Boşuzay (Dizey)

Doğrusal cebirde, bir M dizeyin boşuzayı (kernel, null space) Mx=0 bağıntısını sağlayacak şekilde x yöneylerinin oluşturduğu kümedir. Bir M dizeyinin boşuzay boyutu M dizeyine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız x yöneylerine göre hesaplanır.

Tanım

m × n boyutlarına sahip bir M dizeyinin boşuzay kümesi aşağıdaki şekilde gösterilir:

$\mbox{N}(\mathbf{M})=\mbox{Null}(\mathbf{M})=\mbox{Ker}(\mathbf{M}) = \left\{ \textbf{x}\in\mathbb{C}^n : \mathbf{M}\textbf{x} = \textbf{0} \right\}\text{,}$

burada 0, m bileşenli bir sıfır yöneyine karşılık gelmektedir. Mx = 0 şeklindeki dizey denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:

$\mathbf{M}\textbf{x}=\textbf{0} \;\;\Leftrightarrow\;\; \begin{alignat}{6} M_{11} x_1 &&\; + \;&& M_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& M_{1n} x_n &&\; = 0& \\ M_{21} x_1 &&\; + \;&& M_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& M_{2n} x_n &&\; = 0& \\ \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && \vdots\,& \\ M_{m1} x_1 &&\; + \;&& M_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& M_{mn} x_n &&\; = 0. & \end{alignat}$

M dizeyinin boşuzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.

Örnek

Aşağıdaki M dizeyini düşünelim

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}.$

Bu M dizeyinin boşuzayını bulmak için, (x, y, z) ∈ R³ üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz

$\begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\text{.}$

Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:

$\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& 5z &&\; = \;&& 0, \\ -4x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 0.\\ \end{alignat}$

Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde

$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} -1\\ -26\\ 16 \end{bmatrix}.$

çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi birşey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.

Kaynakça

• İngilizce vikipedi