Del işlemcisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve \nabla simgesiyle gösterilir.

Del operator,
represented by
the nabla symbol

Bu işlemci fiziksel matematikte ve yöney (vektöre) analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir uzlaşımdır. Temelde kısmi türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel (vektörel) ve sayıl (skaler) alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değişmeli değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Del işlemcisi tam türevden tanımlanır:

dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=(\hat e_x \frac{\partial F}{\partial x}+ \hat e_y \frac{\partial F}{\partial y}+ \hat e_z \frac{\partial F}{\partial z}) \cdot (e_x dx + e_y dy + e_z dz)=\vec \nabla F \cdot d \vec r

O halde, işlemci

\vec \nabla = \hat e_x \frac{\partial}{\partial x}+ \hat e_y \frac{\partial}{\partial y}+ \hat e_z \frac{\partial}{\partial z}

olarak tanımlanmış olur. Burada {\partial} / {\partial x_i} işlemcisi kısmi türev, \hat e_i'ler de birim yöneydir. i={1,2,3) n boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

 \vec\nabla = \sum_{i=1}^n  \hat e_i {\partial \over \partial x_i}

olarak genellenebilir. Buradaki e_i 'ler birim yöneylerdir ve i=1,2,...,n alınır.

Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

 \nabla_i = \hat e_i \frac{\partial}{\partial x_i}.

şeklinde de gösterilebilir. Tensör gösteriminde F 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

\nabla_i F = \frac{\partial F}{\partial x_i} = \partial_i F = F_{,i}

Burada i=1,2,3 alınır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

\nabla \cdot \vec D = \rho_s
\nabla \cdot \vec B = 0
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B} {\partial t}
\nabla \times \vec H = \vec J_s + \frac{\partial \vec D} {\partial t}
\vec F=-\nabla \Phi

ifadesi geçerlidir ki burada \Phi göndermesi, eğer F elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer F manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer F kütleçekim kuvveti ise kütleçekim alanıdır.

\nabla^2 F - \frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 F}{\partial^2 t}=0
\square =  {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }

Özel görelilikte del işlemcisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi, 3-yöneyler Latin harfleriyle (i,j,k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan harfleriyle (\alpha, \beta, ..., \mu, \nu, ... ) gösterilmesi adet olmuştur.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait kısmi türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:

\partial_\mu = (\frac{\partial}{\partial ct}, \vec \nabla) =  (\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

Burada \mu=0,1,2,3 alınır ve c ışıkhızıdır.

Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:

\frac{\partial F}{\partial x_\mu} = \partial_\mu F = F_{,\mu}

Burada \mu={0,1,2,3} alınır.

Maxwell denklemlerinin tensör gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Maxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.

\partial_\mu F^{\mu\nu}= J^{\nu}
\partial_{\sigma} F_{\mu\nu} + \partial_{\nu} F_{\sigma\mu} + \partial_{\mu} F_{\nu\sigma}=0

Bu denklemleri daha da sade yazabiliriz:

{F^{\mu\sigma}}_{,\mu}= J^{\nu}
\epsilon_{\tau\mu\nu\sigma} {F^{\nu\sigma}}_{,\mu}=0

Buradaki \epsilon_{\delta\alpha\beta\gamma} çarpanı Levi-Civita Tensörüdür.[1] [2] [3]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5. 
  2. ^ Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Calculus". http://jeff560.tripod.com/calculus.html. 
  3. ^ Moler, ed., Cleve (26 Ocak 1998). "History of Nabla". netlib.org. http://www.netlib.org/na-digest-html/98/v98n03.html#2. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]