Cesàro toplaması

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel çözümlemede Cesàro toplamı bir sonsuz diziye toplam değeri atamanın farklı bir yoludur. Bir dizi A toplamına yakınsıyorsa bu dizinin Cesàro toplamı da A olur. Cesàro toplamı, yakınsamayan dizilere de değer atayabilmektedir. Ne var ki, artı sonsuz değerine yönelen bir dizi hiçbir koşulda sonlu bir toplam değerine sahip olamayacaktır.

Cesàro toplamı İtalyan çözümlemeci Ernesto Cesàro'nun (1859–1906) adını taşımaktadır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

{an} bir dizi olmak kaydıyla

s_k = a_1 + \cdots + a_k

ifadesinin

\sum_{n=1}^\infty a_n

dizisinin k. kısmi toplamı olduğu varsayılsın.

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots s_n}{n}= \lim_{n\to\infty} \frac{n a_1+ (n-1)a_2+ \cdots  1 a_n}{n} = A

eşitliği sağlanıyorsa {an} dizisinin Cesàro toplamı A olur.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

n ≥ 1 için an = (-1)n+1 koşulunun sağlandığı varsayılsın. Bu durumda {an}

1, -1, 1, -1, \ldots

dizisi biçiminde ifade edilebilir.

Böylece, kısmi toplamlar dizisi {sn}

1, 0, 1, 0, \ldots

olur. Grandi dizisi olarak bilinen bu ifade yakınsamamaktadır. Öte yandan, {(s1 + ... + sn)/n} dizisinin terimleri

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots

biçiminde yazılabilir ve

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2

eşitliği sağlanır. Bu, {an} dizisinin Cesàro toplamının 1/2 olduğunu göstermektedir.

(C, α) toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ernesto Cesàro 1890 yılında geniş bir toplam yöntemleri ailesi tanımlamıştır. n sıfırdan büyük bir tamsayı olmak koşuluyla (C, n) biçiminde ifade edilen bu yöntemlerden (C, 0) olağan toplamayı, (C, 1) ise yukarıda tanımlanan Cesàro toplamını belirtmektedir.

Daha yüksek dereceli yöntemler şu biçimde tanımlanabilir: Bir Σan dizisi için

A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

büyüklükleri tanımlanır ve 1 + 0 + 0 + 0 + … dizisi için Enα, Anα değerine eşitlenir. Böylece, Σan'nin (C, α) toplamı

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

olarak hesaplanır.[1] Bu tanım, ilk toplam yönteminin \alpha kez yinelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

(C,\alpha)-\sum_{j=0}^\infty a_j = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=0}^n \frac{{n \choose j}}{{n+\alpha \choose j}} a_j

Daha genel anlamda, \alpha\in\mathbb{R}\setminus(-\mathbb{N}) olmak koşuluyla Anα

\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}}

dizisinin katsayılarından elde edilebiliyor ve Enα yukarıdaki gibi tanımlanıyorsa (gerçekte Enα, -1 - α üslü binom katsayılarını ifade etmektedir) Σ an'nin (C, α) toplamı yukarıdaki sonucu verir.

(C, α)'nın tanımlı oluşu daha üst düzey toplamların da var olduğunu göstermektedir. Ayrıca, α > -1 ise an = o(nα) eşitliği de sağlanır.

Bir integralin Cesàro toplanabilirliği[değiştir | kaynağı değiştir]

α ≥ 0 olmak koşuluyla

\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^\lambda\left(1-\frac{x}{\lambda}\right)^\alpha f(x)\, dx

tanımlı ise \scriptstyle{\int_0^\infty f(x)\,dx} integralinin (C, α) toplamı tanımlı ve sonludur.[2] Bu limit (tanımlıysa) integralin (C, α) toplamına eşittir. Dizi toplamına benzer biçimde, α=0 iken sonuç, belirsiz integralin yakınsaklığıdır. α=1 iken (C, 1) yakınsaklığı

\lim_{\lambda\to \infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^\lambda\left\{\int_0^xf(y)\, dy\right\}\,dx

limitine eşittir. Bu aynı zamanda kısmi integraller ortalamasının limitidir.

Bir integral herhangi bir α ≥ 0 değeri için (C,α) toplamına sahipse bu integralin (C,β) toplamı tüm β > α değerleri için tanımlıdır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Shawyer, Bruce; Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ss. 16-17. ISBN 0-19-853585-6. 
  2. ^ Titchmarsh, E (1948). "§1.15". Introduction to the theory of Fourier integrals (2 bas.). New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co.. ISBN 978-0828403245. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]