Fraksiyonel hesap

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Şablon:Calculus

"Fraksiyonel türev" buraya yönlendirir.

Fraksiyonel hesap diferansiyel işlemcinin gerçel sayılar kuvvetleri veya karmaşık sayı kuvvetleri olasılığı çalışmalarını içeren

matematiksel analizin bir branşıdır

D = \dfrac{d}{dx},

ve integrasyon işlemcisi J. (Genellikle J diğer I-benzeri kabartma veözdeşlik ile karışıklığı önlemek için I yerine kullanılır)

Bu konu içinde ardışık uygulamalar veya fonksyon düzenine kaynak kuvvet terimleri mantığı içinde f2(x) = f(f(x)). Örneğin, one anlamlı karşılaştırmanın bir soru sorabilir

\sqrt{D} = D^{\frac{1}{2}} \,

Diferensiyasyonun bir fonksiyonel kare kökü olarak işlemci (yarı ardışık bir işlemci ), yani, bir bazı işlemci uzantıları için o

zaman bir fonksiyon diferansiyasyon una ikinci olarak aynı uygulama olacak.Daha genel olarak, tek tanımın konusunda bakılabilir.

D^a \,

a nın gerçel-değerleri için böyle bir durumda bir yol a ise bir tamsayı n değeri alarak,n-kat diferansiyasyonun kuvveti kullanılarak n > 0 için,n < 0 ise Jnin ve −ninci kuvveti kurtarıyor. Diferansiyel operatöre bu uzantı arkasındaki motive davranış Da kuvvetinin yarıgrup tam sayın için Dn in orijinal ayrık yarıgrubu bir alt grup olarak elde edilebilir a parametresi,sürekli bir yarıgrup oluşturacak olmasıdır. Sürekli yarıgrupların matematikte yaygın, ve ilginç bir teorisi var.kesirli olması gerekmez beri ardından a üssü için fraksiyon yanlış isim buraya dikkat edin;kesirli hesapin teriminin kullanımı sadece gelenekseldir.

Kesirli diferansiyel denklemler(Ayrıca olağanüstü diferansiyel denklemler olarak da bilinir) Kesirli analizin uygulaması yoluyla diferansiyel denklemlerin bir genellemesidir.

Fraksiyonel türevin doğası[değiştir | kaynağı değiştir]

Fraksiyonel türevde diğer bir önemli nokta ise x bir noktasının bir tamsayı olmasının yalnızca yerel özellik olduğu; tamsayı olmayan durumlarda ise bir şekilde,tamsayı-kuvvet türev yapacak şekilde x a çok yakın f'in değerlerine bağlı bir f fonksiyonunun x'taki fraksiyonel türevleri olduğunu söyleyemeyiz.Bu nedenle teorinin fonksiyon hakkında daha ileri bilgi içeren, sınır koşullarının bazı çeşitlerini içermesi beklenmektedir. Bir mecaz kullanmak gerekirse, fraksiyonel türev, biraz periferik görme gerektirir.Bildiğimiz kadarıyla böyle bir teorinin varlığı ile ilgili olarak, konunun temelleri 1832'deki notlarında Liouville tarafından atılmıştır. a dereceli bir fonksiyonun fraksiyonel türevi sık sık şimdi Fourier veya Mellin integral dönüşümler vasıtasıyla tanımlanır.[1]

İrdeleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada oldukça doğal bir soru bir H işlemci'sinin var olup olmadığıdır, veya yarı-türev nin, böylece

H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) .

Böyle bir işleç olduğu ortaya çıkıyor, ve gerçekten herhangi a > 0, için burada varolan bir P işleci böylece

(P ^ a f)(x) = f'(x) \,,

veya dny/dxn'tanımı ile diğer tutulan yol n nin tüm gerçel değerlerine uzanabilir.

Diyelimki f(x) ,x > 0 için tanımlı bir fonksiyon olsun.0 dan xa tanımlı form. Bu kodlanır

 ( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; dt .

Bu süreci tekrar verir

 ( J^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt,

ve isteğe bağlı olarak uzatılabilir.

Tekrarlı integrasyon için Cauchy formülü, yani

 (J^n f) ( x ) = { 1 \over (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; dt,

Gerçek n için bir genelleme basit bir yol içinde yer alır.Faktöriyel fonksiyonunun gamma işlevini kullanarak ayrık doğasını ortadan kaldırmak için bize

integral işlemcinin fraksiyonel uygulamaları doğal bir aday verir.

 (J^\alpha f) ( x ) = { 1 \over \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; dt

Bu, aslında iyi tanımlanmış bir operatördür.Bunu basitçe göstermek için J operatörü doyurucudur

 (J^\alpha) (J^\beta f)(x) = (J^\beta) (J^\alpha f)(x) = (J^{\alpha+\beta} f)(x) = { 1 \over \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; dt

Bu ilişkililiğe fraksiyonel diferintegral operatörlerin yarıgrup özelliği denir. Ne yazık ki türev operatörü D için karşılaştırılabilir süreç çok daha karmaşık, ancak gösterilebilirki D genel içinde ne değişmeli nede eklemelidır.[kaynak belirtilmeli]

Bir temel kuvvet fonksiyonun fraksiyonel türevi[değiştir | kaynağı değiştir]

f (x) = x fonksiyonun yarı türevi(mor eğri) ilk türevi(kırmızı eğri) ile birlikte (mavi eğri) .
Canlandırmada sürekli y=x basit bir güç fonksiyonunun antitürev (α = -1) ve türev (α = 1) arasında salınan türev işlemcisini gösteriyor.

varsayalımki f(x) bir formun tek terimlisi(monomiali)dir

 f(x)=x^k\;.

İlk türev genel olarak

 f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\;.

Bu tekrarlama daha genel sonuç verir

 \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;,

Yukardan gama fonksiyonu ile faktöriyel değiştirildikten sonra, bizi şuna götürür

 \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\; for k \ge 0

k=1 için ve \textstyle a=\frac{1}{2},

 \dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} =
\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}.

olarak x fonksiyonunun yarı türevini elde ederiz

Bu süreci veren tekrarlama

\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1,

Nitekim beklenen sonuçlar verecek şekilde

 \left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1.

Negatif tamsayı kuvveti k için, gama fonksiyonu tanımsız ve aşağıdaki ilişkiyi kullanmak zorunda

[2]
 \dfrac{d^a}{dx^a}x^{-k}=(-1)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} for k<0

Yukarıdaki diferansiyel operatörün bu uzantısı sadece gerçek güçlere kısıtlı örneğin, 2.inci türevi veren (1 − i)inci türevin,ayrıca a için

negatif değerler bağlamında integral veren fark olması gerekmez.

Genel bir fonksiyon f(x) ve 0 < α < 1 için,tam fraksiyonel türev

D^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha}}dt

dir keyfi α,için dolayısıyla gama fonsiyonu böyle bileşen için tanımlanamaz gerçek kısmı bir negatif tamsayıdır, Bu uygulama için gerekli kesirli türev sonrası

tamsayı türev gerçekleştirilmiştir. Örneğin,

D^{\frac{3}{2}}f(x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f(x)

Laplace dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca sorudan Laplace dönüşümü yoluyla alınabilir. Unutmadan

\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s(\mathcal L\left\{f\right\})(s)

and

\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s(\mathcal L \left\{Jf\right\} )(s)=\frac1{s^2}(\mathcal L\left\{f\right\})(s)

vs, varsayalım;

J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}(\mathcal L\{f\})(s)\right\}.

örneğin


\begin{array}{lcr}
J^\alpha\left(t^k\right) &= &\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\}\\
&= &\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)}t^{\alpha+k}
\end{array}

beklendiği gibi. yani, verilen evrişim kuralı

\mathcal L\{f*g\}=(\mathcal L\{f\})(\mathcal L\{g\})

ve kısael p(x) = xα − 1 için netlik, şunu buluruz


\begin{array}{rcl}
(J^\alpha f)(t) &= &\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\left(\mathcal L\{p\}\right)(\mathcal L\{f\})\right\}\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{array}

burada Cauchy yukarıda bize bunları verdi.

Laplace nispeten az sayıda fonksiyonlar üzerinde "iş" dönüştürür, ancak sık sık fraksiyonel diferansiyel denklemlerin çözümü için yararlıdır.

Fraksiyonel integraller[değiştir | kaynağı değiştir]

Riemann–Liouville fraksiyonel integrali[değiştir | kaynağı değiştir]

Fraksiyonel hesabın klasik formu Riemann–Liouville integrali tarafından veriliyor, bu esasen yukarıda tanımlanmıştır.Teori periyodik fonksiyonlar için (therefore including the 'boundary condition' of repeating after a period) Weyl integralidir. It is defined on Fourier series, and requires the constant Fourier coefficient to vanish (thus, it applies to functions on the unit circle whose integrals evaluate to 0).

_aD_t^{-\alpha} f(t)={_aI_t^\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t (t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)d\tau

By contrast the Grünwald–Letnikov derivative starts with the derivative instead of the integral.

Hadamard fraksiyonel integrali[değiştir | kaynağı değiştir]

Hadamard fraksiyonel integral'i J. Hadamard [3] tarafından tanıtılmış ve formül aşağıda verilmiştir,

_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \Bigg(\log\frac{t}{\tau}\Bigg)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}

t > a içindir

Fraksiyonel türevler[değiştir | kaynağı değiştir]

Klasik Newton türevleri gibi, bir kesirli türev bir kesirli integrali üzerinden tanımlanamaz

Riemann–Liouville fraksiyonel türevi[değiştir | kaynağı değiştir]

Karşılık gelen türev diferansiyel operatörler için Lagrange kuralı kullanılarak ,(nα) derecenin integrali üzerinden n-inci dereceli türev hesaplanır, α dereceli türevi elde edilir. Bu n ifadesinin önemi α dan büyük tamsayıya yakındır

 _aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n}{_aD_t^{-(n-\alpha)}}f(t)=\frac{d^n}{dt^n}{_aI_t^{n-\alpha}}f(t)

Caputo fraksiyonel türevi[değiştir | kaynağı değiştir]

Fraksiyonel türevlerini hesaplamak için başka bir seçenek var;Caputo kesirli türev. Onun 1967 makalesinde M. Caputo tarafından tanıtıldı.[4] Caputo'nun tanimlamasini kullanılarak diferansiyel denklemleri çözerken Riemann Liouville kesirli türev aksine, bu kesirli mertebeden başlangıç koşullarını tanımlamaya gerek yoktur. Aşağıdaki gibi Caputo tanımı gösterilmiştir.

 {_a^CD_t^\alpha} f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_a^t \frac{f^{(n)}(\tau)d\tau}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}

Genelleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Erdélyi–Kober işlemcisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Erdélyi–Kober işlemcisi bir integral işlemci Arthur Erdélyi ve Hermann Kober tarafından 1940'ta tanıtıldı ve aşağıdaki ile veriir

\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (t-x)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) dt

bunun genellemesi Riemann fraksiyonel integral veWeyl integral.Yeni bir genelleme aşağıdadır, bunu genellemesi Riemann-Liouville fraksiyonel integrali ve Hadamard fraksiyonel integrali. Bu [5] ile verilen

 ({}^\rho \mathcal{I}^\alpha_{a+}f)(x) = \frac{\rho^{1- \alpha }}{\Gamma({\alpha})} \int^x_a \frac{\tau^{\rho-1} f(\tau) }{(x^\rho - \tau^\rho)^{1-\alpha}}\, d\tau,

x > a için.

Fonksiyonel hesap[değiştir | kaynağı değiştir]

fonksiyonel analizin konuları içinde, fonksiyonların f(D) daha genel kuvvetlerinde spektral teorinin fonksiyonel hesabı içindeki çalışmalardır.Sözde-diferansiyel işlemcilerin teorisi D'nin kuvvetlerini ayrıca düşünmemizi sağlar.Ortaya çıkan operatörler tekil integral işlemcilerin örnekleridir; ve yüksek boyutlar için klasik teorinin genelleştirilmesine Riesz potansiyellerinin teorisi denir.Böylece bu çağdaş tutarlı teoride bir sayıdır ve bununla birlikte fraksiyonel hesap tartışılabilir. Ayrıca Erdélyi–Kober işlemcisi, Kober 1940, Erdélyi 1950–51 'nin özel fonksiyon teorisi içinde önemlidir

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Fraksiyonel kütle korunumu[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanıtım olarak Wheatcraft ve Meerschaert (2008) tarafından,[6] kütle denkleminin bir fraksiyonel korunumu kontrol hacmi sıvı akışını modellemek için gerekli olduğunda heterojenliğin ölçeğine göre yeterince büyük değildir ve kontrol hacmi içinde akı olduğunda doğrusal değildir.Başvuru yapılan yazıda, sıvı akışı için kütle denkleminin fraksiyonel korumasi :

 -\rho (\nabla^{\alpha} \cdot \vec{u}) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha}\rho(\beta_s+\phi \beta_w) \frac{\part p}{\part t}

Fraksiyonel adveksiyon dağılım denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu denklemin, heterojen gözenekli ortam içinde kirletici akışı modellemek için kullanışlı olduğu gösterilmiştir.[7][8][9]

Zaman-uzay fraksiyonel difüzyon denklemi modelleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Karmaşık ortamda anormal difüzyon süreçleri fraksiyonel-dereceli difüzyon denklem modelleri kullanılarak karakterize edilebilir.[10][11] Zaman türevi terimi uzun süre ağır kuyruk çürümesi ve yerel olmayan difüzyon için uzay türevine karşılık gelir.Uzay-zaman kesirli difüzyon yönetim denklemi olarak yazılabilir.


\frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=K (-\triangle)^\beta u.

Kesirli türevin basit bir uzantısı değişken dereceli kesirli türev, α, β ifadeleri α(x, t), β(x, t) içinde değişir.Anormal difüzyon modelleme uygulamaları için kaynak bulunabilir.[12]

Yapısal sönümleme modelleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Fraksiyonel türevler polimerler gibi bazı malzeme türlerinde viskoelastik sönümlemeyi modellemek için kullanılır.[13]

Karmaşık ortam için akustik dalga denklemleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Kompleks ortamlarda, örneğin akustik dalgaların yayılımı biyolojik dokuda, yaygın bir frekans-güç yasalarına uymanın zayıflaması anlamına gelir. Bu tür olgular, kesirli bir zaman türevlerini içeren bir nedensel dalga denklemini kullanarak tarif edilebilir:


{\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u	- \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0.}

Ayrıca [14] buradaki referanslara bakınız. Bu tür modeller birden fazla gevşeme fenomeni karmaşık ortamlarda ölçülen zayıflama doğuran, yaygın olarak tanınan hipotez ile bağlantılıdır. Bu bağlantı ayrıca [15] içindeki tanım ve araştırma makalesinde,[16] akustik zayıflamada ayrıca yazılıdır.

Kuantum teorisinde fraksiyonel Schrödinger denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Fraksiyonel Schrödinger denklemi Fraksiyonel kuantum mekaniği nin Nick Laskin tarafından incelenen bir temel denkleminin [17] formu aşağıda var:[18]

i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_\alpha (-\hbar^2\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t).

burada dalga fonksiyonu denkleminin çözümü olması için verilen bir durum vektörüne ψ(r, t) - kuantum mekaniksel parçacık için r olasılık genliği var t herhangi verilen zaman ve ħ indirgenmiş Planck sabitidir.Potansiyel enerji fonksiyonu sistemi üzerinden V(r, t) bağımlıdır.

Ayrıca, Δ = 2/r2 Laplace işlemcisidir, ve Dα fiziksel boyut ile bir skala sabitidir.[Dα] = erg1 − α·cmα·secα, ( m kütlenin parçacığı için α = 2 de, D2 = 1/2m ), ve (−ħ2Δ)α/2 işlemci is the 3-boyutlu fraksiyonel kuantum Riesz türevi ile tanımlanır


(-\hbar ^2\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf{r},t)=\frac 1{(2\pi \hbar
)^3}\int d^3pe^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar }|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (
\mathbf{p},t)\,.

Fraksiyonel Schrödinger denkleminde α indisi Lévy indisi, 1 < α ≤ 2.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ For the history of the subject, see the thesis (in French): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)
  2. ^ Bologna, Mauro, Short Introduction to Fractional Calculus, Universidad de Tarapaca, Arica, Chile, http://www.uta.cl/charlas/volumen19/Indice/MAUROrevision.pdf 
  3. ^ Hadamard, J., Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor, Journal of pure and applied mathematics, vol. 4, no. 8, pp. 101–186, 1892.
  4. ^ Caputo, Michel (1967). "Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent-II". Geophys. J. R. Astr. Soc. 13: 529–539. 
  5. ^ Katugampola, U.N., New Approach To A Generalized Fractional Integral, Appl. Math. Comput. Vol 218, Issue 3, 1 October 2011, pages 860–865
  6. ^ Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2008). "Fractional Conservation of Mass." Advances in Water Resources 31, 1377–1381.
  7. ^ Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "Application of a fractional advection-dispersion equation." Water Resources Res 36, 1403–1412.
  8. ^ Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion." Water Resources Res 36, 1413–1423.
  9. ^ Benson, D., Schumer, R., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2001). "Fractional dispersion, Lévy motion, and the MADE tracer tests." Transport Porous Media 42, 211–240.
  10. ^ Metzler, R., Klafter, J., (2000). "The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach." Phys. Rep., 339, 1-77.
  11. ^ Chen, W., Sun, H.G., Zhang, X., Korosak, D., (2010). "Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives." Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1754-1758. [1]
  12. ^ Sun, H.G., Chen, W., Chen, Y.Q., (2009). "Variable-order fractional differential operators in anomalous diffusion modeling." Physica A, 2009, 388: 4586-4592.[2]
  13. ^ Nolte, Kempfle and Schäfer (2003). "Does a Real Material Behave Fractionally? Applications of Fractional Differential Operators to the Damped Structure Borne Sound in Viscoelastic Solids", Journal of Computational Acoustics (JCA), Volume 11, Issue 3.
  14. ^ S. Holm and S. P. Näsholm, "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media," Journal of the Acoustical Society of America, Volume 130, Issue 4, pp. 2195–2201 (October 2011)
  15. ^ S. P. Näsholm and S. Holm, "Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations," Journal of the Acoustical Society of America, Volume 130, Issue 5, pp. 3038-3045 (November 2011).
  16. ^ S. P. Näsholm and S. Holm, "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation," Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No 1 (2013), pp. 26-50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 Link to e-print
  17. ^ N. Laskin, (2000), Fractional Quantum Mechanics and Lévy Path Integrals. Physics Letters 268A, 298-304.
  18. ^ N. Laskin, (2002), Fractional Schrödinger equation, Physical Review E66, 056108 7 pages. (also available online: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0206098)

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]