Fourier-Bessel serisi

Matematik'te, 'Fourier-Bessel serileri' Bessel fonksiyonu'na dayanarak belli bir tür Genelleştirilmiş Fourier serisi'ne ait (sonlu bir aralıkta sonsuz dizi açılımdır).

Fourier-Bessel serileri silindirik koordinat'da özellikle kısmi diferansiyel denklem, sistemlerinin çözümünde kullanılır.

Tanımı

Fourier-Bessel serileri Silindirik koordinat sistemi'nin ρ koordinatının bir Fourier açılımı olarak düşünülebilir. Tıpkı Fourier serileri'nin sonlu bir aralık için sürekli Fourier Dönüşümü sonsuz aralıkta tanımlanan ve bir muadilidir,yani Fourier-Bessel serileri,sonsuz aralığında bir muadili olan Hankel dönüşümü'ne sahiptir. Çünkü Bessel fonksiyonu'nun $x$'ın $[0,b]$ aralığında bir ağırlık fonksiyonu ile ilgili ortogonalliği vardır Fourier-Bessel serilerinin tanımı içinde seriye açılabilir

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty c_n J_\alpha(\lambda_n x/b)$,

burada $\lambda_n$ $J_\alpha(x)$'in nini sıfırıdır.Bu seri sınır koşulu $f (b) = 0$ ile ilişkilidir.

ortogonallik ilişkisinden

$\int_0^1 x J_\alpha(x \lambda_m)\,J_\alpha(x \lambda_n)\,dx = \frac{\delta_{mn}}{2} [J_{\alpha+1}(\lambda_n)]^2$,

katsayıları

$c_n =\frac{\int_{0}^b x\,J_\alpha(\lambda_n x/b)\,f(x) \,dx }{\int_{0}^b x J_\alpha^2 (\lambda_n x/b) dx} =\frac{\langle f, J_\alpha(\lambda_n x/b) \rangle}{\|J_\alpha(\lambda_n x/b)\|^2}.$

tarafından verilmiştir

Alt integral değerlendirilebilir

$c_n =\frac{\int_{0}^b x\,J_\alpha(\lambda_n x/b)\,f(x)\,dx }{b^2 J_{\alpha\pm 1}^2 (\lambda_n)/2}$,

burada artı ya da eksi işareti aynı derecede geçerlidir

Dini serisi

Ayrıca Dini serisi olarak bilinen ikinci bir Fourier-Bessel serileri ile Robin sınır koşulu ilişkilidir.

$bf'(b) + cf(b)=0$,burada $c$keyfi bir sabittir.

Dini serisi

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty b_n J_\alpha(\gamma_n x/b)$,

ile tanımlanabilir.

burada $\gamma_n$ $x J'_\alpha(x)+cJ_\alpha(x)$'in ninci sıfırıdır.

$b_n = \frac{2 \gamma_n^2}{ b^2(c^2+\gamma_n^2-\alpha^2)J_\alpha^2(\gamma_n)} \int_{0}^b J_\alpha(\gamma_n x/b)\,f(x) \,x\,dx$.

Kaynakça

• Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd bas.). New York: McGraw-Hill. 

• Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Soni, Raj Pal (1966). Formulas and Theorems for Special Functions of Mathematical Physics. Berlin: Springer. 

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric. W. "Fourier-Bessel Series". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Fourier-BesselSeries.html. 
• Fourier–Bessel series applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio's research page

Ayrıca bakınız

• Ortogonalite
• Genelleştirilmiş Fourier serisi
• Hankel dönüşümü
• Neumann polinomu