Cauchy çarpımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte Cauchy çarpımı, a_n ve b_n gibi iki dizinin

c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.

İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi (R[\N]) yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.

Diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

a_n ve b_n dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.

\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n

Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. n = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n

"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.

İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla

\sum_{n=0}^\infty c_n

sonsuz dizi toplamının

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)

çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonlu diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

Tüm i>n değerleri için x_i = 0 ve tüm i>m değerleri için y_i = 0 koşulları sağlanıyorsa  \sum x ve \sum y'nin Cauchy çarpımı (x_0+\cdots + x_n)(y_0+\cdots+y_m) olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

Sonsuz diziler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • a,b\in\mathbb{R} değerleri için x_n = a^n/n!\, ve y_n = b^n/n!\, eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.
 C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}

eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan \exp(a) = \sum x ve \exp(b) = \sum y eşitlikleri \exp(a+b) = \sum C(x,y) sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.

\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) (tüm a,b\in\mathbb{R} değerleri için)

  • Tüm n\in\mathbb{N} değerleri için  x(n) = 1 koşulu sağlanıyorsa C(x,x)(n) = n+1 eşitliği tüm n\in\mathbb{N} değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı
\sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)

olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.

Yakınsaklık ve Mertens kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

x ve y gerçel diziler olmak üzere, \sum y dizisi Y'ye yakınsıyor ve \sum x dizisi X'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı ( \sum C(x,y)) XY'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin, x_n = (-1)^n /n dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak C(x,x) sıfıra yakınsamamaktadır.

Mertens kuramının kanıtı[değiştir | kaynağı değiştir]

X_n = \sum_{i=0}^n x_i, Y_n = \sum_{i=0}^n y_i ve C_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i) eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i} sonucuna ulaşılır ve böylece C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla, \sum x mutlak yakınsak ve \sum y yakınsak olduğundan tüm nN değerleri için |Y_n-Y|<\frac{\varepsilon/4}{\sum_{n=0}^\infty |x_n|+1} eşitsizliğini sağlayan bir N tamsayısı ve tüm n\geq M değerleri için |x_{n-N}|<\frac{\varepsilon}{4N\sup |Y_n-Y|+1} eşitsizliğini sağlayan bir M tamsayısı bulunur. Ayrıca, n\geq L koşulu sağlanıyorsa |X_n-X|<\frac{\varepsilon/2}{|Y|+1} eşitsizliğini sağlayan bir L tamsayısı da bulunur. Böylece; N, M ve L'den büyük tüm n tamsayıları için

|C_n - XY| = |\sum_{i=0}^n (Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)| \leq \sum_{i=0}^{N-1} |Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum_{i=N}^n |Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|<\varepsilon

eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği \sum C(x,y)\to XY ifadesi de geçerlidir.

Cesàro kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

x ve y gerçel diziler olmak üzere \sum x\to A ve \sum y\to B ise

\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^n C(x,y)_n\right)\to AB

ifadesi yazılabilir.

Genellemeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar \mathbb{C} (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı \mathbb{R}^n uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı ((\dots,1,\dots)) tanımsızdır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]