Eğrisel koordinatlar

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
eğrisel, affine, ve kartezyen iki-boyutlu uzay içideki koordinatlar

Geometride,koordinat çizgileri eğimli Öklid uzayı içinde eğrisel koordinatların olduğu bir koordinat sistemi vardır. Bu koordinatlar her noktada yerel ters bir dönüşüm ( bire-bir Harita ) kullanarak Kartezyen koordinatları bir dizi elde edilebilir . Bu biri kendi eğrisel koordinatlar ve arkasına bir Kartezyen koordinat sisteminde verilen bir nokta dönüştürmek anlamına gelir . eğrisel koordinatlar adı Fransız matematikçi Lamé tarafından icat edildi,eğrisel sistemlerinin koordinatyüzeyi kavisli olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır . Üç boyutlu Öklid uzayında (R3) olarak eğrisel koordinat sistemlerinin iyi bilinen örnekleri , kartezyen, silindirik ve küresel polar koordinatlar . Bu alanda bir koordinat yüzeyi bir düzlemdir , örneğin z = 0 , x-y düzlemi tanımlar . Aynı alanda , küresel kutupsal koordinatlarda koordinat yüzey r = 1 kavisli birim küre , bir yüzeydir. Eğrisel koordinatları gösterimi standart koordinat sistemleri birleşik ve genel bir açıklama sunar . Eğrisel koordinatlar genellikle , örneğin, skaler , vektör ya da tensor olabilir fiziksel büyüklüklerin yeri veya dağıtım tanımlamak için kullanılır . vektör hesabı ve tensor analizi (such as the gradient, diverjans, curl, ve Laplasien)) bu miktarlar içeren matematiksel ifadeler skaler büyüklükler, vektörler ve tensörler için dönüşüm kurallarına göre , bir koordinat sisteminden diğerine dönüştürülebilir. Bu ifadeler daha sonra herhangi bir eğrisel koordinat sistemi için geçerli olur. Uygulamaya bağlı olarak, bir eğri şekilli koordinat sistemi Kartezyen koordinat sistemine göre kullanımı daha kolay olabilir. Örneğin,R3te, tanımlanan küresel simetri'ye genellikle Kartezyen koordinatlarındaki fiziksel(örneğin ,merkezi güç etkisi altında hareket parçacıkları ), bir sorunu küresel polar koordinat içinde çözmek için daha kolaydır. Belirli bir eğrisel koordinat sistemi için koordinat yüzeyleri takip sınır koşulları ile denklem bu sistemde çözmek daha kolay olabilir . Biri bir yörüngede bir parçacık için küresel koordinatlarda tercih ise bir örneği için , Kartezyen koordinatlarda dikdörtgen bir kutu içinde bir parçacığın hareketini tarif edersiniz . Küresel koordinatlar yer bilimleri, kartografi, and fizik ( kuantum mekaniği, görelilik) ) , ve mühendislik gibi alanlarda en çok kullanılan eğrisel koordinat sistemlerinden biridir.

3d içinde ortogonal eğrisel koordinatlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Üç boyutlu bir kovaryant olarak oluşturma[değiştir | kaynağı değiştir]

aynı 2 boyutta olduğu gibi, b1 gösterilebilir


\mathbf{b}_1 = p^1\mathbf{e}_1 + p^2\mathbf{e}_2 + p^3\mathbf{e}_3 = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3

Benzer denklemler için b2 ve b3 böylece standart olarak {e1, e2, e3} yerele dönüştürülür.(yerine ve normalize) taban {b1, b2, b3} Aşağıdaki denklemler sistemi tarafından:

\begin{align}\mathbf{b}_1 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\
   \mathbf{b}_2 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\
   \mathbf{b}_3 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3
\end{align}

Benzer akıl yürütme olarak, bir yerel bazdan, standart baza ters dönüşüm elde edebiliriz

\begin{align}
   \mathbf{e}_1 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} \mathbf{b}_3 \\
   \mathbf{e}_2 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} \mathbf{b}_3 \\
   \mathbf{e}_3 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \mathbf{b}_3
\end{align}

Jacobian dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Lineer denklem sistemleri matris formunda yazılabilir

\cfrac{\partial x_i}{\partial q^k} \mathbf{e}_i = \mathbf{b}_k, \quad \cfrac{\partial q^i}{\partial x_k} \mathbf{b}_i = \mathbf{e}_k.

Bu lineer sistemin katsayı matris Jacobian matris'in (ve tersidir) dönüşümüdür.Bu denlemler bir Kartezyen tabanı bir eğrisel tabana dönüştümek için kullanılabilir, veya tam tersi.

Üç boyut içinde, bu matrislerin genişletilmiş formu

\mathbf{J} = \begin{bmatrix}\cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \\
       \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \\
       \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \\
     \end{bmatrix},\quad
\mathbf{J}^{-1} = \begin{bmatrix}
       \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \\
       \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \\
       \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \\
     \end{bmatrix}

Ters dönüşüm (ikinci denklem sisteminin), bilinmeyenler eğrisel olarak vektörlerdir. Tüm noktaları için sadece bir ve temel vektörlerin yalnızca bir kümesi (başka hiçbir vektör bu noktalarda tanımlanmamış) orada var olabilir. Bu durumun lineer cebir'de tatmin edici,ancak ve ancak denklem sisteminde tek bir çözüm vardır,kendi sistemini matris belirleyicisi sıfırdan farklı ve yalnızca bir lineer denklem sistemi tek bir çözüm (Önemsiz olmayan) vardır:

 \det(\mathbf{J}^{-1})  \neq 0

arkasındaki mantığı gösteren gereksinimi ters Jacobian determinant belirliyor.

n boyutun genellemesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Christoffel sembolü[değiştir | kaynağı değiştir]

Christoffel sembolü nün ilk türü

\mathbf{b}_{i,j} = \frac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j} = \Gamma_{ijk}\mathbf{b}^k \quad \Rightarrow \quad
\mathbf{b}_{i,j} \cdot \mathbf{b}_k = \Gamma_{ijk}

Burada virgül bir kısmi türev gösterir (bkz Ricci hesabı).Bunu ifade etmek için Γijk içindeki terimlere gij dikkat edilirse


\begin{align}
g_{ij,k} & = (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k} = \mathbf{b}_{i,k}\cdot\mathbf{b}_j + \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_{j,k}
= \Gamma_{ikj} + \Gamma_{jki}\\
g_{ik,j} & = (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} = \mathbf{b}_{i,j}\cdot\mathbf{b}_k + \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_{k,j}
= \Gamma_{ijk} + \Gamma_{kji}\\
g_{jk,i} & = (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} = \mathbf{b}_{j,i}\cdot\mathbf{b}_k + \mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_{k,i}
= \Gamma_{jik} + \Gamma_{kij}
\end{align}

ile

\mathbf{b}_{i,j} = \mathbf{b}_{j,i}\quad\Rightarrow\quad\Gamma_{ijk} = \Gamma_{jik}

Yukarıdaki ilişkileri kullanarak yeniden düzenleme şunu verir

\Gamma_{ijk} = \frac{1}{2}(g_{ik,j} + g_{jk,i} - g_{ij,k}) = \frac{1}{2}[(\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_k)_{,j} + (\mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_k)_{,i} - (\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j)_{,k}]
Christoffel sembolü'nün ikinci türü
\Gamma_{ij}{}^k = \Gamma_{ji}{}^k,\quad \cfrac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j} = \Gamma_{ij}{}^k\mathbf{b}_k

Bunun anlamı

 \Gamma_{ij}{}^k = \cfrac{\partial \mathbf{b}_i}{\partial q^j}\cdot\mathbf{b}^k = -\mathbf{b}_i\cdot\cfrac{\partial \mathbf{b}^k}{\partial q^j}

Diğer ilişki aşağıdadır


\cfrac{\partial \mathbf{b}^i}{\partial q^j} = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k,\quad
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}_i = \Gamma_{ij}{}^k\mathbf{b}_k\otimes\mathbf{b}^j,\quad
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}^i = -\Gamma_{jk}{}^i\mathbf{b}^k\otimes\mathbf{b}^j

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Spiegel, M. R. (1959). Vector Analysis. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3. 
  • Arfken, George (1995). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059877-9. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Orthogonal coordinate systems