : Hom(X2,Y1) → Hom(X1,Y2g ∘ φ ∘ f ile verilir.

Bu gibi funktörlere gösterimsel funktörler denir. Birçok çerçevenin önemli amacı belirli bir funktör gösterilemeyecek olup olmadığını belirlemektir. tant goal in many settings is to determine whether a given functor is representable.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Funktör aksiyomların iki önemli sonucu:

  • F dönüşümleri D içindeki bir değişmeli diyagram içerisinde C içinde her değişmeli diyagram ;
  • Eğer f C içinde bir izomorfizm, ise F(f) D içinde bir izomorfizmdir .

Tek funktorlar oluşturulabilir,yani eğer F bir fanktor Adan B ye ve G bir fanktor B den C ye ise G∘F komposit fanktor formu A danCye olabilir.Fanktorların bileşimi burada birleşmeli tanımlanıyor Fanktorların düzeninin özdeşi özdeş fanktordur. Bu funktörler kategorilerin kategorilerinde örnek için küçük kategorilerin kategorisi içinde morfizm olarak kabul edilebilir olduğunu göstermektedir, .

Bir tek nesne kategori morfizmalar monoid unsurları olarak düşünülebilir, ve kategorideki bileşim monoid işlem olarak düşünülmektedir: Bir monoid olarak tek nesne ile küçük bir kategori aynı şeydir. Tek nesne kategorileri ile fanktorlar arasındaki homomorfizmalar monoid'e karşılık gelmektedir. Yani bir anlamda, keyfi kategoriler arasındaki fanktorlar birden fazla nesne ile kategorilerine monoid homomorfizmalarının genellenebilir bir türüdür.


Diğer kategorik kavramlarla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki C ve D kategoriler olsun.Fanktor kategori: Bir kategori nesnelerinin CD formlarının tüm fanktorların bileşimidir. Bu kategoride morfizmler funktorların arasındaki doğal dönüşümleridir.Fanktorlar genellikle genel özelliklerine göre tanımlandığı gibidir; örnekleri tensör çarpımı, grupların veya vektör uzaylarının direkt toplamı ve direkt çarpımı , serbest gruplar ve modüllerin yapımı, direkt ve ters limitleridir

Yukarıdaki limit ve eşlimit kavramlarının birkaç genellemesidir. Evrensel yapılar genellikle eşlenik funktor çiftlerine neden olmaktadır.

Bilgisayar uygulamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Fanktorlar bazen fonksiyonel programlama içinde görünür. örneğin, Haskell dili Functor sınıf burada fmap bazı yeni sınıf fonksiyonlara üzerinde varolan bir sınıf üzerinde (morfizmler) fonksiyonlar göndermesine kullanılan bir politipik fonksiyondur .

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag: New York, ss. 30, ISBN 978-3-540-90035-1 
  2. ^ Carnap, The Logical Syntax of Language, p. 13–14, 1937, Routledge & Kegan Paul
  3. ^ Jacobson (2009), p. 19, def. 1.2.
  4. ^ Jacobson (2009), p. 19–20.
  5. ^ Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory, Springer, ISBN 978-0-387-97710-2 
  6. ^ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4 
  7. ^ Jacobson (2009), p. 20, ex. 2.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Functors