Derece (Topoloji)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Topolojide derece, aynı boyutlu topolojik çokkatlılar arasındaki sürekli gönderimler için tanımlıdır. Çokkatlılar pürüzsüzse ve aradaki gönderim de pürüzsüzse gönderimin derecesi, olağan değerlerinin ters görüntüsündeki nokta sayısıyla ilişkilidir.


Matematiksel Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Diferansiyel Topolojide tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

X ve Y, n boyutlu pürüzsüz çokkatlılar olsun. X tıkız ve kenarsız (kapalı), Y ise bağlantılı olsun. X'ten Y'ye pürüzsüz bir f gönderimi ve y=f(x) olmak üzere X ve Y'de x ve y noktaları verilsin. x in f gönderiminin kritik noktası olması demek f nin x noktasındaki türevinin rankının n olması demektir. Bu durumda y noktasına f nin bir kritik değeri denir. Y'de kritik olmayan tüm değerlere olağan değer denir. y olağan bir değer olmak üzere y ye giden noktaların mod 2'de sayılmasıyla hesaplanan sayıya f nin mod 2 derecesi denir ve deg_2 f olarak gösterilir:

deg_2 f = \# f^{-1}(y).

Burada \# işareti, kendisini izleyen f^{-1}(y) kümesinin eleman sayısını göstermektedir. Bu sayının sonlu olması, X'in tıkızlığı ve y'nin olağan değer olmasıyla garanti edilir.

X ve Y çokkatlıları aynı zamanda yönlüyse, her birine verilen birer yön aracılığıyla tamsayı değerli bir derece tanımlanabilir. Şöyle ki, f X'ten Y'ye pürüzsüz bir gönderim ve y, f nin Y'de olağan bir değeri olsun. y ye giden her x noktası için, f nin x teki türevini df(x) olarak gösterelim. df(x), X'in x teki teğet vektör uzayı T_x X ten Y'nin y deki teğet vektör uzayı T_y Y ye doğrusal bir dönüşümdür. Seçilmiş yönlerin belirttiği tabanlarda hesaplanmış df(x) in determinantı pozitifse x noktasını +1, negatifse -1 sayarak elde edilen sayıya f nin derecesi denir ve deg f olarak gösterilir:

deg f = \sum_{x\in f^{-1}(y)} \mbox{isaret(det}(Df(x))).