Boşuzay (Dizey)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Doğrusal cebirde, bir M dizeyin boşuzayı (kernel, null space) Mx=0 bağıntısını sağlayacak şekilde x yöneylerinin oluşturduğu kümedir. Bir M dizeyinin boşuzay boyutu M dizeyine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız x yöneylerine göre hesaplanır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

m × n boyutlarına sahip bir M dizeyinin boşuzay kümesi aşağıdaki şekilde gösterilir:

\mbox{N}(\mathbf{M})=\mbox{Null}(\mathbf{M})=\mbox{Ker}(\mathbf{M}) = \left\{ \textbf{x}\in\mathbb{C}^n : \mathbf{M}\textbf{x} = \textbf{0} \right\}\text{,}

burada 0, m bileşenli bir sıfır yöneyine karşılık gelmektedir. Mx = 0 şeklindeki dizey denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:

\mathbf{M}\textbf{x}=\textbf{0} \;\;\Leftrightarrow\;\;  \begin{alignat}{6}
M_{11} x_1 &&\; + \;&& M_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& M_{1n} x_n &&\; = 0&    \\
M_{21} x_1 &&\; + \;&& M_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& M_{2n} x_n &&\; = 0&    \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; && \vdots\,& \\
M_{m1} x_1 &&\; + \;&& M_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& M_{mn} x_n &&\; = 0. &
\end{alignat}

M dizeyinin boşuzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki M dizeyini düşünelim

\mathbf{M} = \begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}.

Bu M dizeyinin boşuzayını bulmak için, (xyz) ∈ R3 üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz

\begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\text{.}

Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:

\begin{alignat}{7}
 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& 5z &&\; = \;&& 0, \\
-4x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 0.\\
\end{alignat}

Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde


	\begin{bmatrix}
		x\\
		y\\
		z
	\end{bmatrix} = c\begin{bmatrix}
		 -1\\
		-26\\
		 16
	\end{bmatrix}.

çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi bir şey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]