Doğruluk tablosu

Doğruluk tablosu mantıkta, özellikle Boole cebiri ve Boole fonksiyonları ile ilişkili olarak, fonksiyon değişkenlerinin bütün kombinasyonları için mantıksal ifadenin değerini hesaplamakta kullanılan bir matematiksel tablo. (Enderton, 2001)

Pratikte bir doğruluk tablosu, her giriş değişkeni için bir sütun (örneğin, A ve B) ve tabloda gösterilmek istenen mantıksal ifadenin, mümkün olan tüm çıkışlarını gösteren bir sütundan oluşur (örneğin, A XOR B). Doğruluk tablosunun her satırı, girişlerin muhtemelen kombinasyonlarından birini (örneğin, A=doğru B=yanlış) ve fonksiyonun bu değerler için sonucunu içerir. Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus adlı eseriyle çoğu zaman, bu kavramı ortaya koyan kişi olarak anılır.

Birli işlemler

Mantıksal özdeşlik

Mantıksal özdeşlik, bir mantıksal değer, genellikle bir önerme, doğru ise doğru, yanlış ise yanlış değerini üreten işlemdir.

Özdeşliğin doğruluk tablosu şu şekildedir:

Mantıksal özdeşlik

p	p
D	D
Y	Y

Mantıksal tümleme

Mantıksal tümleme, bir mantıksal değer, genellikle bir önerme, doğru ise yanlış, yanlış ise doğru değerini üreten işlemdir.

DEĞİL p (¬p, Np, Fpq ya da ~p şeklinde de gösterilebilir) için doğruluk tablosu şu şekildedir:

Mantıksal tümleme

p	¬p
D	Y
Y	D

İkili işlemler

Tüm operatörler için doğruluk tablosu

Aşağıda 2 ikili değişkenin (P, Q) oluşturabileceği olası 16 doğruluk fonksiyonunun tamamını gösteren doğruluk tablosu verilmiştir:

P	Q		0	1	2	3	4	5	6	7		8	9	10	11	12	13	14	15
D	D		Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y	Y		D	D	D	D	D	D	D	D
D	Y		Y	Y	Y	Y	D	D	D	D		Y	Y	Y	Y	D	D	D	D
Y	D		Y	Y	D	D	Y	Y	D	D		Y	Y	D	D	Y	Y	D	D
Y	Y		Y	D	Y	D	Y	D	Y	D		Y	D	Y	D	Y	D	Y	D

D = doğru ve Y = yanlış.

Anahtar:

0	Opq	xand	yanlış	Çelişki
1	Xpq	NOR	↓	Mantıksal veya değil
2	Mpq	Xq
3	Fpq	Np	¬p	Tümleme
4	Lpq	Xp	↛
5	Gpq	Nq	¬q	Tümleme
6	Jpq	XOR	⊕	Dışlayıcı veya
7	Dpq	NAND	↑	Mantıksal ve değil
8	Kpq	AND	∧	Mantıksal ve
9	Epq	XNOR	Ancak ve ancak	İki yönlü koşullu önerme
10	Hpq	q
11	Cpq	XNp	ise	Koşullu önerme
12	Ipq	p
13	Bpq	XNq	ise	Ters koşullu önerme
14	Apq	OR	∨	Mantıksal veya
15	Vpq	xnand	doğru	Totoloji

Lojik operatörler Venn şeması kullanılarak da gösterilebilir.

Mantıksal ve

Mantıksal ve, iki mantıksal değerin, genellikle iki önerme, ikisi de doğru olduğu takdirde doğru, diğer hallerde yanlış değerini üreten işlemdir.

p VE q (p ∧ q, Kpq, p & q veya p $\cdot$ q şeklinde de gösterilebilir) işleminin doğruluk tablosu:

Mantıksal ve

p	q	p ∧ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

Tabloda görüldü gibi p ve q doğru iken ve işlemi p ∧ q doğru, diğer tüm ihtimallerde p∧q yanlıştır. Başka bir ifadeyle eğer p varsa, doğruysa, p ∧ q değeri q'ya, aksi durumda p ∧ q değeri p'ye eşittir.

Mantıksal veya

Mantıksal veya iki mantıksal değerin, genellikle iki önerme, ikisinden en az biri doğru olduğu takdirde doğru, diğer hallerde yanlış değerini üreten işlemdir.

p VEYA q (p ∨ q, Apq, p || q veya p + q şeklinde de gösterilebilir) işleminin doğruluk tablosu:

Mantıksal Veya

p	q	p ∨ q
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Koşullu önerme(İse)

Koşullu önerme, iki mantıksal değerden, ilkinin doğru, ikincisinin yanlış olduğu tek durumda yanlış değeri veren işlemdir.

p ise q (p⇒q ya da Cpq olarak da gösterilebilir) için doğruluk tablosu:

Koşullu önerme

p	q	p → q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	Y	D

p→q'nun ¬p∨q'ya eşdeğer olduğu bilinmelidir.

İki yönlü koşullu önerme(Ancak ve ancak)

İki yönlü koşullu önerme iki mantıksal değerin, ikisi de doğru veya ikisi de yanlış olması halinde doğru, diğer durumlarda yanlış değeri veren işlemdir.

p XNOR q (p ↔ q , Epq, p = q ya da p ≡ q olarak da gösterilebilir) için doğruluk tablosu:

Mantıksal eşitlik

p	q	p ≡ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

Yani p ↔ q'nun sonucu, p ve q aynı mantıksal değerdeyse doğru, farklı ise yanlıştır.

Dışlayıcı veya

Dışlayıcı veya iki mantıksal değerin, genellikle iki önerme, ikisinden biri doğru olduğu takdirde doğru ancak ikisi de doğru veya yanlış ise yanlış değerini üreten işlemdir.

p XOR q (p ⊕ q, Jpq ya da p ≠ q şeklinde de gösterilebilir) için doğruluk tablosu:

Dışlayıcı veya

p	q	p ⊕ q
D	D	Y
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

İki önerme için, XOR ( p ∧ q' ) ∨ ( p' ∧ q ) olarak yazılabilir.

Mantıksal vedeğil

Mantıksal vedeğil iki mantıksal değerin, genellikle iki önerme, ikisi de doğru ise yanlış değerini üreten işlemdir. Başka bir deyişle değerlerden en az biri yanlış ise doğru üretir.

p NAND q (p ↑ q, Dpq veya p | q şeklinde de gösterilebilir) işleminin doğruluk tablosu::

Mantıksal vedeğil

p	q	p ↑ q
D	D	Y
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	D

Vedeğil, NAND, lojiği ve ile değil işlemlerinin birleşiminden oluşur.

Ve işleminin değili: ¬(p∧q), ya da değillerin veyası: (¬p)∨(¬q) olarak şu şekilde gösterilebilir:

p	q	p∧q	¬(p∧q)	¬p	¬q	(¬p)∨(¬q)
D	D	D	Y	Y	Y	Y
D	Y	Y	D	Y	D	D
Y	D	Y	D	D	Y	D
Y	Y	Y	D	D	D	D

Mantıksal veyadeğil

Mantıksal veyadeğil iki mantıksal değerin, genellikle iki önerme, ikisi de yanlış ise doğru değerini üreten işlemdir. Başka bir deyişle değerlerden en az biri doğru ise yanlış üretir.

p NOR q (p ↓ q, Xpq veya p ⊥ q şeklinde de gösterilebilir) işleminin doğruluk tablosu:

Mantıksal veyadeğil

p	q	p ↓ q
D	D	Y
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

Veya işleminin değili ¬(p∨q), ya da değillerin vesi (¬p)∧(¬q) olarak şu şekilde gösterilebilir:

p	q	p∨q	¬(p∨q)	¬p	¬q	(¬p)∧(¬q)
D	D	D	Y	Y	Y	Y
D	Y	D	Y	Y	D	Y
Y	D	D	Y	D	Y	Y
Y	Y	Y	D	D	D	D

Kaynakça

Wikimedia Commons'ta

Doğruluk tablosu ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunmaktadır.