Borel toplamı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Borel toplamı dizilerin toplamına ilişkin bir genellemedir. Bu terim, herhangi bir toplam değeri olmayan diziler için bile bir büyüklük değeri tanımlayabilmektedir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

y = \sum_{k = 0}^\infty y_kz^{-k}

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve y'nin Borel dönüşümü \mathcal{B}y aşağıdaki biçimde tanımlansın.

\sum_{k=0}^\infty \frac{y_{k+1}}{k!}t^k
  1. \scriptstyle\mathcal{B}y'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
  2. \scriptstyle\mathcal{B}y'nin \scriptstyle\widehat{y}(t) gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
  3. \scriptstyle\widehat{y}(t)'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı, \scriptstyle\widehat{y}(t)'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

Geçmiş[değiştir | kaynağı değiştir]

Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor:

« Borel, o zamanlar tanınmayan bir genç, ürettiği toplam yönteminin klasik ıraksak diziler için 'doğru' sonuçlar verdiğini gördü. Bunun üzerine, zamanın karmaşık çözümleme uzmanı Mittag-Leffler'i görmek için Stockholm'e gitmeye karar verdi. Mittag-Leffler, Borel'i nazik bir biçimde dinledikten sonra elini öğretmeni Weierstrass'ın kitabının üzerine koydu ve ekledi: "Usta buna izin vermiyor".[1] »

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

 \int_{0}^{\infty} s^{-x}f(x)\,dx \rightarrow s\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{f(x)t^{x}}{\Gamma (x+1) }\exp(-st)\,dt\,dx = \frac{F(\ln(s))}{\ln(s)}

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{i\omega x}\,dx

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Andrianov & Manevitch (2003). Asymptotology: Ideas, Methods, and Applications. Springer. ss. 16. ISBN 1402009607.