Fourier-Bessel serisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Fourier–Bessel serisi sayfasından yönlendirildi)
Atla: kullan, ara

Matematik'te, 'Fourier-Bessel serileri' Bessel fonksiyonu'na dayanarak belli bir tür Genelleştirilmiş Fourier serisi'ne ait (sonlu bir aralıkta sonsuz dizi açılımdır).

Fourier-Bessel serileri silindirik koordinat'da özellikle kısmi diferansiyel denklem, sistemlerinin çözümünde kullanılır.

Tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Fourier-Bessel serileri Silindirik koordinat sistemi'nin ρ koordinatının bir Fourier açılımı olarak düşünülebilir. Tıpkı Fourier serileri'nin sonlu bir aralık için sürekli Fourier Dönüşümü sonsuz aralıkta tanımlanan ve bir muadilidir,yani Fourier-Bessel serileri,sonsuz aralığında bir muadili olan Hankel dönüşümü'ne sahiptir. Çünkü Bessel fonksiyonu'nun x'ın [0,b] aralığında bir ağırlık fonksiyonu ile ilgili ortogonalliği vardır Fourier-Bessel serilerinin tanımı içinde seriye açılabilir

f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty c_n J_\alpha(\lambda_n x/b),

burada \lambda_n J_\alpha(x)'in nini sıfırıdır.Bu seri sınır koşulu  f (b) = 0 ile ilişkilidir.


ortogonallik ilişkisinden

\int_0^1 x J_\alpha(x \lambda_m)\,J_\alpha(x \lambda_n)\,dx
= \frac{\delta_{mn}}{2} [J_{\alpha+1}(\lambda_n)]^2,


katsayıları

c_n 
=\frac{\int_{0}^b x\,J_\alpha(\lambda_n x/b)\,f(x) \,dx }{\int_{0}^b x J_\alpha^2 (\lambda_n x/b) dx}
=\frac{\langle f, J_\alpha(\lambda_n x/b) \rangle}{\|J_\alpha(\lambda_n x/b)\|^2}.

tarafından verilmiştir

Alt integral değerlendirilebilir

c_n 
=\frac{\int_{0}^b x\,J_\alpha(\lambda_n x/b)\,f(x)\,dx }{b^2 J_{\alpha\pm 1}^2 (\lambda_n)/2}
,

burada artı ya da eksi işareti aynı derecede geçerlidir

Dini serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca Dini serisi olarak bilinen ikinci bir Fourier-Bessel serileri ile Robin sınır koşulu ilişkilidir.

bf'(b) + cf(b)=0,burada ckeyfi bir sabittir.

Dini serisi

f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty b_n J_\alpha(\gamma_n x/b),

ile tanımlanabilir.

burada \gamma_n x J'_\alpha(x)+cJ_\alpha(x)'in ninci sıfırıdır.


b_n = \frac{2 \gamma_n^2}{ b^2(c^2+\gamma_n^2-\alpha^2)J_\alpha^2(\gamma_n)} 
\int_{0}^b J_\alpha(\gamma_n x/b)\,f(x) \,x\,dx
.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd bas.). New York: McGraw-Hill. 
  • Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Soni, Raj Pal (1966). Formulas and Theorems for Special Functions of Mathematical Physics. Berlin: Springer. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Mathanalysis-stub