Coxeter ögesi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematikte, Coxeter sayıları h bir Coxeter ögesinin bir indirgenemeyen Coxeter grubunun, bundan dolayı ayrıca bir kök sisteminin veya o bir Weyl grubunun sırasıdır . O H.S.M. Coxeter adına ithaf edilmiştir.[1]

Tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Uyarı: bu yazı bir sonlu Coxeter grubunu varsayar.Sonsuz Coxeter grubu için, burada çoklu Coxeter ögelerinin eşleniklerinin sınıfıdır, ve bunun sonlu sırası var.

Burada birçok farklı yollardan tanımlanan bir indirgenemez kök sisteminin h Coxeter sayısıdır.

Bir Coxeter ögesi tüm basit yansımaların bir çarpımıdır.Bunun içinde sıralı olan bağımlı çarpanlar alınıyor,ama farklı eşlenik ögelerin farklı sıralı çarpımları, bunların aynı sırası var.

  • Coxeter sayıları rank tarafından bölünen köklerin sayılarıdır.
  • Coxeter sayıları bir Coxeter ögesinın sırasıdır; unutmadan eşlenik ögelerin aynı sırası var
  • Eğer en yüksek kök ∑miαi için basit kökler αi, ise Coxeter sayısı 1 + ∑midir
  • Lie cebirine uyanın boyutu n(h + 1)dir, burada n rank'tır ve h Coxeter sayılarıdır.
  • Coxeter sayıları Weyl grubu hareketi olarak polinomsuların bir temel değişmezinin en yüksek derecesidir .
  • Coxeter sayıları aşağıdaki tablo tarafından verilendir:
Coxeter grubu h Coxeter sayısı İkili Coxeter sayıları Temel değişmezlerin derecesi
An CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png n + 1 n + 1 2, 3, 4, ..., n + 1
Bn CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 2n 2n − 1 2, 4, 6, ..., 2n
Cn n + 1
Dn CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.png...CDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 2n − 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E6 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12
E7 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8 CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12 9 2, 6, 8, 12
G2 = I2(6) CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png 6 4 2, 6
H3 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 2, 6, 10
H4 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 30 2, 12, 20, 30
I2(p) CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png p 2, p

Hareket eden polinomların Coxeter grubunun değişmezleri bir polinom cebiri oluştururlar Üreteçler kendilerininde temel değişmezlerdir; dereceleri yukarıdaki tabloda verilmiştir. Unutmadan Eğer m bir temel değişmezin derecesi ise bu yüzden h + 2 − mdir.

Bir Coxeter elemanının özdeğer numaraları ei(m − 1)/h olarak m temel değişmezleri derece içinden geçer. Bu m = 2 ile başlayarak,birimin ilkel hinci kökünü içerir, ζh = ei/h, bunun önemi Coxeter düzlemi içinde, aşağıdadır.

Coxeter ögeleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Expand section

A_{n-1} \cong S_nin Coxeter ögeleri,simetrik grup olarak n ögeleri düşünün,n-döngüdür: komşu transpozisyonları için basit yansımalar (1,2), (2,3), \dots, bir Coxeter ögesi n-döngüdür (1,2,3,\dots, n).[2]

çift yüzlü Dihm iki yansıma bu form tarafından üretilen 2\pi/2m bir açısıdır ve böylece bunların çarpımı 2\pi/m tarafından bir rotasyonudur.

Coxeter düzlemi[değiştir | kaynağı değiştir]

E8 in izdüşümü Coxeter düzlemi üzerine kök sistem, 30-kat simetri göaterir.

verilen bir w, Coxeter ögesi için burada bir tek P düzlemi olarak bunun 2π/h.tarafından dönme w hareketidir Buna Coxeter düzlemi denir ve bunun P düzlemidir özdeğeri ei/h ve e−2πi/h = ei(h−1)/h.[3] Bu düzlemin was ilk sistematik çalışması in Coxeter 1948,[4] de yapıldı ve Steinberg 1959de kullanılan altdizisi tektip Coxeter ögelerinin özellikler hakkında kanıtlar sağlar.[4]

Coxeter düzlemi yüksek-boyutlu politoplar ve kök sistemlerinin çizilen diyagramlarında sıklıkla kullanılıyor – politopların köşe ve kenarları , veya kökler (ve burada bazı kök bağlantıları) Coxeter düzlemi üzerine dik yansıtılandır, bir Petrie poligonu ile h-katlı rotasyonel simetri elde edilir.[5].Kök sistemi için, sıfıra giden hiçbir kök haritaları yoktur,Coxeter ögesine karşılık gelen herhangi bir kök veya eksen yerine (özdeğer 1 veya −1 yok)sabit değildir,h-kat dairesel düzenlemeler altında w formundaki yörüngelerin izdüşümleri [5] ve burada bir boş merkezdir,E8 diyagram içindeki gibi yukarıda sağdadır. Politoplar için, bir köşe aşağıda gösterildiği gibi haritada sıfır olabilir.Coxeter düzlemi üzerinde izdüşümler Platonik katılar için aşağda gösterildiği gibidir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]