Blaschke çarpımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Blaschke çarpımı, açık birim dairede bütün sıfırlarının önceden belirli ( sonlu bir \{ a_{n}\}_{n=0}^{k} veya sonsuz bir \{a_{n}\} _{n=0}^{\infty} ) bir karmaşık dizinin elemanlarında olması için oluşturulmuş sınırlı, holomorf bir fonksiyondur.

Blaschke çarpımları 1915 yılında Wilhelm Blaschke tarafından ortaya koyulmuştur [1]. Hardy uzaylarıyla yakından ilişkilidirler.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki verilmiş, elemanlanları, a0, a1, ... olan bir diziye eğer

\sum_n (1-|a_n|)

toplamı yakınsak ise Blaschke koşulunu sağlar denilir. Blaschke koşulunu sağlayan bir dizi verilmiş olsun. O zaman, blaschke çarpımı ise

B(z)=\prod_n B(a_n,z)

şeklinde tanımlanır. Burada çarpım terimleri olan  B(a,z) ler ise a ≠ 0 koşuluyla

B(a_n,z)=\frac{|a_n|}{a_n}\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}

şeklinde tanımlanır. a = 0 olduğunda ise B(0,z) = z alınır.

B(z) , yani Blaschke çarpımı, birim daire üzerinde holomorftur ve sadece an üzerinde sıfır değerini almaktadır. Yukarıda verilen yakınsaklık koşulunu sağlayan dizilere Blaschke dizisi denmektedir.

Szegő teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Gábor Szegő'nün bir teoremi ise şunu ifade etmektedir: Eğer  f\in H^1 ise ve f de her yerde 0'a eşit olan bir fonksiyon değilse (yani 0 fonksiyonu değilse), o zaman f 'nin sıfırları (yani sıfır değerini aldığı noktalar) Blaschke koşulunu sağlar.

Sonlu Blaschke çarpımları[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonlu Blaschke çarpımlarının birim daire üzerinde holomorf olması şu şekilde anlatılabilir: f birim daire üzerinde holomorf olan, birim dairenin kapanışına (yani kapalı birim daireye) sürekli bir şekilde devam ettirilebilen ve aynı zamanda da bu devamı birim çemberi birim çembere gönderen bir fonksiyon olsun. O zaman, ƒ sonlu bir Blaschke çarpımına eşittir:

 B(z)=\zeta\prod_{i=1}^n\left({{z-a_i}\over {1-\overline{a_i}z}}\right)^{m_i}

Burada ζ birim çember üzerinde bir noktayı, mi ise ƒ'nin ai, |ai| < 1 noktasındaki sıfırının derecesini göstermektedir. Özel olarak, ƒ yukarıdaki gibiyse ve birim çemberin içinde kalan bölgede sıfırı yoksa, o zaman sabit fonksiyondur. Bu özel sonuç, harmonik fonkiyonların maksimum ilkesi log(|ƒ(z)|) fonksiyonuna uygulanarak gösterilebilir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig , 67 (1915) sf. 194–200

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]