Değişken değiştirme

Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, ham değişkende yerine konur.

Basit örnek

Sistem aşağıdaki denklemlerden oluşsun.

$xy+x+y=71$ (Denklem I)

$x^2y+xy^2=880$ (Denklem II)

Burada, $x$ ve $y$ pozitif tamsayı ve $x>y$ olsun.

Bu sistemin normal çözümü zor değildir. Fakat biraz yorucu olabilir. (Denklem II)'yi şöyle yazabiliriz;

$xy(x+y)=880$ (Denklem III)

Burada $s=x+y$ ve $t=xy$ değişken değişimlerini uygulayalım. Böylece sistemde

(Denklem I)'e göre $s+t=71$ ve (Denklem II)'ye göre $st=880$ olur. Bunun çözümü;

$(s,t)=(16,55)$ veya, (I.çift)

$(s,t)=(55,16)'$dır. (II.çift)

(I.çift)'i ele alırsak; $x+y=16$ ve $xy=55$ olur. Bu da, $(x,y)=(11,5)$'i verir.

(II.çift)'i ele alırsak; $x+y=55$ ve $xy=16$ olur. Bunun çözümü yoktur. Sonuçta çözüm; $(x,y)=(11,5)$'dir.

Biçimsel tanıtım

$A$, $B$ diferansiyellenebilir çokkatlı ve $\Phi: A \rightarrow B$ aralarında bir $C^r$-diffeomorfizması olsun. Burada: $\Phi$, $r$ kere diferansiyellenebilen, $A$'dan $B$'ye bir örten fonksiyon olsun. Bunu tersi yine $r$ kere diferansiyellenebilen $B$'den $A$'ya bir fonksiyondur. Burada $r$, herhangi bir doğal sayı (veya sıfır), $\infty$ (düzgün) veya $\omega$ (analitik fonksiyondur).

$\Phi$, düzenli koordinat sistemi olarak adlandırılır. Burada düzenli, $\Phi$'nin $C^r$-siz olduğunu ifade eder.

Diğer örnekler

Koordinat dönüşümü

Silindirik koordinat sistemi kullanıldığında bazı sistemlerin çözümü kolaylaşır. Örneğin aşağıdaki denklem;

$U(x, y, z) := (x^2 + y^2) \sqrt{ 1 - \frac{x^2}{x^2 + y^2} } = 0.$

bazı fiziksel problemlerdeki bir potansiyel enerji fonksiyonu olabilir. Bunun çözümü hemen görülemeyebilir. Fakat aşağıdaki biçime dönüştürülürse;

$\displaystyle (x, y, z) = \Phi(r, \theta, z)$, burada $\displaystyle \Phi(r, \theta, z) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta), z)$ olur.

Eğer $\theta$, $2\pi$ periyodunda örneğin $[0, 2\pi]$ döndürülürse, $\Phi$ örten fonksiyon olmaz. Bu yüzden $\Phi$, örneğin $(0, \infty] \times [0, 2\pi) \times [-\infty, \infty]$ aralığında sınırlanabilir. $\Phi$, orjinde örten fonksiyon olmasaydı $r = 0$'ın nasıl hesaba katılmadığına dikkat edin ($\theta$ herhangi bir değer alabilir ve nokta (0, 0, z) olurdu). Ardından yeni ifadede oluşan tüm asıl değişkenler $\Phi$ ile değiştirilir ve $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ kullanılır. Böylece

$V(r, \theta, z) = r^2 \sqrt{ 1 - \frac{r^2 \cos^2 \theta}{r^2} } = r^2 \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = r^2 \sin\theta$ elde edilir.

Şimdi çözüm $\sin(\theta) = 0$ için bulunabilir. Çünkü $\theta = 0$ veya $\theta = \pi$'dir. $\Phi$'nin tersi kullanılırsa, $x \not= 0$ iken $y = 0$ olur. $y = 0$ için fonksiyonun orjin haricinde yok olduğunu gördük.

Burada $r = 0$ aldığımıza dikkat edin. Her ne kadar asıl problemde bir çözüm olmazsa bile, orjin de bir çözümdü. Burada $\Phi$'nin örten fonksiyonu çok önemlidir.

Diferansiyel alma

Zincir kuralı, karmaşık diferansiyel denklemleri basitleştirmek için kullanılır. Örneğin aşağıdaki denklemin türevini hesaplamak için;

$\frac{d}{d x}\left(\sin(x^2)\right)\,$

x² = u şeklinde değişken değişimi yapılabilir. Ardından zincir kuralı ile:

$\frac{d}{d x} = \frac{d}{d u} \frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x}\left(u\right) \frac{d}{d u} = \frac{d}{d x}\left(x^2\right) \frac{d}{d u} = 2 x \frac{d}{d u}\,$

böylece denklem aşağıdaki biçime dönüşür;

$\frac{d}{d x}\left(\sin(x^2)\right) = 2 x \frac{d}{d u}\left(\sin(u)\right) = 2 x \cos(x^2)\,$

Burada son adım u yerine x² yazmaktır.

İntegral alma

Zor integraller değişken değiştirerek hesaplanabilir. Burada yerine koyarak integralleme yapılır ve yukarıdaki zincir kuralı] kullanılır. Zor integralleri hesaplamak için Jakobi matris ve determinantı kullanılarak değişken değiştirilir. Böylece denklem koordinat sistemlerine dönüştürülür.

Diferansiyel denklemler

Diferansiyel ve integral alırken kullanılan değişken değiştirme yöntemi kalkülüste öğretilir.

Değişken değiştirmenin çok geniş kullanımı diferansiyel denklemlerde ortaya çıkar. Buradaki bağımsız değişken zincir kuralı kullanılarak değiştirilebilir veya bağımlı değişkenler bazı diferansiyellerin alınması sonucunda değiştirilir. Can alıcı değişiklikler, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin, nokta ve bağlantı dönüşümlerinde katıştırılmasıdır. Bu çok karmaşıktır, fakat bir o kadar da rahattır.