Euler toplaması

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Euler toplamı, yakınsak ve ıraksak diziler için kullanılan bir toplam yöntemidir. Bir Σan dizisinin Euler dönüşümü bir değere yakınsıyorsa bu değer Euler toplamı olarak adlandırılır.

q ≥ 0 olmak koşuluyla Euler toplamı, (E, q) olarak gösterilen genel bir yöntemler kümesi içinde sayılabilir. (E, 0) olağan (yakınsak) toplamı belirtirken (E, 1) olağan Euler toplamını ifade etmektedir. Bu yöntemlerin tümü Borel toplamından güçsüzken q > 0 için Abel toplamıyla karşılaştırılamazlar.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler toplamı, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırmak amacıyla kullanılmaktadır. Yöntem, ıraksak toplamların hesaplanmasını da olanaklı kılmaktadır.

 _{E_y}\, \sum_{j=0}^\infty  a_j := \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+y)^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} y^{j+1} a_j= \lim_{n\to \infty} \sum_{j=0}^n a_j \cdot y^{j+1} \sum_{i=j}^n \frac {{i \choose j}}{(1+y)^{i+1}}

Bu yöntem yineleme yoluyla uygulanamamaktadır. Bunun nedeni

 _{E_{y_1}}\sum \, _{E_{y_2}}\sum = \, _{E_{\frac{y_1 y_2}{1+y_1+y_2}}} \sum

eşitliğinin sağlanıyor oluşudur.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • P_k k dereceli bir polinom ise \sum_{j=0}^\infty (-1)^j P_k(j) = \sum_{i=0}^k \frac{1}{2^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} (-1)^j P_k(j) eşitliği sağlanır. Euler toplamının burada yaptığı, bir sonsuz diziyi sonlu diziye dönüştürmektir.
\zeta(-k)= -\frac{B_{k+1}}{k+1}= \frac{1}{1-2^{k+1}}\sum_{i=0}^k \frac{1}{2^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} (-1)^j (j+1)^k

Burada k bir tamsayıyı, ζ ise Riemann zeta işlevini göstermektedir.

  • \sum_{j=0}^\infty z^j= \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+y)^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} y^{j+1} z^j = \frac{y}{1+y} \sum_{i=0} \left( \frac{1+yz}{1+y} \right)^i

Uygun y değerleri için dizi \frac{1}{1-z}'ye yakınsamaktadır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]