Cisim (cebir)

Başlığın diğer anlamları için Cisim sayfasına bakınız.

Cisim, halka ve öbek gibi soyut bir cebirsel yapıdır. Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) yapılabilen, ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.

Her cisim bir halkadır, fakat bunun tersi geçerli değildir. Mesela tam sayılar kümesi Z bir halka olduğu halde, içinde bölme yapılamadığı için cisim değildir. Değişmeli bölenler halkasına cisim denir.

Cisimlere örnek olarak, rasyonel sayılar kümesi Q, gerçel sayılar kümesi R ve karmaşık sayılar kümesi C verilebilir. Ayrıca, p bir asal sayı olmak üzere, 0'dan p - 1'e kadar olan tam sayıların kümesi de modüler aritmetik aracılığıyla bir cisim oluşturur. Bu cisim genelde Z/pZ sembolüyle gösterilir.

Tanım

F boş olmayan bir küme olsun, ve bu kümenin elemanları arasında + ve $\cdot$ ile göstereceğimiz iki tane ikili işlem tanımlanmış olsun. (F, +, $\cdot$) üçlüsü aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bu üçlüye cisim adı verilir:

• $a, b \in F$ ise, $a + b = b + a\;$ ve $a \cdot b = b \cdot a$.

• $a, b, c \in F$ ise, $a + (b + c) = (a + b) + c\;$ ve $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$.

• $a, b, c \in F$ ise, $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.

• $F\,$ kümesinde $0\,$ adında öyle bir eleman vardır ki, her $a \in F$ için $a + 0 = a\,$ eşitliğini sağlar.

• $F\,$ kümesinde $1\,$ adında, öyle bir eleman vardır ki, $0\,$ 'dan farklı her $a \in F$ için $a \cdot 1 = a\,$ eşitliğini sağlar.

• Her $a \in F$ için, $F\,$ kümesinde $-a\,$ adında öyle bir eleman vardır ki, $a + (-a) = 0\,$ eşitliğini sağlar.

• Her $0 \neq a \in F$ için, $F\,$ kümesinde $a^{-1}\,$ adında öyle bir eleman vardır ki, $a \cdot a^{-1} = 1\,$ eşitliğini sağlar.

Tarih

Cisim kavramını ilk ortaya atan Richard Dedekind olmuştur. Dedekind, bu yapı için Almanca'da "cisim" ya da "vücut" anlamına gelen Körper kelimesini kullanmıştır.